人教版八年級數(shù)學(xué)第十七章第1節(jié)《勾股定理》提高訓(xùn)練21

第十七章第1節(jié)《勾股定理》提高訓(xùn)練（21）

一、單選題

1.如圖，在△ABC中，ZC=90\AC=2,點。在8c上，ZADC=2ZB.A0=百，則

BC的長為（）

A

A.V3-]B.V3+1C.V5-1D.V5+1

2.有一圓柱高為12cm,底面半徑為3cm,在圓柱下底面點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面

71

上與點A相對的點B處的食物，則沿側(cè)面爬行的最短路程是（）

A.12cmB.13cmC.10cmD.16cm

3.已知銳角△ABC的三邊長恰為三個連續(xù)整數(shù)，AB>BC>CA,若邊BC上的高為AD,則BD

-DC=（）

A.3B.4C.5D.6

4.如圖，在長為10的線段A6上，作如下操作：經(jīng)過點B作BCJ.A3,使得BC=LA5；連

2

接AC,在C4上截取CE=0B；在AB上截取AD=AE,則的長為（）

A.545-5B.1075-5C.1075-10D.575+5

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC

于點M、N,再分別以M、N為圓心，大于工MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連結(jié)AP并延

2

長交BC于點D,下列結(jié)論：①AD是NfiAC的平分線；②/ADB=120。；③DB=2CD；④若CD=4,

AB=8g，則△DAB的面積為20.其中正確的結(jié)論共有（）

6.如圖①，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8,按如圖②方式折疊，使點A與點CB重合,

折痕為DE，則ABCE與AA。石的面積之比為（）

A.2:3B.4:9C.9:25D.14:25

7.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千''的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步與人齊，

五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有兒.”此問題可理解

為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地距離AB長度為1尺.將它往前水平推送10尺時，

即AC=10尺，則此時秋千的踏板離地距離就和身高5尺的人一樣高.若運動過程中秋千的

繩索始終拉得很直，則繩索OA長為（）

8.如圖，在AABC中，點。是上一點，連結(jié)A。，將"口）沿AO翻折，得到△AEZ），AE

交BD于點F.若BD=2DC,AB=AD,AF=2EF,CD=2,△DEE的面積為1,則點。

到AE的距離為（）

A.1B.-C.更D.J2

52、

二、解答題

9.已知AACB和△ECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。

(1)若D為AACB內(nèi)部一點，如圖，AE=BD嗎？說明理由

(2)若D為AB邊上一點，AD=5,BD=12,求DE的長

10.定義：對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點4(百，X)和3(々，％)，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)

的差的平方和的算術(shù)平方根稱作這兩點的“湘一根”，記作。[AB],即

Q[A，B]=J(/一可『+(乂—必『

(1)若A(2,1)和B(—2,3),則。[AB]=；

(2)若點M(1,2),N(a,。一3),其中。為任意實數(shù)，求。[M,N]的最小值

(3)若m為常數(shù)，且加＞0,點A的坐標(biāo)為(0,5m),B點的坐標(biāo)為(8m,一機(jī))，C點的坐標(biāo)

為(X,0),求。[AC]+Q[B,C]的最小值以及。[AC]-Q[B,C]的最大值.(用含m的代

數(shù)式表示)

11.如圖有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊,

使點C落在斜邊AB上的點E處，試求CD的長.

B

D

12.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點P從點C開始，按

CfAfC的路徑運動，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為f秒.

(1)出發(fā)2秒后，求AABP的周長.

(2)問f為何值時，ABCP為等腰三角形？

(3)另有一點Q,從點C開始，按C-3fA7C的路徑運動，且速度為每秒2cm,若P、Q

兩點同時出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動.當(dāng)f為何值時，直線PQ把

的周長分成相等的兩部分？

13.己知：在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,。為△ABC外一點，且滿足NA￡>B=90。.

(1)如圖1,若AC=及，AO=1，求。8的長.

(2)如圖1,求證：DA+DB=>/2CD-

(3)如圖2所示，過C作CEJ_AO于E,BD=2,AD=6,求CE的長.

圖1

14.利用所學(xué)的知識計算：

(1)已知且"+/=13,ah-6,求a-6的值;

(2)已知a、b、c為RSABC的三邊長，若/+〃+25=6a+8/>，求RtAABC的周長.

15.初識模型：如果兩個等腰三角形頂角相等，且頂角頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等

模型因為頂點相連的四邊形，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手全等模型”.如圖1,

已知AA3C與都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且NB4C=NZME,顯然

理解模型：如圖2,在中，NCBD=NCDB=45°,連接A。，若

NG4B=45°,AC=6,AB=8,求AO.

運用模型：如圖3,已知AABC,A8=AC,點G為8C上一點，點。為BC中點，GE,AB于點

E,GELAC于點巳判斷區(qū)＞,尸。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

遷移模型：如圖3,等邊AABC的邊長為6,。是BC的中點，￡是AC邊上的一點，AABC內(nèi)部

作等邊三角形DEF,若AF=H，直接寫出線段CE的長.

圖4

圖3

16.如圖，△ABC中，AB=6cm,AC=4后cm,BC=2石cm,點P以lcm/s的速度從點B出

發(fā)沿邊BA-AC運動到點C停止，運動時間為ts,點Q是線段BP的中點.

(1)若CP_LAB時，求t的值;

(2)若ABCQ是直角三角形時，求t的值;

BA

17.如圖，已知AB=CD,ZB=ZC,AC和BD交于點O,OE_LAD于點E.

(1)△AOB與ADOC全等嗎?請說明理由；

(2)若OA=3,AD=4,求AAOD的面積.

18.某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：

(1)如下圖，已知：在AA6c中，ZBAC=90°,AB^AC,直線機(jī)經(jīng)過點A,8。，直線〃?,

CEJ_直線m,垂足分別為點。、E、試猜想。E、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出________

(2)組員小穎想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如下圖，將(1)中的條件改為:

在AA6c1中，AB=AC，。、A、E三點都在直線機(jī)上，并且有ZBZM=NA￡C=/BAC=a(其

中。為任意銳角或鈍角).如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：

如下圖，尸是的C角平分線上的一點，且△A3E和AACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m

上A點左右兩側(cè)的動點(￡＞、E、4互不重合)，在運動過程中線段。E的長度為外連接8。、CE,

若ZBDA^ZAEC^ZBAC.

DE

①試判斷尸的形狀，并說明理由.

②直接寫出ADEF的面積.

19.閱讀材料，并解決問題.

有趣的勾股數(shù)

定義:勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù).凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊長的一組正整數(shù),稱之為勾股數(shù).

一般地，若三角形三邊長b,。都是正整數(shù)，且滿足/+〃=。2,那么數(shù)組(a,h,c)稱為勾

股數(shù).公元263年魏朝劉徽著《九章算術(shù)注》，文中除提到勾股數(shù)(3,4,5)以外,還提到(5,12,13),

(7,24,25),(8,15,17),(20,21,29)等勾股數(shù).

數(shù)學(xué)小組的同學(xué)研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)：設(shè)加，〃是兩個正整數(shù)，且加＞〃，三角形三邊長b,c

都是正整數(shù).下表中的b,?？梢越M成一些有規(guī)律的勾股數(shù)(a，b,c).

mnabc

21345

3251213

4115817

4372425

52212029

5494041

61351237

65116061

72452853

74335665

76138485

通過觀察這個表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)(a，b,c)可以寫成(加之一〃2,b,m2+n2).解答

下列問題：

(1)表中?？梢杂谩?，?的代數(shù)式表示為.

⑵若加=4,n=2,則勾股數(shù)（。，b,c）為.

（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若c一力=1,則勾股數(shù)的形式可表述為（2Z+1,h,8+1）（k

為正整數(shù)），請你通過計算求此時的6.（用含A的代數(shù)式表示/?）

20.如圖，為了測量湖泊兩側(cè)點A和點B間的距離，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)過點A作了一條AB的

垂線，并在這條垂線的點C處設(shè)立了一根標(biāo)桿（即AC，A3）.量得AC=160m,8c=200m,

求點A和點B間的距離.

21.如圖，已知AABC和是等邊三角形，點E在直線A3上，連A。，過點。作CFLAO

于點F-

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)點E在線段A8上時：

①求NOD的度數(shù)：

②猜想線段AE，BE,。尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明：

（2）如圖2,當(dāng)點E在胡的延長線上時，連接EF,設(shè)AAE尸的面積為x,AOC尸的面積為丁,

△3CE的面積為〃？，請直接寫出x,>,川之間的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖，已知Rs48C中，/C=90°，點。是AC上一點，點￡、點尸是8c上的點，且NCOF=NCE4,

CF=CA.

BB

圖1圖2

(1)如圖1,若AE平分NBAC,NDFC=25°,求N2的度數(shù);

(2)如圖2,若過點尸作尸G,48于點G,連結(jié)GC,求證：AG+GF=6GC.

23.已知，在△ABC中,ZBAC=90°,AB=AC,點D為BC的中點.

則線段BE與AF

的數(shù)量關(guān)系式是(不需要說明理由);

(2)類比探究如圖②，若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DELDF于點D,請寫出BE

與AF的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由;

(3)解決問題如圖③，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且/BMN=90。，若AM=2,AN=1,

則AB的長為.

三、填空題

24.如圖，△ABC中，ZACB=90°,分別以AC、BC為斜邊作等腰直角三角形Si、S2,以AB

為邊作正方形S.若Si與S2的面積和為9,則正方形S的邊長等于.

c

25.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,動點P在線段BC上從B點向C點運動，連接AP,則

AP的最小值為等于

26.如圖，在直角△A5c中，ZB=90°.平分N54C,交邊于點E,若BC=5,AC=13,

則AAEC的面積是

27.在AABC中，AC=8,ZC=45°,AB=6,則BC=.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,-3),B(4a+4,-3a),則線段AB的最小值為.

29.如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分/CAB交BC于D點，E、

F分別是AD、AC上的動點，則CE+EF的最小值為.

30.已知〃2+〃=10,則JM+25+J/+49的最小值=

【答案與解析】

1.D

【解析】

根據(jù)勾股定理求出CD,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到/B=/BAD,求出BD,計算即可.

VZC=90°,AC=3,AD=y/5

?,-CD=7AZ)2-AC2=I-

VZADC=2ZB,ZADC=ZB+ZBAD,

，NB=NBAD,

DB—AZ)=-\/5>

.\BC=BD+CD=V5+1

故選：D.

本題考查的是勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的

兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2是解題的關(guān)鍵.

2.B

【解析】

要想求得最短路程，首先要把A和B展開到一個平面內(nèi).根據(jù)兩點之間，線段最短求出螞蟻爬行

的最短路程.

解：展開圓柱的半個側(cè)面是矩形，

矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即2;r.』=5cm,矩形的寬是圓柱的高12cm.

71

根據(jù)兩點之間線段最短，

知最短路程是矩形的對角線AB的長，即AB=7AC2+BC1=V52+122=13cm

故選：B.

此題考查最短路徑問題，求兩個不在同一平面內(nèi)的兩個點之間的最短距離時，一定要展開到一個平

面內(nèi).根據(jù)兩點之間，線段最短.確定要求的長，再運用勾股定理進(jìn)行計算.

3.B

【解析】

根據(jù)勾股定理，因AD為公共邊可以得到AB2-BD2=AC2-CD?再把三邊關(guān)系代入解答即可.

A

解：設(shè)BC=n,則有AB=n+l,AC=n-1,

?/AB2-BD2=AC2-CD2,

AB2-AC2=BD2-CD2

(n+1)2-(n-1)2=(BD-CD)n,

BD-CD=4,

故選：B.

此題主要考查了勾股定理，根據(jù)題意得出BD-CD的長是解題關(guān)鍵.

4.A

【解析】

由勾股定理求出AC=5石，則AD=AE=AC-CE=56-5即可.

解：VBC1AB,AB=10,CE=BC=-AB=-xlO=5,

22

AC=y/AB2+BC2=V102+52=5A/5，

，AD=AE=AC-CE=575-5，

故選：A

本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

連接PN、PM.根據(jù)題意易證明△APA/MAAPN,即可證明①正確；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可

求出NAD5=120°,故②正確；由4845=/8=30°,可說明AD=BD,再由AD=2CD,即可證

明BD=2CD,故③正確；由④所給條件可求出AC和DB的長，即可求出S.=16百，故④錯誤.

△LZrio

如圖，連接PN、PM.

由題意可知AM=AN,PM=PN,AP=AP,NB4c=9()°—30°=60°.

/.^APM三AAPN,

：.ZCAD=ABAD=-ABAC=30°,即AD是Nfi4c的平分線，故①正確;

2

ZADB=ZC+ZCAD,

：.ZADB^9Q°+30°=l20。，故②正確；

在放中，NC4Z>=30°,

；.AD=2CD,

又丁NBAD=ZB=30°,

；.AD=BD,

.,.BD=2CD.故③正確；

在RAABC中，ZB=30°,

；?BC=BAB=Y2，

2

BD=BC-CD=n-4=8,

又在心八4。￡>中，ZCAD=30°，

，AC=CCD=4百，

XX,故④錯誤?

△LMzriBo=-2BDMC=2-84V3=16V3

故選：c.

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判

定以及勾股定理.熟練掌握各個知識點是解答本題的關(guān)鍵.

6.D

【解析】

由折疊可得AO=BO=5,AE=BE，根據(jù)勾股定理可得CE,AE，DE的長度，即可求面積

比.

解：?.?3C=6,AC=S,

AB=10,

???折疊，

：.AD^BD=5,AE=BE，

-：BC2+CE2=BE2,

36+CE2=(8-C￡)2,

CE=~,

4

—。725

A.E=8—=—f

/.SZAXRoRC+fc：SIjA.iDJtFZ=一2BCxCE:—2xADxDE=14:25,

故選：D.

本題考查了折疊問題，勾股定理，關(guān)鍵是熟練運用勾股定理求線段的長度.

7.C

【解析】

設(shè)繩索有x尺長，此時繩索長，向前推出的10尺，和秋千的上端為端點，垂直地面的線可構(gòu)成直

角三角形，根據(jù)勾股定理可求解.

解：設(shè)繩索有x尺長，則

102+(x+1-5)2=x2,

解得:x=14.5.

故繩索長14.5尺.

故選：C.

本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來解.

8.B

【解析】

過A作AG_LBC于點G,根據(jù)AF=2所可得^^=5必°=3,再由勾股定理求得

=AC=5,最后由三角形面積公式可求出點D到AE的距離.

解：過A作AG,3c于點G

?,**^MDF=2

??Sw)E==3

SMDC=--CD-AG

，AG=3

VAB=AD,AGIBC

/.BD=2GB

由BO=2CO得，GD=CD=2

:.GC=GD+DC=2+2=4

在用AAGC中，AC-y/AG2+GC2=5

/.AE=AC=5

.."=2.&^=2=9

AE55

故選:B.

本題考查了折疊問題，勾股定理定理，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積公式的應(yīng)用，熟練運用這

些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

9.(1)AE=BD,見解析；(2)13

【解析】

(1)由“SAS”可證△ACE絲Z\BCD,可得AE=BD；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得BD=AE=12,ZCAE=ZCBD=45°,由勾股定理可求DE的長.

(1)證明：:△ACB和AECD都是等腰直角三角形，

；.CD=CE,AC=BC,ZECD=ZACB=90°,

；./ACE=/BCD

在4ACE^OABCD中

；EC=CD,ZACE=ZBCD,AC=BC,

.".△ACE^ABCD(SAS)

；.AE=BD；

（2）如圖，

由（1）可知：AACE也Z\BCD,

；.BD=AE=12,NCAE=/CBD=45。，

.\ZEAD=90°,

在RtAADE中，AE2+AD2=ED2,

即52+122=ED2

；.DE=13；

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明AACE絲Z\BCD

是本題的關(guān)鍵.

10.（1）2逐；（2）2&；（3）10,475

【解析】

⑴把A、B兩點坐標(biāo)代入Q[A,B]=*2）2+（弘一求解即可;

⑵把M、N兩點代入Q[A,B]=J（M-九2『+（弘-，把根號下函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式即可求

解；

（3）連接AB交x軸于點C,此時有最小值，兩點之間線段最短；作B關(guān)于x軸的對稱點8'，連

接AB,并延長交x軸于點C,三角形中兩邊之差小于第三邊即可求解.

解：⑴由題意得：Q[A,B]=,J（2+2）2+（3-l）2=275.

故答案為：2??；

（2）Q[M,=^（l-a）2+（2-a+3）2=\lla2-\2a+26=^2（a-3）2+8，

.?.當(dāng)a=3時，Q[M,N]有最小值，最小值為：20；

故最小值為：20；

⑶連接AB交x軸于點C,此時。[A,C]+Q[B,C]有最小值,

2

此時(Q[A,C]+Q[B,C])n,n=2[AB]=7(O-8m)+(5m+my=10〃z：

作B關(guān)于x軸的對稱點"，連接并延長交x軸于點C,AC-BC=AC-B'C=AB',

在x軸上任取一點C,AC'-BC'=AC-B'C'<AB',

22

即(Q[A,C]-Q[B,C])mx=Q[A,B[=^(O-8m)+(5m-m)=46n

故0AC]+Q[B,C]的最小值為：10m；Q[A,C]-Q[B,C]的最大值為4班機(jī).

本題主要考查的是根據(jù)給出的新定義求解最值問題，解答本題的關(guān)鍵是熟悉題意，掌握兩點之間線

段最短，以及三角形兩邊之差小于第三邊的特性.

11.3cm

【解析】

先根據(jù)勾股定理求出AB的長，設(shè)CQ=xcm,則8。=(8—xfcm,再由圖形翻折變換的性質(zhì)可知

AE=AC=6cm,DE=CD=xcm,進(jìn)而可得出8E的長，在RtABDE中利用勾股定理即可求出x的值，

進(jìn)而得出CD的長.

解：?.?AABC是直角三角形，AC=6cm,BC=8cm,

AB=y/AC2+BC2=762+82=10cm，

???AA￡Z)是AACD翻折而成，

AAE=AC=6cm,DE=CD,ZAED=ZC=90°,

:.BE=AB—AE=10—6=4cm,

在RABDE中，BD2=DE2+BE2，設(shè)DE=CD=xcm,則BD=8-x,

BP(8-X)2=42+X2,

解得：x=3,

故CD的長為3cm.

本題考查翻折變換及勾股定理，解答此類題目時常常設(shè)要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱

的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其它線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出

答案.

12.(1)(16+25/io)cm；(2)r=6s或13s或12s或10.8s；(3)f為4或12秒

【解析】

(1)由已知條件得出發(fā)2秒后CP=2cm,則AP=6cvn,再利用勾股定理求出依的長，即可

求得人鉆尸的周長；

(2)①當(dāng)P點在AC上，易知PC=BC,，=6s,②P點在AB匕時,分三種情況分別為：BP=CB,

此時根據(jù)6P的長度求出點尸運動的距離，進(jìn)而求出運動的時間；CP=3C,此時過C作斜邊AB

的高，根據(jù)面積法求得高，根據(jù)勾股定理求得5〃的長，通過三角形全等證明3"=進(jìn)而通

過運動距離求出運動時間；BP=CP，此時可以通過角度相等證明E4=PC,進(jìn)而證明PA=PB，

進(jìn)而通過運動距離求出運動時間；

(3)當(dāng)p點在AC上，。在AB上時：AP=8-f,AQ=\6-2t,因為直線PQ把AABC的周

長分成相等的兩部分，則可得8—7+16—2f=12,即可解得；當(dāng)P點在AB上，。在AC上時：

AP=t-S,AQ=2t-16,因為直線PQ把AABC的周長分成相等的兩部分，則可得，

r-8+2r-16=12,即可解得.

解：(1)如圖1中，?.?/(7=90°,48=10311,8C=6cm,

**?由勾股定理得AC=8cm,

動點。從點C開始，按3-C的路徑運動，且速度為每秒1cm,

???出發(fā)2秒后，則CP=2cm,那么AP=6cm,

?.?NC=90°，

由勾股定理得PB=2A/T5cm

/.AABP的周長為：AP+P5+AB=6+10+2>/iU=(16+2ViU)cm；

圖1

(2)若P在邊AC上時，BC=CP=6cm,

此時用的時間為6s,ABCP為等腰三角形：

若P在A8邊上時，有兩種情況：

①若使5P=CB=6cm,此時AP=4cm,P運動的路程為12cm,

所以用的時間為12s,故f=12s時ABCP為等腰三角形；

②若CP=3C=6cm,如圖，過C作斜邊AB的高，根據(jù)等面積法求得高為4.8cm,

A

區(qū)

-、B

在Rt^BCH中，根據(jù)勾股定理可得BH=3.6cm,

在Rt^BCH和Rt^CPH中，

CP=BC

CH=CH'

:.Rt^BCH絲Rt^CPH，

BH=PH，

BP=7.2cm,

所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm,

f的時間為10.8S/5CP為等腰三角形；

③若3P=CP時，則NPCB=NPBC,

?.?NACP+NBCP=90°，NPBC+NC4P=90°，

AZACP=ZCAP,PA=PC,

PA=PB=5cm,

P的路程為13cm,所以時間為13s時，ABCP為等腰三角形.

r=6s或13s或12s或10.8s時&BCP為等腰三角形；

(3)當(dāng)尸點在AC上，。在A3上，則AP=8—f,AQ=I6-2f,

???直線PQ把AABC的周長分成相等的兩部分，

,8T+16-2f=12,

二/=4；

當(dāng)P點在AB匕。在AC上，則=8,AQ=2r—16,

???直線PQ把AMC的周長分成相等的兩部分，

二一8+216=12,

；.12,

...當(dāng)，為4或12秒時，直線PQ把△A6C的周長分成相等的兩部分.

本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考

問題，學(xué)會構(gòu)建方程，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題.

13.(1)DB=6(2)見解析；(3)2

【解析】

(1)在RSABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=2,在RtAABD中，根據(jù)勾股定理，得DB=6;

(2)過C點作CFLCD,構(gòu)造手拉手模型，運用等腰直角三角形的性質(zhì)可得證；

(3)過C點作CFLCD,構(gòu)造手拉手模型，運用三角形全等可得證.

(1)解：在RtAABC中，

CA=CB=yf2>

AB=>JCA2+CB2=2，

在RIAABD中，DB=\/AB2-AD2=722-I2=班>.

(2)證明：如圖，過C點作CF±CD交DB的延長線于點F.

c

D

???ZACB=ZDCF=90°,

:.ZACD=ZBCF,

ZCAD+ZCBD=360°—(ZACB+ZADB)=180°,ZCBF+ZCBD=180°,

:.ZCAD=ZCBFf

又?：CA=CB,

???△CAO絲△C8F(ASA),

CD=CF,AD=BFf

???DF=4iCD，

?：DF=DB+BF=DB+DA,

???DA+DB=6CD?

(3)解：如圖，過C點作。凡LCQ交AQ與下點，

ZACB=ZDCF=90°,BPZACF+ZBCF=ZBCD+ZBCF=90°9

：.NACF=NBCD,

*/ZAFC=ZFCD+ZCDA=90°+ZCDA,ZCDB=ZCDA+ZADB=90°+ZCDA,

???/AFC=/CDB,

又???C4=C8,

△C4尸gZ\C8￡)(AAS),

：.CF=CD,AF二BD,

???△8/是等腰直角三角形，

XVCE1AD,

：.E為DF中點,

VAD=6,AF=BD=2,

：.FD=AD-AF=49

：.CE=-DF=2.

2

本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等，手拉手模型的

構(gòu)造，熟練構(gòu)造手拉手模型是解題的關(guān)鍵.

14.(1)I；(2)12或7+近

【解析】

(1)根據(jù)完全平方公式變形解答；

(2)先移項，將25變形為9+16,利用完全平方公式變形為(。-3)2+(8-4)2=0,求得a=3,b=4,

分情況，利用勾股定理求出c,即可得到周長.

(1)Va2+b2=13,ab=6,

(a—b)2—a2+h2—2ab=13—2x6=1,

.?.a-b=l或a-b=-l(舍去)；

(2)a2+b2+25=6a+Sb

a2+b2+25-6a-Sb=0

?2-6?+9+Z?2-8Z?+16=0

(.-3)2+3-4)2=0

a-3=0,b-4=0,

a=3,b=4,

當(dāng)a與b都是直角邊時，c="2+/="2+32=5,/.RtAABC的周長=3+4+5=12；

當(dāng)a為直角邊，b為斜邊時，。="2一/='42—32=療,；.RSABC的周長=7+J7.

此題考查完全平方公式的變形計算，勾股定理，正確掌握并熟練應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

15.理解模型：AD=2734;運用模型：ED=FD,理由見解析；遷移模型：2.

【解析】

理解模型：過點C作CE_LAC,通過證明△AC。MAECB和勾股定理可得出A。的長；

運用模型：過點D作DNLAB于N,OMLAC于M,可證得AEONMA/TW即可推出結(jié)論；

遷移模型：延長EF'交A8于點G,作A乩LF'G于"，過點G、尸分別作GKLBC于K,FM1BC

于M,過點。作QNLEC,可求得和EN的長，得出答案.

理解模型：過點C作CE_LAC,且"=AC,連接BE、AE,

/CBD=/CDB=45。

：.CD=BC,BCVDC

ZECA+ZACB=ZDCB+ZACB

§.\iZECB=ZACD

"：CE=AC,

；?AACDNAECB

EC=AC=6

???△EAC是等腰直角三角形，

JZEAC=45°

ZCAB=45°

：.Z￡z4B=45o+45°=90°

：?BE=1AB2+AE2

,:AC=EC=6

：.AE2=AC2+EC2=72

:.BE=/咨+72=2用

???AACD三AECB

：.AD=BE=2y/34

運用模型：ED=FD

證明：過點。作ONJ_AB于N,DM_LAC于連接?！?、DF、

圖3.

???點。為3c中點，AB=ACf

：.DM=DN

GEA.AB,GFLAC

:-DNHGE,DM//GF

：.ZEDN=ZGED,ZFDM=ZGFD

VZGE4+ZGM=180°,ZDNA+ZDMA=iSO°

AZBAC+ZEGF=180°,ZBAC+Z^DF=180°

J/ECF=/NDM

：.ZGED=ZDFG

：.ZEDM=ZFDM

：.AEDN*FDM

：.ED=FD

遷移模型：

如圖，當(dāng)點E在。處時，F(xiàn)在AC中點F處，

A

圖4

:?AEDC塾AFDF'

：.ZDF'F=NECD=600=NF'DC

：.FF'HBC

為AABC中位線，

，點尸在AABC中位線上，

延長FF'交AB于點G,作AHI.F'G于H,

AG=—AB,GH——AG——,AH=AG=?

22222

?*-FH=yjAF2-AH2二g，

GH=1

過點G、F分別作GKLBC于K,尸3c于M,

]3Q/Q

：.KM=GM=1,BK=—BG=~,GK=FM=^1,

222

.35

??BM=1H—=—

22

；BD=LBC=3

2

-Ml)=3—=—

22

FD=^MD2+FM2=V7

；?等邊三角形DEF邊長為J7

過點。作DNLEC

:,DN=BDC=^H.,NC=-DC=-

2222

?E1/

??CE=—+—=2

22

本題是三角形綜合題，主要考查了“手拉手全等模型“、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；構(gòu)造“手拉手全等模型“，證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

16.(1)2；(2)4或6+4加-275

【解析】

(1)如圖1中，作CH1AB于H.設(shè)BH=x,利用勾股定理構(gòu)建方程求出x,當(dāng)點P與H重合時，

CP1AB,此時t=2；

(2)由題意易知分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點Q與H重合時，BP=2BQ=4,②如圖3中，當(dāng)CP

=CB=2出時，CQ±PB,然后根據(jù)題意求解即可解決問題.

解：(1)如圖1中，作CH±AB于H.設(shè)BH=x,

VCH1AB,

ZCHB=ZCHA=90°,

/.AC2-AH2=BC2-BH2,

(4^/2)2-(6-x)2=(275)2-x2,

解得x—2,

當(dāng)點P與H重合時，CPXAB,此時t=2.

(2)由(1)可得：BH=2,CH=4,

???點P的運動路程為lxt=t,

如圖2中，當(dāng)點Q與H重合時，則有BP=2BQ=4,此時t=4；

如圖3中，當(dāng)CP=CB=2逐時，CQ1PB,此時t=6+(472-275)=6+4夜-275.

圖3

綜上所述：當(dāng)t=4或6+4收一2逐，ABCQ是直角三角形.

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.(1)△理由見解析；(2)AAOD的面積為26.

【解析】

(D根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO=DO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE=；AD=2,由勾股定

理得到。后=癡=F=石，即可得到結(jié)論?

(1)證明：在AAOB和△OOC中，

ZAOB=ZCOD

<NB=NC,

AB=CD

所以△AOBg^OOC(AAS)；

(2)因為△A0蛇△DOC,

所以A0=￡>0,

因為OE±AD于點E.

所以AE=LAD=2,

2

所以O(shè)E7AG-AE2=V5，

所以SAAOD=[X4X石=26.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的計算，熟練掌握全等三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(1)DE=BD+CE；(2)結(jié)論OE=3O+CE成立，證明見解析；(3)①△DFE為等邊三

角形，證明見解析.②且“2.

4

【解析】

(1)由題意可知NADB=NCE4=90°,又可推出NABD=NC4E,即可證明

△ADB^ACE4(AAS),得出8D=A￡，AD=CE.即推出DE=AD+AE=BD+CE.

(2)由題意易證NABO=NC4E,即證明AAOB/ACEA(AAS),同理即

DE=AD+AE=BD+CE.

(3)①由(2)知AADB且ACE4(AAS),得出8D=A￡，由NA8O=NC4E,易證

NFBD=NFAE，又由題意可知FB=FA,即證明出AEB。也AE4E(SAS),得出結(jié)論包＞=fE,

ZBFD^ZAFE,即可求出NO依=60°,即證明△/)所為等邊三角形.

②由=ADEF為等邊三角形,即可求出△。防的面積.

(1)DE=BD+CE,理由：

:ABAC=9Q°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

BD±m(xù),

：.ZADB=NCEA=90。,

ZBAD+ZABD^90°,

ZABD=ZCAE,

NADB=ZCEA=90°

在△4)8和KEA中，＜NAB。=NC4E,

AB=AC

：.蛇ACE4(AAS),

???BD=AE＞AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE.

故答案為：DE=BD+CE.

(2)結(jié)論?！?3O+CE成立;

理由如下：：+NC4E=180°—NB4C,

ZBAD+ZABD=\SO°-ZADB,ZBDA=ZBAC,

:.ZABD=NCAE,

ZABD=ZCAE

在ABAD和/XACE中，，NADB=ZCEA=a,

AB=AC

ABADg△ACf^AAS),

???BD=AE>AD=CE,

：.DE=DA+AE=BD+CE.

(3)①為等邊三角形，

理由：由(2)得，△84O/4ACE,

???BD=AE，

???ZABD=ZCAE,

：.ZABD+NFBA=ZCAE+FEC,即ZFBD=ZFAE，

FB=FA

在AFBD和ZFAE中，<NFBD=NFAE,

BD=AE

AFBD知FAE(SAS),

,FD=FE,ZBFD=ZAFE，

ADFE=ADFA+ZAFE=ZDFA+ZBFD=60°,

，ADEF為等邊三角形.

②：為等邊三角形.

，ADEF的高為曲DE.

2

?C1八"G八._G2

,,S^DFE=DE'~YDE=~Tn'

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.熟練掌握判定三角形

全等的方法是解答本題的關(guān)鍵.

19.(1)b=2mn；(2)(12,16,20)；(3)b=2k2+2k

【解

(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)可得答案；

(2)把根=4,〃=2代入(療一〃\2〃〃2,療+川)即可求解；

(3)根據(jù)勾股定理求解即可；

(1)74=2x2x1,

12=2x3x2,

8=2x4xl,

24=2x4x3,

???,

：?b=2mn，

故答案為：b=2nm；

(2)當(dāng)m=4,〃=2時，

a=m2-n2=42-22=12,b—2mn=2x4x2=16,c=m2+n2=424-22=20,

勾股數(shù)(a，b,c)為(12,16,20),

故答案為：(12,16,20)；

(3)根據(jù)題意，得(21+1)2+/=("1)2,

...4k2+4k+\+b2=tr+2b+\.

解得b=2k?+2k.

本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.在直角三角形

中，如果兩條直角邊分別為a和6,斜邊為c,那么/+乂=/.也就是說，直角三角形兩條直角邊

的平方和等于斜邊的平方.

20.點A和點5間的距離為120m

【解析】

在RtAABC中利用勾股定理計算出AB長即可.

解：VACA.AB.

，N5AC=90"，

.,?在中，AB2+AC2=BC2.

VAC=160,BC=2(X),

AB=y/BC2-AC2=/2002-16()2=120(m).

答：點4和點3間的距離為120m.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方.

21.(1)①60°；②BE-AE=2DF，理由見詳解；(2)m=2y-2x

【解析】

(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BC=AC,EC=CD,/BCA=NECD=60。，再證明ABCE三AACD,

即可求解；②先證明NACF=30。，設(shè)AC=a,則AF=』a,可得,a=FD+AE,進(jìn)而即可得到結(jié)論;

22

(2)過點C作CNJ_AB于點N,過點F作FM_LAE于點M,可得ABCE三AACD,RtAANC=RtAAFC,

再證明MF=！FC=!NC,BE=2FD-AE,結(jié)合三角形的面積公式，即可得到結(jié)論.

22

(1)①△A6C和△CDE是等邊三角形，

；.BC=AC,EC=CD,NBCA=/ECD=60。，

；.NBCE=/ACD,

AABCE^AACD,

ZC4D=ZB=60°；

②BE-AE=2DF，理由如下：

???。/_14。于點尸，

/AFC=90。，

又：NCAD=60。，

...在AAFC中，ZACF=30°,

設(shè)AC=a,則AF=」a,FC=yjAC2-AF2=—?.

22

VABCE=AACD,AB=AC=a,

；.AD=BE,即：-a+FD=a-AE,

2

.*.-a=FD+AE,即：L(AE+8E)=FD+AE,化簡得：BE-AE=2DF

22

(2)過點C作CNLAB于點N,過點F作FMLAE于點M,

???AA5c和△CDE是等邊三角形，

ABC=AC=AB,EC=CD,ZBCA=ZECD=60°,

.\ZBCE=ZACD,

.\ABCE=AACD(SAS),

AZEBC=ZDAC=60°,BE=AD,

AZDAC=ZBAC=60°,

???ZDAE=180o-60°-60o=60°,

VCN1AB,CF1AD,

ACN=CF,

XVAC=AC,

.'.RtAANC=RtAAFC(HL),

AN=AF,

在RtAAFM中，ZFAM=60°,

AMF=—AF,

2

在RtAAFC中，ZCAD=60°,

,-.AF=—FC,

3

AMF=—FC=—NC,

22

又；BE=AD,BE-AE=AB=2AN,AD-FD=AF=AN,

?,.BE-AE=2(AD-FD),

；.BE-AE=2(BE-FD),

BE=2FD-AE,

；BE-NC=g(2FD-AE)NC=2(；FD-NC)-；AENC,

AyBENC=2(^-FDFC)-gAE-2MF,

SABCE-2SAFCD-2SAAEF,

/.m=2y-2x.

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加合適的輔助

線構(gòu)