高中數(shù)學(xué)：構(gòu)造正方體解題

高中數(shù)學(xué)：構(gòu)造正方體解題

一、將正四面體補(bǔ)成正方體

例1如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2,

NDAB=60°,E為AB的中點(diǎn)，將4ADE與aBEC分

別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱

錐P-DCE的外接球的體積為（）

473

27

運(yùn)

2

A

倔

8

B.等

C.

D.

AEB

解析：根據(jù)題意折疊后的三棱錐P-DCE為正四面體，

且棱長為1o以此正四面體來構(gòu)造正方體，使正四面體

的各棱分別是正方體各面的對(duì)角線，如圖2。則正方體

72

的棱長為T,正方體的對(duì)角線也即正方體外接球的直徑

娓

的長為〒。又正方體的外接球也為正四面體的外接球，

76

所以外接球的半徑為了。

所以,3#［畔)3=等

故選Co

D

圖2

二、將三棱錐補(bǔ)成正方體

例2如圖3,/1、勿是相互垂直的異面直線，MN是它

們的公垂線段。點(diǎn)A、B在/］上，AM=MB=MN。

(I)證明AC1NB；

(II)若NACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余

弦值。

--

解析：（I）證明略。

（II）由（I）及NACB=60°,可知NA、NB、NC兩

兩垂直且相等，故可將三棱錐C-ABN補(bǔ)成正方體

NASB-CQPR,如圖4所示。連結(jié)PN,由RNJ_BC,

知PN±BCo同理，PNXACo

Q

所以PNJ_平面ABC。設(shè)垂足為O,則NOBN就是NB

與平面ABC所成角。

173

設(shè)正方體棱長為1,則°N方PN=?

_ON_76

由sinNOBN=^=7,得cos/OBN二亍

三、將三棱柱補(bǔ)成正方體

例3如圖5,在直三棱柱ABC-A】B0中，AB=BC,D、E

分別為BBi、ACi的中點(diǎn)。

(I)證明：ED為異面直線BBi與AG的公垂線；

(II)設(shè)AAI=AC=72AB,求二面角Ai—AD—Ci的大

小。

A

圖5

解析：(1)證明略。

(2)由題設(shè)AA1=AC=V2AB,可知AA&C為正方形，

ZABC=90°。

將棱柱補(bǔ)成正方體，如圖6所示。易知所求二面角

ALAD-5恰是二面角的一半。作正方體的截面

ARM。由圖知ARJLAC],AiCJ.CN,所以kC_L平面A^N]。

同理，AM，平面AMN1。

于是/CAM是二面角Ci-AN「Mi的平面角的補(bǔ)角。而

△A】CM是正三角形，/CAiM=60°,故二面角Mi-ANi-g

為120°,從而二面角片-AD-CI是60°。

CA

圖6

四、由共點(diǎn)且兩兩垂直的三條相等線段構(gòu)造正方體

例4如圖7,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD

中，NABC=90。，SAL面ABCD,SA=AB=BC=1,

i

AD=2O

(I)求四棱錐s—ABCD的體積；

(II)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。

s

圖7

解析：延長AD到E,使DE=AD,以AE、AB、AS為

棱構(gòu)造正方體，如圖8所示。則有：

圖8

_3_31_1

([)VS-ABCD=-VS-ABCE=a乂號(hào)"正方律=彳

(II)延長CD、BA相交于F,連結(jié)SF,易知

SF〃AB'。又可知AB」面CBS,所以SF_L面SBC,故

ZBSC為面SCD與面SBA所成的角。

在直角ASBC中，SB=a

BC_72

從而tanZBSC=SB=~

五、由共邊且互相垂直的兩個(gè)正方形面構(gòu)造正方體

例5如圖9,正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而

且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，

點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM二BN二a

(0<a<72</a<)o

(I)求MN的長；

(II)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最小；

(III)當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的

二面角a的大小。

圖9

解析：⑴與（II）略。

（III）以正方形ABCD、ABEF為相鄰面構(gòu)造正方體如

圖10所示，面MNA與面MNB所成的角，即面ACE

與