高中數(shù)學-等差數(shù)列前n項和教學設計學情分析教材分析課后反思

教材分析：

等差數(shù)列是學生學習了等差數(shù)列的定義、通項公式后，

對數(shù)列知識的進一步學習。數(shù)列在生產(chǎn)實際中的應用范圍很

廣，而且是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、認識、分析、綜合等能力的重要

題材，同時也是學生進一步學習高等數(shù)學的必備的基礎(chǔ)知識。

學情分析：

學生有一定的觀察分析能力和歸納推理能力，但是學生

基礎(chǔ)薄弱，他們對知識的理解還是處于模糊階段，雖然對等

差數(shù)列有了一定的了解。但是由于學生是第一次接觸

到數(shù)列的求和，缺乏相關(guān)經(jīng)驗，因此，借助幾何直觀學習和

理解數(shù)學，是數(shù)學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的

理解，才是真正的理解。

教學目標：

1、知識目標

(1)掌握等差數(shù)列前n項和公式，理解公式的推導方法；

(2)能較熟練應用等差數(shù)列前n項和公式求和。

2、能力目標

經(jīng)歷公式的推導過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，體驗

從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推

理的能力。

3、情感目標

通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望,

樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體

驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得成功。

教學重點、難點：

1、等差數(shù)列前n項和公式是重點。

2、獲得等差數(shù)列前n項和公式推導的思路是難點。

設計理念：

在教學中通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興

趣和欲望，由淺入深，層層深入，增強學生學好數(shù)學的心理

體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得成功。

教學策略：

用游戲的方法調(diào)動學生的積極性

教學步驟：

問題呈現(xiàn)階段

探究發(fā)現(xiàn)階段

公式應用階段

教學過程：

(-)創(chuàng)設問題情境

L故事引入：德國偉大的數(shù)學家高斯“神述求和”的故

事。高斯在上小學四年級時，老師出了這樣一道題

“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。高斯

到底用了什么巧妙的方法呢？下面給同學們一點時間來挑

戰(zhàn)高斯。

高斯的方法:

首項與末項的和：1+100=101

第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101

第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101

第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101

，前100個正整數(shù)的和為：101X50=5050

2.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀

莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純

白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大

奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵

寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共

有100層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花

了多少寶石嗎？圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶

石？

(1+21)*21

S21=

2

〈設計說明）：在知道了高斯算法之后，同學們很容易把

本題與高斯算法聯(lián)系起來，也就是聯(lián)想到“首尾配對”擺出

幾何圖形，將兩個三角形拼成平行四邊形.讓學生初步形成

數(shù)形結(jié)合的思想,這是在高中數(shù)學學習中非常重要的思想方

法.借助圖形理解逆序相加，也為后面公式的推導打下基礎(chǔ).

因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研

究對象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

上述故事歸結(jié)為1.這是求等差數(shù)列1,2,3,100前

100項和

2.求等差數(shù)列1,2,3,21前21項

和

（二）等差數(shù)列求和公式

一般地，稱陽+%+電+-+/為等差數(shù)列｛%｝的前n項的

和，用應表示，即工=。1+&+。3+…+久

1、思考：受高斯的啟示，我們這里可以用什么方法去

求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”進行求和。

我們用兩種方法表示應：

=?]+(a[+d)+(以]+2d)+...+[/+(%—l)d],(2^)

$花=即+(%—d)+(4-2d)+…+[4-5一l)d],②

(^1+(%+a)+(々i+a)+???+(%+a)

由①+②，得2sL-2------'F-"---------

=雙％+即)

_雙為+即)

由此得到等差數(shù)列｛aJ的前n項和的公式工="^-

對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾

項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。

2、除此之外，等差數(shù)列還有其他方法嗎？當然，對于

等差數(shù)列求和公式的推導，也可以有其他的推導途徑。例如:

~+々2+?3,,,+々jj

=々]+3i+d)+(以]+2d)+_+[&]+(%—1)(2?]

=M]+[d+2d+...+(〃-l)d]

二"%+[1+2+...+(正-l)]d

這兩個公式是可以相互轉(zhuǎn)化的。把％”[+5-i）d代入

閥（％+軟）

=閥,H------------d

中，就可以得到

引導學生思考這兩個公式的結(jié)構(gòu)特征得到：第一個公式

反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項

與末項的和這個內(nèi)在性質(zhì)。第二個公式反映了等差數(shù)列的前

n項和與它的首項、公差之間的關(guān)系，這兩個公式的共同點

都有四個量，都有力和n,都可以“知三求一”，不同點是第

一個公式還需知道%,而第二個公式是要知道d,解題時還

需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。

〈設計說明》:讓學生參與知識的形成過程,提高興趣,體

驗成就感.對公式的教學，要使學生掌握與理解公式的來龍

去脈，公式的推導方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公

式之間的聯(lián)系。

（三）公式運用，變式訓練

等差數(shù)列的⑸）首項為西，公差為d,項數(shù)為n,第n

項為%,前n項和為用，請?zhí)钕卤恚?/p>

dn*s*

51010

—28104

—38—10—36

〈設計說明＞:通過變式練習，可以加深學生對公式

的理解和記憶，并能在應用公式時做出正確選擇。

（四）例題分析

例1.已知等差數(shù)列中，ai=-8,aio=lO6,求slO

學生觀察分析:知三求一，首先找出已知那三個量，求那

個量，然后再判斷使用哪一個求和公式，最后讓學生共同計

算結(jié)果。

例2.等差數(shù)列2,4,6,…中前多少項的和是9900?

本題實質(zhì)是反用公式，解一個關(guān)于%的一元二次函數(shù)，注

意得到的項數(shù)〃必須是正整數(shù).

＜設計說明》:讓學生觀察分析，靈活應用公式，培養(yǎng)學生

轉(zhuǎn)化能力、計算能力，同時滲透方程思想。

（五）隨堂練習

書10頁練習6.2.3

（六）反思與評價

1.用倒序相加法推導等差數(shù)列前n項和公式

2.用推導的兩個公式靈活解題。

3.特別注意Sn公式中項數(shù)n的值。

（七）課外作業(yè)

必做題：課本n頁習題6.2A組第5、6、7題。

選做題：課本12頁習題6.2B組第1、2題

（八）：板書設計

等差數(shù)列前以項和公式梯形圖1公式1例1XXXX

1.公式的推導

2.公式的記憶

3.公式的應用梯形圖2公式2例2xxxx

（九）教學反思

1、針對學生實際合理地對教材進行了個性化處理，挖掘

了教材中可探究的因素，促使學生探究、推導。例如：等差

數(shù)列前n項和的公式一，是通過具體的例子，引到一般的情

況，激勵學生進行猜想，再進行論證得出；而第二個公式并

不象書本上那樣直接給出，而是讓學生從習題中進行歸納總

結(jié)得到的。這樣處理教材，使學生的思維得到了很大的鍛煉。

2、本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學方法，同時采

用設計變式題的教學手段進行教學，通過具體問題的引入,

使學生體會數(shù)學源于生活，創(chuàng)設情境，重在啟發(fā)引導，使學

生由淺到深，由易到難分層次對本節(jié)課內(nèi)容進行掌握。學生

在學習的過程中體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、

歸納、反思和邏輯推理的能力。

3、在教學中，鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研

究對象的性質(zhì)和關(guān)系，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

總之，教師要樹立正確的教材觀，尊重教材但不惟教材,

基于教材又能再生教材以促進學生主動學習和諧發(fā)展。

《2.3等差數(shù)列前n項和》評測練習

一.選擇題：

1.已知等差數(shù)列｛須｝中，a.=1,d=l,則該數(shù)列前9項和S9等于（）

A.55B.45C.35D.25

2.已知等差數(shù)列｛an｝的公差為正數(shù)，且a3?a=-12,a4+a6=-4,則S2。為（）

A.180B.-180C.90D.-90

3.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能的少，那么

剩余鋼管的根數(shù)為（）

A.9B.10C.19D.29

4.等差數(shù)列｛a｝的通項公式是a,,=1-2〃,其前〃項和為S,則數(shù)列｛&｝的前11項和為（）

n

A.-45B.-50C.-55D.-66

5.將棱長相等的正方體按下圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層,…”

則第2008層正方體的個數(shù)是（）.

A.4011B.4009C.2017036D.2009010

6.己知等差數(shù)列｛a“｝中,a?+a8=8,則該數(shù)列前9項和小等于（）

A.18B.27C.36D.45

7.某鄉(xiāng)建設線路，有48根電線桿，最近一根豎直離電線桿堆放處1000m,以后每隔50m豎

一根，如果一輛車一次能運6根，全部運完返回，這輛車共走了（）.

A.18400mB.18450mC.36800mD.36900m

二.填空題：

8.等差數(shù)列｛4“｝的前n項和5?=1+3〃.則此數(shù)列的公差d=.

9.數(shù)列｛a,,｝,｛b,,）滿足a,6,=l,a=〃2+3〃+2,則｛&｝的前10次之和為

10.己知整數(shù)對排列如：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,

（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）,…，則第60個整數(shù)對是..

11.若｛4｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，2=」一，則數(shù)列也,｝的前n項和7；

。,4+1

三.解答題：

12.設｛a｝為等差數(shù)列，S,為｛&｝的前〃項和，S=7,Ss=75,已知Tn為數(shù)列｛,｝的

n

前〃項數(shù)，求T”.

13.某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元，購買當天先付150

萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為現(xiàn)，若交付150萬元后

的第1個月開始算分期付款的第1個月，問分期付款的第10個月應付多少錢？全部按期付

清后，買這40套住房實際花了多少錢?

14.已知數(shù)列｛七｝是等差數(shù)列，其前n項和為S“，%=6,S3=12.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆?(2)求一+—+…+—.

S]S

15.已知f(x)=xJ2(n+l)x+n"+5n-7

(1)設f(x)的圖像的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列｛aj,求證：｛aj為等差數(shù)列

⑵設f(x)的圖像的頂點到x軸的距離構(gòu)成｛b,,｝，求(b.,)的前n項和

16.已知數(shù)列｛4｝的前n項和為，且滿足a?+2S??S,I=0(〃>2),4=-

(1)求證：<”是等差數(shù)列；(2)求｛明｝的表達式.

參考答案：

一.填空題:

1.B提示：$9=9x1+

2.A提示：由等差數(shù)列性質(zhì)，4+a二會+國二一4與國?國二一12聯(lián)立，即的4是方程f+4x—

12=0的兩根，又公差心0,.?.&>a=>a=2,53=—6,

從而得功二一10,六2,50=180.

3.B提示：1+2+3+―+/T<200,即“（仁1）<200.

一2

IQx70

顯然爐20時，剩余鋼管最少，此時用去三上二190根.

2

QIQ

,（+n）〃S?a\+an-,

4.D提示：Sn=———-—，.二—=———二二一〃一??前11項的和為-66.

2n2

5.C提示：由圖形觀察可知：ai=l,a2=3,a3=6,a^lO,-/.a2-a]=2,a3-a2=3,ai-a3=4,???,

Hn—a“T—n.

以上各式左、右兩邊同時相加可得a「ai=2+3+…+n,

〃（〃+1）

.-.a?=l+2+3+-+n=—~.,.azo^OOgx1004=2017036.故選C.

2

6.C提示：在等差數(shù)列｛&｝中，&+a=8,4+%=8,則該數(shù)歹U前9項和$=圖答=36

7.C提示:設每次去時車走的路程依次組成的等差數(shù)列為｛a?｝,其中@=1000+5X50=1250,

公差d=6X50=300,運8趟，

8X7

所以&=8d+^廠片18400,故往返總路程為2&=36800.

二.填空題

8.答案：2

提不：q=S[=4,q+a2=S?=2~+3x2=10,叼=6,d=2.

5

9.

12

提示：T,]11

(〃+1)(〃+2)〃+1〃+2

5

.?.So=bi+b2-l—4=5—訪

12'

10.答案:第60個整數(shù)對為（5,7）

提示：觀察整數(shù)對的特點，整數(shù)對和為2的1個，和為3的2個，和為4的3個，和為5

的4個，和n為的n—l個，于是，借助1+2+3+…+〃=幽里）估算，取n=10,則第55個

2

整數(shù)對為（11]），注意橫坐標遞增，縱坐標遞減的特點，第60個整數(shù)對為（5,7）

n

11.答案:

6n+9

]

提示:a=2n+\,b?------）,用裂項求和法求得

n(2〃+1)(2〃+3)22/?+12〃+3

三.解答題

12.解：設數(shù)列｛&｝的公差為4則￡=〃&+；n(刀—1)d.

\lax+21d=l(4=一2

???S=7,$5=75,???”,_,???/.

[15ai+i1n05(7=75I(7=1

1

+

=一

2,(n—1)d=-2+~?(n—1)

'.字7--=1???數(shù)列｛￡｝是等差數(shù)列，其首項為一2,公差為:，

〃十1/?zn2

/c\?〃(〃—1)1129

:"?(-2)+―--2^4n'-4

13.解：因購買住房時付150萬元，則欠款1000萬元，依題意分20次付款，則每次付款的

數(shù)額順次構(gòu)成數(shù)列{6}.

則q=50+1000xl%=60,a2=50+(1000-50)x1%=59.5,

%=50+(1000-50x2)x1%=59,a4=50+(1000—50x3)xl%=58.5,

an=50+[1000-50(〃—1)]x1%=60一g(〃-1)(1<〃<20,”eN*).

.??數(shù)列｛%｝是以60為首項，-1為公差的等差數(shù)列.

=60—9x(=55.5,<2,0=60—19xg=50.5,

...S20=幺產(chǎn)^20=10x(60+50.5)=1105,

.?.實際共付1105+150=1255(萬元).

%+2d=6

14.解：(1)設數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意得方程組彳3x2，解得

3a,H-------d=12

I'2

a=2

<'，，數(shù)列｛%｝的通項公式為a.=q+(〃-l)d=2",即a“=2〃.

d-2

幽詈2=〃（〃+i）.

(2)an=2n,：.S.

111111

：.—+—+???+—=-------1--------F???d------------

S|S2s.1x22x3n(n+l)

J1、/1、A1、，1

1223nn+\n+\

2

15解:(1)f(x)=[x-(n+l)]+3n-8.?.all=3n-8,

-=

an?ian3,{aj為等差數(shù)列，

(2)b0=|3n-8|

、“cicc,c鹿(5+8-3〃)13n-3??2

當]<〃<2時，b=8-3n,bi=5,S=----------------=-------------

nn22

當nN3時，b?=3/8

八,、(n-2)(l+3n-8)3?2-13n+28

S0=5+2+l+4+…(3n-8)=7+---------------------=-------------------

22

13〃一3〃2

l<n<2

.■?Sn=<2

3/-13/1+28n>3

L2

16.解:⑴證明：???a“=S”—S“T(〃N2),S“T—S”=2S”,S“T，S“=0,

1-=2(z?>2).-L=-1-=2,

S,“S|q

是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知———...F(/?—\]d=2+(〃-1)x2=2〃,Sn——■

SnS12n

當(〃22),4=S“-S,iM-.,又：n=l時，/=g，

J(〃=l)

.一訴h2)

《等差數(shù)列的前n項和》學情分析

學生有一定的觀察分析能力和歸納推理能力，但是學生基礎(chǔ)薄弱,

他們對知識的理解還是處于模糊階段，雖然對等差數(shù)列有了一定

的了解。但是由于學生是第一次接觸到數(shù)列的求和，缺乏相關(guān)

經(jīng)驗，因此，教師一定要加以正確的引導，循序漸進符合學生的正常

認知水平。主要從以下三個方面加以分析：

1、認知基礎(chǔ)：學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列的定義以及通項公式，掌握

了等差數(shù)列的性質(zhì)，有了一定的知識準備。

2、思維特點：正從經(jīng)驗性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，仍依賴一定

的具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。思維的嚴密性需進一

步加強。

3、學生的認知規(guī)律：本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，

以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識。為學

生積極思考、自主探索搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法

的和諧對稱以及使用范圍。

《等差數(shù)列前n項和》課堂效果分析

本節(jié)課教學設計是從兩個問題開始的。以問題驅(qū)動展開教學活動。

“問題是數(shù)學的心臟”，是引發(fā)學生積極思考的動力，老師按照教學

活動的展開程序，設計了一個實際問題，與德國數(shù)學家高斯小時候計

算1+2+-+100的方法，這兩個問題，來引導學生推導等差數(shù)列前

n項和公式。使學生積極有序地開展思維、探究活動，同時也教給學

生提出問題、研究問題的學習方法，調(diào)動學生主動參與學習、學會學

習。本節(jié)課的不足是例題的選擇可采用變式訓練，也可采用讓學生編

題，使學生靈活掌握等差數(shù)列的前n項和公式，也可充分調(diào)動學生

學習的積極性。教學任務基本完成，教學過程與設計基本一致。遺憾

的是學生的參與還不夠積極，思維不夠活躍。在有些地方希望學生予

以討論的地方有點不足。由于內(nèi)容比較簡單，學生公式代換幾次之

后就不愿意多進行運算了，似乎沒有學習的主動性?？梢栽黾右恍W

生進行討論的地方，讓學生更為活躍。在計算一些簡單的式子的時

候可以加快教學的步伐。

《等差數(shù)列前n項和》教材分析

第一課時

一、教材的地位與作用

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學?必修5》的《第二

章§2.3等差數(shù)列的前n項和》的第一課時：等差數(shù)列的前n項和公

式的推導簡單應用問題。本節(jié)課從分析高斯計算的小故事的算法入手,

啟發(fā)引導學生由特殊到一般，探究等數(shù)列的前n