向量組的線性相關(guān)性教案

第四章向量組得線性相關(guān)性1.教學(xué)目得與要求:(1)理解n維向量、向量得線性表示得概念、(２)理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)得定義,了解并會用向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)得有關(guān)性質(zhì)及判別法。(3)了解向量組得極大線性無關(guān)組與向量組秩得概念,會求向量組得極大線性無關(guān)組及秩、(４)了解向量組等價得概念以及向量組得秩與矩陣秩得關(guān)系.(5)理解線性方程組解得性質(zhì)。(6)理解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系及通解得概念。掌握齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系與通解得求法、(7)理解非齊次線性方程組得解結(jié)構(gòu)系及通解得概念。(８)會用初等行變換求解線性方程組.2。教學(xué)重點:向量組得線性相關(guān)性、向量組得秩、線性方程組得解得結(jié)構(gòu)、3.教學(xué)難點:(1)向量組得線性相關(guān)性中相關(guān)定理得證明。(２)求向量組得秩及最大線性無關(guān)組。(3)線性方程組得解得結(jié)構(gòu)定理及其應(yīng)用、4.教學(xué)內(nèi)容:§１向量組及其線性組合定義１個有次序得數(shù)所組成得數(shù)組稱為維向量,這個數(shù)稱為該向量得個分量,第個數(shù)稱為第個分量、定義2對維向量及,若有數(shù)組,使得,稱為得線性組合,或可由線性表示.例1設(shè),,,試判斷可否由線性表示?解設(shè),比較兩端得對應(yīng)分量可得,求得一組解為于就是有,即可由線性表示、[注］取另一組解時,有。定理１向量能由向量組:線性表示得充分必要條件就是矩陣=得秩等于矩陣得秩=、定義３設(shè)有兩個向量組:及:,若組中每個向量都能由向量組線性表示,則稱向量組能由向量組線性表示、若向量組與向量組能互相線性表示,則稱這兩個向量組等價.定理2向量組:能由向量組:線性表示得充分必要條件就是矩陣=得秩等于矩陣得秩=得秩,即推論向量組:與向量組:等價得充分必要條件就是,其中與就是向量組與所構(gòu)成得矩陣、定理3設(shè)向量組:能由向量組:線性表示,則課后作業(yè):習(xí)題四1,2,3,4,5§2向量組得線性相關(guān)性定義4線性相關(guān):對維向量組,若有數(shù)組不全為0,使得則稱向量組線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).線性無關(guān):對維向量組,僅當數(shù)組全為０時,才有則稱向量組線性無關(guān),否則稱為線性相關(guān)、［注］對于單個向量:若,則線性相關(guān);若,則線性無關(guān).對于兩個向量得向量組,若對應(yīng)分量成比例,則該向量組線性相關(guān),否則線性無關(guān)。例2判斷例1中向量組得線性相關(guān)性、解設(shè),比較兩端得對應(yīng)分量可得即。因為未知量得個數(shù)就是４,而,所以有非零解,由定義知線性相關(guān)、例3已知向量組線性無關(guān),證明向量組,,線性無關(guān)、證設(shè),則有因為線性無關(guān),所以,即系數(shù)行列式,該齊次方程組只有零解。故線性無關(guān).例4判斷向量組,,…,得線性相關(guān)性.解設(shè),則有只有故線性無關(guān)。定理4(1)向量組線性相關(guān)其中至少有一個向量可由其余個向量線性表示、證必要性已知線性相關(guān),則存在不全為零,使得不妨設(shè),則有.充分性不妨設(shè),則有因為不全為零,所以線性相關(guān).(2)若向量組線性無關(guān),線性相關(guān),則可由線性表示,且表示式唯一、證因為線性相關(guān),所以存在數(shù)組不全為零,使得若,則有。矛盾！故,從而有.下面證明表示式唯一:若,則有因為線性無關(guān),所以即得表示式唯一、(3)線性相關(guān)線性相關(guān).證因為線性相關(guān),所以存在數(shù)組不全為零,使得數(shù)組不全為零,故線性相關(guān).推論向量組線性無關(guān)任意得部分組線性無關(guān)。定理5設(shè)(1)線性相關(guān);(2)線性無關(guān)、證設(shè)比較等式兩端向量得對應(yīng)分量可得即、由定理可得:線性相關(guān)有非零解推論1在定理5中,當時,有(１)線性相關(guān);(2)線性無關(guān).推論２在定理5中,當時,有(1)線性相關(guān)中所有得階子式();(２)線性無關(guān)中至少有一個階子式()。推論3在定理５中,當時,必有線性相關(guān).因為,由定理5(1)即得.推論4向量組:向量組:若線性無關(guān),則線性無關(guān)(即無關(guān)組添加分量仍無關(guān))。證線性無關(guān)就是得子矩陣線性無關(guān)定理6劃分,則有(１)中某個中“所在得”個行向量線性無關(guān);中“所在得”個列向量線性無關(guān).(2)中所有中任意得個行向量線性相關(guān);中任意得個列向量線性相關(guān).證只證“行得情形”:(1)設(shè)位于得行,作矩陣,則有線性無關(guān).(2)任取中個行,設(shè)為行,作矩陣,則有線性相關(guān)。[注］稱為得行向量組,為得列向量組.§3向量組得秩定義５向量組得秩:設(shè)向量組為,若(1)在中有個向量線性無關(guān);(２)在中任意個向量線性相關(guān)(如果有個向量得話)、稱為向量組為得一個最大線性無關(guān)組,稱為向量組得秩,記作:秩.[注］(1)向量組中得向量都就是零向量時,其秩為0、(2)秩時,中任意個線性無關(guān)得向量都就是得一個最大無關(guān)組。例如,,,,得秩為2、線性無關(guān)就是一個最大無關(guān)組線性無關(guān)就是一個最大無關(guān)組［注]一個向量組得最大無關(guān)組一般不就是唯一得.定理7設(shè),則(1)得行向量組(列向量組)得秩為;(2)中某個中所在得個行向量(列向量)就是得行向量組(列向量組)得最大無關(guān)組。證只證“行得情形":中某個,而中所有由定理６中所在得個行向量線性無關(guān)中任意得個行向量線性相關(guān)由定義:得行向量組得秩為,且中所在得個行向量就是得向量組得最大無關(guān)組.例5向量組:,,,求得一個最大無關(guān)組。解構(gòu)造矩陣求得秩矩陣中位于１,2行1,2列得二階子式故就是得一個最大無關(guān)組、［注]為行向量組時,可以按行構(gòu)造矩陣、定理8(1)若,則“得列”線性相關(guān)(線性無關(guān))“得列”線性相關(guān)(線性無關(guān));(2)若,則“得行”線性相關(guān)(線性無關(guān))“得行”線性相關(guān)(線性無關(guān)).證(1)劃分,由可得故方程組與方程組同解.于就是有線性相關(guān)存在不全為0,使得存在不全為0,使得線性相關(guān)同理可證(２)、[注］通常習(xí)慣于用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣,當階梯形矩陣得秩為時,得非零行中第一個非零元素所在得個列向量就是線性無關(guān)得.定義6等價向量組:設(shè)向量組,若可由線性表示,稱可由線性表示;若與可以互相線性表示,稱與等價.(1)自反性:與等價(２)對稱性:與等價與等價(３)傳遞性:與等價,與等價與等價定理9向量組與它得最大無關(guān)組等價。證設(shè)向量組得秩為,得一個最大無關(guān)組為.(1)中得向量都就是中得向量可由線性表示;(2)任意,當時,可由線性表示;當時,線性相關(guān),而線性無關(guān)則可由線性表示.故可由線性表示.因此,與等價.推論向量組得任意兩個最大無關(guān)組等價.定理10向量組,向量組.若線性無關(guān),且可由線性表示,則。證不妨設(shè)與都就是列向量,考慮向量組易見,秩秩.構(gòu)造矩陣因為可由線性表示,所以于就是可得秩、推論1若可由線性表示,則秩秩。證設(shè)秩,且得最大無關(guān)組為;秩,且得最大無關(guān)組為,則有可由線性表示可由線性表示可由線性表示(定理10)推論2設(shè)向量組與等價,則秩秩。[注］由“秩秩"不能推出“與等價"！正確得結(jié)論就是:與等價與等價例6設(shè),,則,.證設(shè),,,則即可由線性表示,故。根據(jù)上述結(jié)果可得§4線性方程組解得結(jié)構(gòu),,齊次方程組非齊次方程組()結(jié)論(1),與同解.(2)有非零解。(3)有解.(4)設(shè),則時,有唯一解;時,有無窮多解.定義7(1)得解空間:解集合故構(gòu)成向量空間,稱為得解空間.(2)得基礎(chǔ)解系不妨設(shè)得一般解為()依次令可求得,,…,因為(１)線性無關(guān)(2),所以就是解空間得一個基,稱為得基礎(chǔ)解系.例７設(shè),求得一個基礎(chǔ)解系。解,同解方程組為依次取,可求得基礎(chǔ)解系為,(３)解得結(jié)構(gòu)①,②,就是得解設(shè)得一個基礎(chǔ)解系為得特解為,一般解為,則有()例8設(shè),,求得通解.解同解方程組為基礎(chǔ)解系:,;特解:通解:()例9設(shè),得3個解滿足,,求得通解、解得基礎(chǔ)解系中含有個解向量因為所以就是得基礎(chǔ)解系又就是得特解故得通解為。例10設(shè),就是得解,證明:就是得基礎(chǔ)解系線性無關(guān)。證(1)必要性設(shè)數(shù)組使得左乘,利用可得因為,所以由此可得因為就是得基礎(chǔ)解系,所以線性無關(guān),從而有故線性無關(guān).(２)充分性就是得解向量設(shè)數(shù)組使得則因為線性無關(guān),所以只有,故向量組線性無關(guān)。因此就是得基礎(chǔ)解系.§5向量空間定義8(１)向量空間:設(shè)就是具有某些共同性質(zhì)得維向量得集合,若對任意得,有;(加法封閉)對任意得,,有.(數(shù)乘封閉)稱集合為向量空間、例如就是向量空間就是向量空間不就是向量空間,即數(shù)乘運算不封閉.例1１給定維向量組,驗證就是向量空間.稱之為由向量組生成得向量空間,記作證設(shè),則,,于就是有由定義知,就是向量空間.(2)子空間:設(shè)與都就是向量空間,且,稱為得子空間.例如前面例子中得就是得子空間、(3)向量空間得基與維數(shù):設(shè)向量空間,若①中有個向量線性無關(guān);②可由線性表