新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.5A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．設(shè)隨機(jī)變量Z聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z～N(0，1)，且Z在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分別為p1，p2，則p1和p2的大小關(guān)系為()A．p1＞p2 B．p1＜p2C．p1＝p2 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)檫@是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，所以p1＝p2.2．已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2).若P(ξ＞2)＝0.15，則P(0≤ξ≤1)等于()A．0.85 B．0.70C．0.35 D．0.15【答案】C【解析】P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ＞2)＝0.35.3．已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X＞4)＝()A．0.1588 B．0.15865C．0.1586 D．0.15855【答案】B【解析】P(X＞4)＝eq\f(1,2)[1－P(2≤X≤4)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865.4．某工廠生產(chǎn)的零件外直徑(單位：cm)聽從正態(tài)分布N(10，0.04)，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為9.75cm和9.35cm，則可認(rèn)為()A．上、下午生產(chǎn)狀況均正常B．上、下午生產(chǎn)狀況均異樣C．上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常D．上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣【答案】D【解析】∵零件外直徑X～N(10，0.04)，∴依據(jù)3σ原則，產(chǎn)品外直徑在(10－3×0.2，10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外時(shí)為異樣．∵9.4<9.75<10.6，9.35<9.4，∴可認(rèn)為上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣．故選D．5．某年高二年級(jí)共有14000人參與教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X近似聽從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(≥100)＝0.3，據(jù)此可估計(jì)這次數(shù)學(xué)成果在80～90分的學(xué)生人數(shù)約為()A．2800 B．4200C．5600 D．7000【答案】A【解析】∵X～N(90，σ2)，且P(X≥100)＝0.3，∴P(X≤80)＝0.3.∴P(80≤X≤90)＝eq\f(1－0.3×2,2)＝0.2.∴估計(jì)這次檢測(cè)數(shù)學(xué)成果在80～90分之間的學(xué)生人數(shù)約為14000×0.2＝2800.6．(2024年大連期末)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值為()A．eq\f(9,2) B．4C．6 D．9【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(1，σ2)且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(a,2)＝1，得a＝2.eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,2－x)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,2－x))[x＋(2－x)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立．所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值為eq\f(9,2).7．(多選)(2024年張家港月考)在一次考試中，對(duì)某學(xué)校數(shù)學(xué)考試成果的數(shù)據(jù)分析，男生的成果X聽從正態(tài)分布N(72，92)，女生成果Y聽從正態(tài)分布N(74，72)，若P(|X－μ|≤2σ)≈95.4%，則下列說法中正確的是()A．女生的平均成果高于男生B．男生成果比較分散，女生成果比較集中C．在女生中，不及格(低于60分)的人數(shù)不超過3%D．在男生中，優(yōu)秀(高于90分)的人數(shù)超過3%【答案】ABC【解析】∵男生的成果X聽從正態(tài)分布N(72，92)，女生成果Y聽從正態(tài)分布N(74，72)，∴男生的平均成果為72分，女生的平均成果為74分，即女生的平均成果高于男生，故A正確；∵92>72，∴男生成果比較分散，女生成果比較集中，故B正確；∵女生成果Y聽從正態(tài)分布N(74，72)，∴P(Y<60)＝P(Y≤74)－P(60≤X≤74)≈0.5－eq\f(0.954,2)＝0.023<0.03，故C正確；∵男生的成果X聽從正態(tài)分布N(72，92)，∴P(X≤90)＝P(X≤72)＋P(72≤X≤90)≈0.5＋eq\f(0.954,2)＝0.977，∴P(X>90)＝1－P(X≤90)＝0.023<0.03，故D錯(cuò)誤．故選ABC．8．已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，則P(2＜X≤3)＝________．【答案】0.34【解析】如圖，由圖可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2＜X≤3)＝eq\f(1,2)P(2＜X＜4)＝eq\f(1,2)×0.68＝0.34.9．若某一正態(tài)分布的均值和方差分別是2和3，則這一正態(tài)密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為________．【答案】f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,6))【解析】由已知可得μ＝2，σ2＝3，將它們代入f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,2σ2))，便得所求函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\s\up6(\f((x－2)2,6)).10．假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是聽從正態(tài)分布N(800，502)的隨機(jī)變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0，求p0的值．(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)解：由于隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)≈0.9545.由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(700＜X≤900)≈0.9773.B級(jí)——實(shí)力提升練)11．(2024年成都模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，有下列四個(gè)命題：甲：P(ξ<a－1)>P(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；丙：P(ξ≤a)＝0.5；丁：P(a<ξ<a＋1)<P(a＋1<ξ<a＋2).假如只有一個(gè)假命題，那么該命題為()A．甲 B．乙C．丙 D．丁【答案】D【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命題，故a＝μ.依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，甲：P(ξ<μ－1)>P(ξ>μ＋2)為真命題，所以丁為假命題．并且P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)，所以假命題是?。?2．(多選)(2024年吉林期末)某工廠加工一種零件，有兩種不同的工藝選擇，用這兩種工藝加工一個(gè)零件所需時(shí)間t(單位：小時(shí))均近似聽從正態(tài)分布．用工藝1加工一個(gè)零件所用時(shí)間X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))；用工藝2加工一個(gè)零件所用時(shí)間Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2)).X，Y的分布密度曲線如圖所示，則()A．μ1<μ2，σeq\o\al(2,1)>σeq\o\al(2,2)B．若加工時(shí)間只有a小時(shí)，應(yīng)選擇工藝2C．若加工時(shí)間只有c小時(shí)，應(yīng)選擇工藝2D．?x0∈(b，c)，P(X<x0)>P(Y<x0)【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)閄～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，所以X的密度曲線的對(duì)稱軸μ1＝a，Y的密度曲線的對(duì)稱軸μ2＝b，由圖知a<b.又因?yàn)閅～N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲線比X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))密度曲線更“瘦高”，則σeq\o\al(2,2)<σeq\o\al(2,1)，所以A正確．對(duì)于B，若加工時(shí)間只有a小時(shí)，P(X≤a)＝eq\f(1,2)，P(Y≤a)<eq\f(1,2)，則應(yīng)選擇工藝1，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若加工時(shí)間只有c小時(shí)，P(X≤c)＝1－P(X>c)，P(Y≤c)＝1－P(Y>c)，而P(X>c)>P(Y>c)，故P(X≤c)<P(Y≤c)，則應(yīng)選擇工藝2，所以C正確．對(duì)于D，?x0∈(b，c)，P(X<x0)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，P(Y<x0)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，無法推斷兩者的大小，所以D錯(cuò)誤．故選AC．13．已知隨機(jī)變量X～N(2，22)，且aX＋b(a>0)聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，則a＝________，b＝________．【答案】eq\f(1,2)－1【解析】∵隨機(jī)變量X～N(2，22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，解得a＝eq\f(1,2)，b＝－1.14．某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))為隨機(jī)變量Y，已知Y～N(1000，302)，要使燈管的平均壽命在1000小時(shí)的概率為99.7%，則燈管的最低壽命應(yīng)限制在________小時(shí)．【答案】910【解析】因?yàn)镻(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)＝99.7%，又Y～N(1000，302)，所以Y在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910，1090)內(nèi)取值的概率為99.7%，故最低壽命應(yīng)限制在910小時(shí)．15．(2024年邯鄲模擬)某工廠為A公司生產(chǎn)某種零件．現(xiàn)打算交付一批(1000個(gè))剛出廠的該零件，質(zhì)檢員從中抽取了100個(gè)，測(cè)量并記錄了它們的尺寸(單位：mm)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：零件的尺寸(2，2.03](2.03，2．06](2.06，2．09]2.09以上零件的個(gè)數(shù)436564(1)將頻率視為概率，設(shè)該批零件的尺寸不大于2.06mm的零件數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的均值；(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)的該零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)，依據(jù)A公司長期的運(yùn)用閱歷，該廠供應(yīng)的每批該零件中，Y>m的零件為不合格品，約占整批零件的10%，其余尺寸的零件均為合格品，請(qǐng)估計(jì)m的值(結(jié)果保留三位小數(shù)).附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝eq\f(Y－μ,σ)，則Z～N(0，1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.解：(1)依題意，得P(尺寸不大于2.06mm)＝eq\f(4＋36,100)＝0.4，∴X～B(1000，0.4).∴E(X)