微積分：六個(gè)不定積分計(jì)算步驟及其答案D4

微積分：六個(gè)數(shù)學(xué)不定積分計(jì)算步驟1.計(jì)算eq\i(,,\f(6x-21,3x2-21x+6))dx。解：觀察積分函數(shù)特征，對(duì)于積分函數(shù)的分母有(3x2-21x+6)'=6x-21，剛好是分母表達(dá)式，故本題可以用積分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c來(lái)變形計(jì)算。eq\i(,,\f(6x-21,3x2-21x+6))dx=eq\i(,,\f(d(3x2-21x),3x2-21x+6))=eq\i(,,\f(d(3x2-21x+6),3x2-21x+6))=ln|3x2-21x+6|+C。2.計(jì)算eq\i(,,(3x2-22)2)dx.解：對(duì)此類型總體思路是降次積分，有兩種思路，思路一是將積分函數(shù)2次冪展開，再分別計(jì)算不定積分，即：eq\i(,,(3x2-22)2)dx=eq\i(,,(32x?-132x2+222))dx,=eq\i(,,32x?dx)-eq\i(,,132x2dx)+eq\i(,,222dx),=eq\f(1,5)*32x?-eq\f(1,3)*132x3+222x+C.思路二：通過(guò)分部積分進(jìn)行計(jì)算，有：eq\i(,,(3x2-22)2)dx=(3x2-22)2x-eq\i(,,xd(3x2-22)2)，=(3x2-22)2x-4*3eq\i(,,x2(3x2-22))dx，=(3x2-22)2x-4*3eq\i(,,(3x?-22x2)dx)，=(3x2-22)2x-4*32eq\i(,,x?dx)+4*3*22eq\i(,,x2dx),=(3x2-22)2x-eq\f(4,5)*32x?+eq\f(2,3)*132x3+C。3.積分eq\i(,,\f(dx,(x2-6x+13)))的計(jì)算。解：根據(jù)積分函數(shù)的特點(diǎn)，分母看作成二次函數(shù)，則判別式△=62-4*13＜0,即與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故分母函數(shù)可以通過(guò)配方得到形如(x-a)2+c的形式，再根據(jù)不定積分公式eq\i(,,\f(dx,1+x2))=arctanx+C變形計(jì)算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x2-6x+13)))=eq\i(,,\f(dx,x2-6x+9+4))=eq\i(,,\f(dx,(x-3)2+4))=eq\f(1,4)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-3)2,4)))=eq\f(1,eq\r(4))eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(4)),1+\f((x-3)2,4))),=eq\f(1,eq\r(4))arctaneq\f(x-3,eq\r(4))+C。4.計(jì)算eq\i(,,(\f(33,44x)+\f(56x,23))2dx).解：本題主要采用將積分函數(shù)通過(guò)平方展開后，再分別進(jìn)行積分，有：eq\i(,,(\f(33,44x)+\f(56x,23))2dx)=eq\i(,,[(eq\f(33,44x))2+2*eq\f(33,44)*eq\f(56,23)+(eq\f(56x,23))2]dx),=(eq\f(33,44))2eq\i(,,\f(dx,x2))+eq\f(84,23)eq\i(,,dx)+(eq\f(56,23))2eq\i(,,x2dx),=-eq\f((\f(33,44))2,x)+eq\f(84x,23)+eq\f(1,3)*(eq\f(56,23))2x3+C。5.計(jì)算eq\i(,,(5x3-3x2+40)102(15x2-6x)dx)不定積分計(jì)算解:本積分函數(shù)的特征是變形指數(shù)低的部分，即后一項(xiàng)，又因?yàn)?5x3-3x2+40)'=15x2-6x,所以可以使用湊分法進(jìn)行不定積分計(jì)算，則：eq\i(,,(5x3-3x2+40)102(15x2-6x)dx)=eq\i(,,(5x3-3x2+40)102d(5x3-3x2+40)),=eq\f(1,103)(5x3-3x2+40)103+C.6.計(jì)算eq\i(,,xln(25x-114))dx。解:本積分出現(xiàn)自然對(duì)數(shù)與一次函數(shù)x的乘積形式，思路是將x湊分到積分單元中，再進(jìn)行分部積分法，有：eq\i(,,xln(25x-114))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(25x-114)dx2)，=eq\f(1,2)x2ln(25x-114)-eq\f(1,2)eq\i(,,x2dln(25x-114)),=eq\f(1,2)x2ln(25x-114)-eq\f(25,2)eq\i(,,\f(x2dx,25x-114)),=eq\f(1,2)x2ln(25x-114)-eq\i(,,(x+\f(114,25)))dx-(eq\f(114,25))2eq\i(,,\f(d