安徽省淮北市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page20一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用集合的并運(yùn)算求集合.【詳解】由題設(shè).故選：D2.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)純虛數(shù)的定義列式求解即可.【詳解】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，則，解得.故選：B.3.“”是“直線：與：平行”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩條直線的一般式方程平行的判定，結(jié)合充要條件的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】時(shí)，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時(shí)，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.4.已知角的終邊過點(diǎn).則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)角的終邊過點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義得到，然后利用兩角差的正弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以，，故選：C5.已知平面對(duì)量，且與的夾角為，則（）A.12 B.16 C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合模長(zhǎng)公式和數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選：C.6.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.11【答案】A【解析】【分析】設(shè)，倒序相加再由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，則，所以.故選：A7.已知空間直線、和平面滿意：，，.若點(diǎn)，且點(diǎn)到直線、的距離相等，則點(diǎn)的軌跡是（）A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】C【解析】【分析】畫圖分析，依據(jù)題意建立等量關(guān)系即可得到點(diǎn)的軌跡是雙曲線.【詳解】如圖：不妨設(shè)在平面內(nèi)射影為，則與相交，與垂直，設(shè)直線與平面的距離為，則在平面內(nèi)，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則到距離為，到的距離為，從而到直線的距離為，所以，即，故軌跡為雙曲線，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).若圓上存在唯一點(diǎn)，使得直線在軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)直線在軸上的截距之積列方程，依據(jù)唯一性求得的值.【詳解】圓的圓心在直線上，半徑為，所以在圓外，設(shè)，其中且，直線的方程為，縱截距為，直線的方程為，縱截距為，依題意有，整理得，所以在圓上，圓心為，半徑為.則圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，或圓與圓相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)兩圓外切或內(nèi)切時(shí)：圓的圓心為，半徑為，則或，前者無解，后者解得.當(dāng)圓與圓相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，，將代入，得.綜上所述，的值為或.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求直線方程時(shí)，可以依據(jù)已知條件，利用合適的求法來求，如本題中，已知兩點(diǎn)，則可以考慮兩點(diǎn)式，也可以考慮點(diǎn)斜式來求解.圓有關(guān)的問題，可考慮方程的思想，如本題中“截距之積”，這就是一個(gè)方程，也即是一個(gè)等量關(guān)系式，是解題的突破口.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若，則曲線C是圓B.若，則曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.若，則曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D.曲線C可以是拋物線【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的有關(guān)學(xué)問求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于是非零實(shí)數(shù)，所以的最高次項(xiàng)都是，所以曲線不行能是拋物線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.已知為數(shù)列前項(xiàng)和，則下列結(jié)論成立的有（）A.若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則數(shù)列為等差數(shù)列B.若數(shù)列為等差數(shù)列，若，則C.若數(shù)列為等差數(shù)列，其前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為，且，則公差為2D.若數(shù)列滿意，且，則該數(shù)列的前100項(xiàng)和【答案】ABC【解析】【分析】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)可推斷選項(xiàng)ABC，依據(jù)所給數(shù)列表達(dá)式，找出規(guī)律求出即可.【詳解】A選項(xiàng)：依題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，首項(xiàng)為，則，又，即，化簡(jiǎn)可得，則，，所以，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：等差數(shù)列的前10項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和為，奇數(shù)項(xiàng)的和為，又偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為，且，則，解得，所以，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列依次為：，所以數(shù)列從第項(xiàng)起，周期為，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.已知雙曲線，若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（）A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6B.雙曲線C的離心率C.點(diǎn)P為雙曲線C上隨意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為、，則D.直線與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則【答案】BC【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切求出的值，結(jié)合離心率公式可推斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)，則，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：由題意知的漸近線方程為，所以，因?yàn)?，則，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；，所以，故B正確；設(shè)，則，，故C正確；設(shè)、，則，兩式作差得，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知正方體棱長(zhǎng)為4，正四面體的棱長(zhǎng)為a，則以下說法正確的是（）A.正方體的內(nèi)切球直徑為4B.正方體的外接球直徑為C.若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D.若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】求得正方體外接球的直徑推斷選項(xiàng)A、B，對(duì)于C，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球；對(duì)于D，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球.【詳解】對(duì)于A，正方體的內(nèi)切球直徑即其棱長(zhǎng)，所以直徑為4，A正確；對(duì)于B，正方體的外接球直徑即其體對(duì)角線，所以直徑為，B錯(cuò)誤；正四面體的棱長(zhǎng)為a因?yàn)檎拿骟w的外接球的球心O到點(diǎn)F、G、H的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影，到點(diǎn)F、G、H的距離相等，又因?yàn)樵谡拿骟w中是正三角形，所以是的中心，進(jìn)而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點(diǎn)O到正四面體各面的距離相等，所以點(diǎn)O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個(gè)，則另一個(gè)也出來了.因?yàn)樵谡拿骟w中，是正三角形，是其中心，所以，因?yàn)槠矫?平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對(duì)于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對(duì)于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.與橢圓有相同焦點(diǎn)且實(shí)軸長(zhǎng)4的雙曲線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線焦點(diǎn)位置及求解即可.【詳解】由橢圓可知雙曲線中，，且焦點(diǎn)在軸，又，，，所以雙曲線方程.故答案為：14.已知事務(wù)與事務(wù)互斥，假如，，那么__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)互斥得到，計(jì)算，得到答案.【詳解】事務(wù)與事務(wù)互斥，則，，故.故答案為：.15.小明用數(shù)列記錄某地區(qū)2024年8月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)趉天下過雨時(shí)，記，當(dāng)?shù)趉天沒下過雨時(shí)，記，他用數(shù)列記錄該地區(qū)該月每天氣象臺(tái)預(yù)報(bào)是否有雨，方法為：當(dāng)預(yù)報(bào)第k天有雨時(shí)，記，當(dāng)預(yù)報(bào)第k天沒有雨時(shí)，記記錄完畢后，小明計(jì)算出，那么該月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)精確的總天數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，氣象臺(tái)預(yù)報(bào)精確時(shí)，不精確時(shí)，從而得到從而得到最終得結(jié)果.【詳解】由題意可知，氣象臺(tái)預(yù)報(bào)精確時(shí)，不精確時(shí)，，設(shè)其中有天精確，即等式左邊有個(gè)，個(gè)，則，解得，所以精確天數(shù)為.故答案為：16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，離心率分別為，且，若P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合為橢圓和雙曲線的公共點(diǎn)，分別依據(jù)定義在橢圓和雙曲線里列和的關(guān)系，表示出和，然后結(jié)合，在用余弦定理表示即可.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，設(shè)雙曲線的方程為，，設(shè)P是兩條曲線第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則有，，所以，，在中，又因?yàn)?，則，即，即，所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿意（1）求；（2）若面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理邊角互化即可求解，（2）依據(jù)面積公式，進(jìn)而依據(jù)余弦定理可得，即可求解.【小問1詳解】由和正弦定理得，，由于,故，【小問2詳解】，又故周長(zhǎng)18.已知的頂點(diǎn)，，線段AB的垂直平分線的方程為．（1）求直線BC的方程；（2）若的外接圓為圓M，過點(diǎn)作圓M的切線，求切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得直線的方程.（2）依據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類探討，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【小問1詳解】因?yàn)榫€段AB的垂直平分線的方程為，所以點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱．因?yàn)?，所以．又，所以直線BC的方程為．【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所以外接圓的方程為，即．所以圓M的圓心為，半徑為．當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，滿意題意．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即．因?yàn)閳A心M到切線的距離，解得，所以切線方程為，即．綜上所述，切線方程為或．19.設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列前100項(xiàng)的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算即得；（2）依據(jù)條件確定的取值，進(jìn)而利用分組求和法即得.【小問1詳解】設(shè)公比為，由，得，即，得，解得或（舍去），得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，可知，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.∴數(shù)列前100項(xiàng)和為.20.某中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行地理學(xué)問競(jìng)賽，隨機(jī)抽取500名學(xué)生的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將這500名學(xué)生成果分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若成等差數(shù)列，且成果在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為120．（1）求a，b，c的值；（2）估計(jì)這500名學(xué)生成果的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）由成果在區(qū)間[90，100]內(nèi)的甲、乙等5名學(xué)生組成幫助小組，幫助成果在區(qū)間[50，60）內(nèi)的學(xué)生A，B，其中3人幫助A，余下的2人幫助B，求甲、乙都幫助A的概率．【答案】（1），（2）中位數(shù)估計(jì)為73，平均數(shù)73.8（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)的人數(shù)先求出，再利用其成等差數(shù)列，以及全部小矩形面積為1得到方程，解出即可.（2）設(shè)估計(jì)中位數(shù)為t，列出方程，解出即可，再利用頻率分布直方圖求出平均值即可.（3）列出全部狀況，找到滿意題意得狀況，即可得到概率.【小問1詳解】依題意可得：又∵成等差數(shù)列，∴且，解得：小問2詳解】估計(jì)中位數(shù)設(shè)為t，而的頻率為0.41，的頻率為0.71,則，∴，解得：，即中位數(shù)估計(jì)為73，估計(jì)平均數(shù)為：．【小問3詳解】5人中，將甲、乙分別編號(hào)為1,2，其余3人編號(hào)，從這5人中選3人幫助A的所以可能結(jié)果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10個(gè)基本領(lǐng)件，其中滿意條件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3個(gè)，故滿意條件的概率為.21.如圖，在三棱錐中，，，為棱的中點(diǎn)（1）證明：平面⊥平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小【答案】（1）證明見解析（2）30°【解析】【分析】對(duì)于（1），通過題目條件，可以分別得到和長(zhǎng)度，分別通過勾股定理和等腰三角形的三線合一得到和，從而得到平面，從而得到平面⊥平面；對(duì)于（2），先建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橐阎c平面所成角的正弦值為，同時(shí)點(diǎn)在棱上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而分別求出和平面的法向量，并得到點(diǎn)的坐標(biāo)。因?yàn)橐蠖娼堑拇笮?，所以分別求平面和平面的法向量，進(jìn)而求出二面角的余弦值，從而得到二面角的大小?！拘?詳解】連接．∵，為棱的中點(diǎn)，∴，且又，∴，且則，則∵，平面，平面∴平面，而平面，∴平面平面【小問2詳解】建立以為坐標(biāo)