新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.4向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)學(xué)生用書新人教A版必修第二冊(cè)

向量的數(shù)量積第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解向量的數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．(數(shù)學(xué)抽象)2．駕馭向量的數(shù)量積的定義及投影向量．(數(shù)學(xué)抽象)3．會(huì)計(jì)算平面對(duì)量的數(shù)量積．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車的位移是s，力和位移的夾角為θ．問題：該大力士所做的功是多少？學(xué)問點(diǎn)1向量的數(shù)量積1．兩向量的夾角已知兩個(gè)____向量a，b，O是平面上的隨意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ(________)叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b____；當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b____；當(dāng)θ＝π2時(shí)，向量a與b____，記作a⊥b1．如何作出向量a與b的夾角？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．平面對(duì)量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)____向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量___________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝______________．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__．2．把“a·b”寫成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB＝a，CD＝b，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱這種變換為向量a向向量b投影，________叫做向量a3．如圖，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么OM1與e，a，θ_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問點(diǎn)2向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ．(2)a⊥b?_________＝0．(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝_________；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝_________．特殊地，a·a＝_________或|a|＝_______．(4)|a·b|_____|a||b|．4．若a·b＝0，則a⊥b確定成立嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．a(chǎn)·b的符號(hào)與兩向量的夾角有何關(guān)系？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b＝()A．－32B．－62C．62D．22．若向量a，b的夾角為60°，則向量a與－b的夾角為________．3．已知|a|＝5，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則向量b在a方向上的投影向量為________．類型1定義法求向量的夾角【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，依據(jù)“一作二證三算”的步驟求出．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，已知△ABC是等邊三角形．(1)求向量AB與BC的夾角；(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量AE與EC的夾角．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算【例2】如圖，在?ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·DA．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________定義法求平面對(duì)量的數(shù)量積(1)求模：即分別求|a|和|b|．(2)求夾角：尤其留意向量a與b的方向．(3)求數(shù)量積：即a·b＝______________．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分別求下列狀況下a與b的數(shù)量積：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3投影向量【例3】已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________投影向量的求法方法一：用幾何法作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，干脆得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量為_________________．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．在?ABCD中，∠DAB＝30°，則AD與CD的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°2．已知|a|＝3，|b|＝6，當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝()A．18 B．－18C．±18 D．03．設(shè)|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為________．4．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為π3，則b在a方向上的投影向量為________回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．向量夾角的范圍是多少？2．如何求兩個(gè)向量的數(shù)量積？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？4．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？5．|a·b|與|a||b|的大小關(guān)系如何？第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)11．非零0≤θ≤π同向反向垂直思索1提示：2．非零|a||b|cosθ|a||b|cosθ0思索2提示：不行以，數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書寫時(shí)，確定要嚴(yán)格，必需寫成“a·b”的形式．3．A思索3提示：OM1＝|a|cosθ學(xué)問點(diǎn)2(2)a·b(3)|a||b|－|a||b||a|2a·思索4提示：不愿定，也可能a＝0或b＝0．思索5提示：a·b<0，由a·b＝|a||b|cosθ可知，兩向量的夾角是鈍角或180°．而a·b>0時(shí)，由a·b＝|a||b|cosθ可知，兩向量的夾角是銳角或0°．課前自主體驗(yàn)1．B[a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×-22＝－62．120°3．15a[向量b在a(|b|cosθ)aa＝2×cos60°×15a＝1[關(guān)鍵實(shí)力·合作探究釋疑難]例1解：如圖所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°．以O(shè)A，OB為鄰邊作?則OC＝a＋b，BA＝a－b．因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以?OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以O(shè)C與OA的夾角為30°，BA與OA的夾角為60°．即a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°．跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：(1)因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°．如圖，延長AB至點(diǎn)D，使BD＝AB，則AB＝BD，所以∠DBC為向量AB與BC的夾角．因?yàn)椤螦BC＝60°，所以∠DBC＝120°，所以向量AB與BC的夾角為120°．(2)因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，所以向量AE與EC的夾角為90°．例2解：(1)因?yàn)锳D∥BC，且方向相同，所以AD與BC的夾角是0°，所以AD·BC＝|AD||BC|·cos0°＝3×3×1＝9．(2)因?yàn)锳B與AD的夾角為60°，所以AB與DA的夾角為120°，所以AB·DA＝|AB||DA|·cos120°＝4×3×-1發(fā)覺規(guī)律(3)|a||b|cosθ跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝6×5＝30；若a與b反向，則θ＝180°，a·b＝|a||b|cos180°＝－6×5＝－30．(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，a與b的夾角為90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0．(3)當(dāng)a與b的夾角為60°時(shí)，a·b＝|a||b|cos60°＝6×5×12例3解：(1)∵|b|＝