2024福建福州中考數(shù)學試題及答案(含答案)11

中考數(shù)學試卷一選擇題（共10小題，每題4分，共40分；每小題只有一個正確的選項，請在答題卡相應(yīng)的位置填涂）1（2024?福州）3的相反數(shù)是（）A﹣3BC3D﹣2（2024?福州）今年參觀“518”海交會的總?cè)藬?shù)約為489000人，將489000用科學記數(shù)法表示為（）A489×104B489×105C489×104D0489×1063（2024?福州）如圖是由4個大小相同的正方形組合而成的幾何體，其主視圖是（）ABCD4（2024?福州）如圖，直線a∥b，∠1=70°，那么∠2的度數(shù)是（）A50°B60°C70°D80°5（2024?福州）下列計算正確是（）Aa+a=2aBb3?b3=2b3Ca3÷a=a3D（a5）2=a76（2024?福州）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax＜1Bx≤1Cx＞1Dx≥17（2024?福州）某射擊運動員在一次射擊練習中，成績（單位：環(huán)）記錄如下：8，9，8，7，10這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A8，8B84，8C84，84D8，848（2024?福州）⊙O1和⊙O2的半徑分別是3cm和4cm，如果O1O2=7cm，則這兩圓的位置關(guān)系是（）A內(nèi)含B相交C外切D外離9（2024?福州）如圖，從熱氣球C處測得地面AB兩點的俯角分別是30°45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點ADB在同一直線上，則AB兩點的距離是（）A200米B200米C220米D100（）米10（2024?福州）如圖，過點C（1，2）分別作x軸y軸的平行線，交直線y=﹣x+6于AB兩點，若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（）A2≤k≤9B2≤k≤8C2≤k≤5D5≤k≤8二填空題（共5小題，每題4分，共20分；請將正確答案填在答題卡相應(yīng)的位置）11（2024?泉州）分解因式：x2﹣16=12（2024?福州）一個袋子中裝有3個紅球和2個綠球，這些球除了顏色外都相同，從袋子中隨機摸出一個球，則摸到紅球的概率為13（2024?福州）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為14（2024?福州）計算：=15（2024?福州）如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是，cosA的值是（結(jié)果保留根號）三解答題（滿分90分；請將正確的答案及解答過程填在答題卡的相應(yīng)位置，作圖或添加輔助線用鉛筆畫完，在用黑色簽字筆描黑）16（2024?福州）（1）計算：|﹣3|+（π+1）0﹣（2）化簡：a（1﹣a）+（a+1）2﹣117（2024?福州）（1）如圖1，點EF在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積（結(jié)果保留π）18（2024?福州）省教育廳決定在全省中小學開展“關(guān)注校車關(guān)愛學生”為主題的交通安全教育宣傳周活動，某中學為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學生，將收集的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題（1）m=%，這次共抽取名學生進行調(diào)查；并補全條形圖；（2）在這次抽樣調(diào)查中，采用哪種上學方式的人數(shù)最多？（3）如果該校共有1500名學生，請你估計該校騎自行車上學的學生有多少名？19（2024?福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分（1）小明考了68分，那么小明答對了多少問題？（2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？20（2024?福州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的長21（2024?福州）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ分別從點AC同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t≥0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=，PD=（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長22（2024?福州）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）B（4，4）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點POD分別與點NOB對應(yīng)）福建省福州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一選擇題（共10小題，每題4分，共40分；每小題只有一個正確的選項，請在答題卡相應(yīng)的位置填涂）1（2024?福州）3的相反數(shù)是（）A﹣3BC3D﹣考點：相反數(shù)。專題：存在型。分析：根據(jù)相反數(shù)的定義進行解答解答：解：由相反數(shù)的定義可知，3的相反數(shù)是﹣3故選A點評：本題考查的是相反數(shù)的定義，即只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)2（2024?福州）今年參觀“518”海交會的總?cè)藬?shù)約為489000人，將489000用科學記數(shù)法表示為（）A489×104B489×105C489×104D0489×106考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)。分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)解答：解：489000=489×105故選B點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值3（2024?福州）如圖是由4個大小相同的正方形組合而成的幾何體，其主視圖是（）ABCD考點：簡單組合體的三視圖。分析：從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖根據(jù)圖中正方體擺放的位置判定則可解答：解：從正面看，下面一行是橫放3個正方體，上面一行中間是一個正方體故選C點評：本題考查了三種視圖中的主視圖，比較簡單4（2024?福州）如圖，直線a∥b，∠1=70°，那么∠2的度數(shù)是（）A50°B60°C70°D80°考點：平行線的性質(zhì)。分析：根據(jù)兩角的位置關(guān)系可知兩角是同位角，利用兩直線平行同位角相等即可求得結(jié)果解答：解：∵a∥b，∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=70°，∴∠2=70°故選C點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到答案，比較簡單，屬于基礎(chǔ)題5（2024?福州）下列計算正確是（）Aa+a=2aBb3?b3=2b3Ca3÷a=a3D（a5）2=a7考點：同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方。專題：計算題。分析：分別根據(jù)合并同類項同底數(shù)冪的除法與乘法冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一計算即可解答：解：Aa+a=2a，故本選項正確；Bb3?b3=b6，故本選項錯誤；Ca3÷a=a2，故本選項錯誤；D（a5）2=a10，故本選項錯誤故選A點評：本題考查的是合并同類項同底數(shù)冪的除法與乘法冪的乘方與積的乘方法則，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵6（2024?福州）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）Ax＜1Bx≤1Cx＞1Dx≥1考點：二次根式有意義的條件。分析：根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可解答：解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣1≥0，解得x≥1故選D點評：本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于07（2024?福州）某射擊運動員在一次射擊練習中，成績（單位：環(huán)）記錄如下：8，9，8，7，10這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A8，8B84，8C84，84D8，84考點：中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)。分析：根據(jù)平均數(shù)公式求解即可，即用所有數(shù)據(jù)的和除以5即可；5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是排序后的第三個數(shù)解答：解：8，9，8，7，10的平均數(shù)為×（8+9+8+7+10）=848，9，8，7，10排序后為7，8，8，9，10，故中位數(shù)為8故選B點評：本題考查了中位數(shù)及算術(shù)平均數(shù)的求法，特別是中位數(shù)，首先應(yīng)該排序，然后再根據(jù)數(shù)據(jù)的個數(shù)確定中位數(shù)8（2024?福州）⊙O1和⊙O2的半徑分別是3cm和4cm，如果O1O2=7cm，則這兩圓的位置關(guān)系是（）A內(nèi)含B相交C外切D外離考點：圓與圓的位置關(guān)系。分析：由⊙O1⊙O2的半徑分別是3cm4cm，若O1O2=7cm，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系解答：解：∵⊙O1⊙O2的半徑分別是3cm4cm，O1O2=7cm，又∵3+4=7，∴⊙O1和⊙O2的位置關(guān)系是外切故選C點評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系圓和圓的位置與兩圓的圓心距半徑的數(shù)量之間的關(guān)系：①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d=R+r；③兩圓相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④兩圓內(nèi)切?d=R﹣r（R＞r）；⑤兩圓內(nèi)含?d＜R﹣r（R＞r）9（2024?福州）如圖，從熱氣球C處測得地面AB兩點的俯角分別是30°45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點ADB在同一直線上，則AB兩點的距離是（）A200米B200米C220米D100（）米考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題。分析：圖中兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求和即可解答：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于點D∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米故選D點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用CD為直角△ABC斜邊上的高，將三角形分成兩個三角形，然后求解分別在兩三角形中求出AD與BD的長10（2024?福州）如圖，過點C（1，2）分別作x軸y軸的平行線，交直線y=﹣x+6于AB兩點，若反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與△ABC有公共點，則k的取值范圍是（）A2≤k≤9B2≤k≤8C2≤k≤5D5≤k≤8考點：反比例函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析：先求出點AB的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可知，當反比例函數(shù)圖象與△ABC相交于點C時k的取值最小，當與線段AB相交時，k能取到最大值，根據(jù)直線y=﹣x+6，設(shè)交點為（x，﹣x+6）時k值最大，然后列式利用二次函數(shù)的最值問題解答即可得解解答：解：∵點C（1，2），BC∥y軸，AC∥x軸，∴當x=1時，y=﹣1+6=5，當y=2時，﹣x+6=2，解得x=4，∴點AB的坐標分別為A（4，2），B（1，5），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，當反比例函數(shù)與點C相交時，k=1×2=2最小，設(shè)與線段AB相交于點（x，﹣x+6）時k值最大，則k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，∵1≤x≤4，∴當x=3時，k值最大，此時交點坐標為（3，3），因此，k的取值范圍是2≤k≤9故選A點評：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的最值問題，本題看似簡單但不容易入手解答，判斷出最大最小值的取值情況并考慮到用二次函數(shù)的最值問題解答是解題的關(guān)鍵二填空題（共5小題，每題4分，共20分；請將正確答案填在答題卡相應(yīng)的位置）11（2024?泉州）分解因式：x2﹣16=（x﹣4）（x+4）考點：因式分解-運用公式法。分析：運用平方差公式分解因式的式子特點：兩項平方項，符號相反直接運用平方差公式分解即可a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）解答：解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）點評：本題考查因式分解當被分解的式子只有兩項平方項；符號相反，且沒有公因式時，應(yīng)首要考慮用平方差公式進行分解12（2024?福州）一個袋子中裝有3個紅球和2個綠球，這些球除了顏色外都相同，從袋子中隨機摸出一個球，則摸到紅球的概率為考點：概率公式。分析：根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率解答：解；布袋中球的總數(shù)為：2+3=5，取到黃球的概率為：故答案為：點評：此題主要考查了概率的求法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=13（2024?福州）若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為5考點：二次根式的定義。專題：存在型。分析：是正整數(shù)，則20n一定是一個完全平方數(shù)，首先把20n分解因數(shù)，確定20n是完全平方數(shù)時，n的最小值即可解答：解：∵20n=22×5n∴整數(shù)n的最小值為5故答案是：5點評：本題考查了二次根式的定義，理解是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵14（2024?福州）計算：=1考點：分式的加減法。專題：計算題。分析：直接根據(jù)同分母的分數(shù)相加減進行計算即可解答：解：原式==1故答案為：1點評：本題考查的是分式的加減法，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減15（2024?福州）如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是，cosA的值是（結(jié)果保留根號）考點：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。分析：可以證明△ABC∽△BDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過點D作DE⊥AB于點E，則E為AB中點，由余弦定義可求出cosA的值解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°∴∠A=∠DBC=36°，又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC，∴=，設(shè)AD=x，則BD=BC=x則=，解得：x=（舍去）或故x=如右圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AD=BD，∴E為AB中點，即AE=AB=在Rt△AED中，cosA==故答案是：；點評：△ABC△BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解三解答題（滿分90分；請將正確的答案及解答過程填在答題卡的相應(yīng)位置，作圖或添加輔助線用鉛筆畫完，在用黑色簽字筆描黑）16（2024?福州）（1）計算：|﹣3|+（π+1）0﹣（2）化簡：a（1﹣a）+（a+1）2﹣1考點：整式的混合運算；實數(shù)的運算；零指數(shù)冪。專題：計算題。分析：（1）原式第一項根據(jù)絕對值的代數(shù)意義：負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)進行化簡，第二項利用零指數(shù)公式化簡，第三項利用=|a|化簡，合并后即可得到結(jié)果；（2）利用乘法分配律將原式第一項括號外邊的a乘到括號里邊，第二項利用完全平方數(shù)展開，合并同類項后即可得到結(jié)果解答：解：（1）|﹣3|+（π+1）0﹣=3+1﹣2=2；（2）a（1﹣a）+（a+1）2﹣1=a﹣a2+a2+2a+1﹣1=3a點評：此題考查了整式的混合運算，以及實數(shù)的運算，涉及的知識有：絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)公式，二次根式的化簡，完全平方公式，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵17（2024?福州）（1）如圖1，點EF在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE（2）如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積（結(jié)果保留π）考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形的判定；扇形面積的計算；作圖-平移變換。分析：（1）由AB∥CD可知∠A=∠C，再根據(jù)AE=CF可得出AF=CE，由AB=CD即可判斷出△ABF≌CDE；（2）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的圖形，再根據(jù)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于以點C1為圓心，以A1C1為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式進行解答即可解答：（1）證明：∵AB∥CD∴∠A=∠C∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE∵AB=CD∴∴△ABF≌CDE（SAS）（2）解：①如圖所示；②如圖所示：在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于=4π點評：本題考查的是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換全等三角形的判定及扇形面積的計算，熟知圖形平移及旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵18（2024?福州）省教育廳決定在全省中小學開展“關(guān)注校車關(guān)愛學生”為主題的交通安全教育宣傳周活動，某中學為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學生，將收集的數(shù)據(jù)繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示），請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題（1）m=26%，這次共抽取50名學生進行調(diào)查；并補全條形圖；（2）在這次抽樣調(diào)查中，采用哪種上學方式的人數(shù)最多？（3）如果該校共有1500名學生，請你估計該校騎自行車上學的學生有多少名？考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖。分析：（1）用1減去其他各種情況所占的百分比即可求m的值，用乘公交的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得抽查的人數(shù)；（2）從扇形統(tǒng)計圖或條形統(tǒng)計圖中直接可以得到結(jié)果；（3）用學生總數(shù)乘以騎自行車所占的百分比即可解答：解：（1）1﹣14%﹣20%﹣40%=26%；20÷40%=50；條形圖如圖所示；（2）采用乘公交車上學的人數(shù)最多；（3）該校騎自行車上學的人數(shù)約為：1500×20%=300（人）點評：本題考查了條形統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖及用樣本估計總數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計圖中整理出進一步解題的信息19（2024?福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分（1）小明考了68分，那么小明答對了多少問題？（2）小亮獲得二等獎（70分～90分），請你算算小亮答對了幾道題？考點：一元一次不等式組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。分析：（1）設(shè)小明答對了x道題，則有20﹣x道題答錯或不答，根據(jù)答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是68分，即可得到一個關(guān)于x的方程，解方程即可求解；（2）小明答對了x道題，則有20﹣x道題答錯或不答，根據(jù)答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分，就是最后的得分，得分滿足大于或等于70小于或等于90，據(jù)此即可得到關(guān)于x的不等式組，從而求得x的范圍，再根據(jù)x是非負整數(shù)即可求解解答：解：（1）設(shè)小明答對了x道題依題意得5x﹣3（20﹣x）=68解得x=16答：小明答對了16道題（2）設(shè)小亮答對了y道題依題意得因此不等式組的解集為16≤y≤18∵y是正整數(shù)，∴y=17或18答：小亮答對了17道題或18道題點評：本題考查了列方程解應(yīng)用題，以及列一元一次不等式解決問題，正確列式表示出最后的得分是關(guān)鍵20（2024?福州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的長考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。專題：幾何綜合題。分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等邊對等角得到∠2=∠3，等量代換可得出∠1=∠3，即AC為角平分線；（2）法1：由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ACD中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長求出AC的長，在直角三角形ABC中，根據(jù)cos30°及AC的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，進而得出半徑OE的長，由∠EAO為60°，及OE=OA，得到三角形AEO為等邊三角形，可得出AE=OA=OE，即可確定出AE的長；法2：連接EC，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長，由∠DEC為圓內(nèi)接四邊形ABCE的外角，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度數(shù)求出∠DEC的度數(shù)為60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的長，求出DE的長，最后由AD﹣ED即可求出AE的長解答：解：（1）如圖1，連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°，∴AD∥OC，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，則AC平分∠DAB；（2）法1：如圖2，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，∴AC=2CD=4，在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，∴AB===8，連接OE，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=OA=AB=4；法2：如圖3，連接CE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，CD=2，∴AD===6，∵四邊形ABCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=60°，又∵∠DEC=∠B=60°，在Rt△CDE中，CD=2，∴DE===2，∴AE=AD﹣DE=4點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及圓周角定理，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，遇到直線與圓相切，常常連接圓心與切點，利用切線的性質(zhì)得到垂直，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題21（2024?福州）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ分別從點AC同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t≥0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=8﹣2t，PD=t（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA==，則可求得QB與PD的值；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）設(shè)E是AC的中點，連接ME當t=4時，點Q與點B重合，運動停止設(shè)此時PQ的中點為F，連接EF，由△PMN∽△PQC利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案解答：解：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8﹣2t=，解得：t=當t=時，PD==，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴?PDBQ不能為菱形設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，則BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，當PD=BD時，即t=10﹣t，解得：t=當PD=BQ，t=時，即=8﹣，解得：v=當點Q的速度為每秒個單位長度時，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形（3）解法一：如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系依題意，可知0≤t≤4，當t=0時，點M1的坐標為（3，0），當t=4時點M2的坐標為（1，4）設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線M1M2的解析式為y=﹣2x+6∵點Q（0，2t，P（6﹣t，0）∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標（，t）把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴點M3在直線M1M2上過點M2做M2N⊥x軸于點N，則M2N=4，M1N=2∴M1M2=2∴線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度；解法二：如圖3，設(shè)E施AC的中點，連接ME當t=4時，點Q與點B重合，運動停止設(shè)此時PQ的中點為F，連接EF過點M做MN⊥AC，垂足為N，則MN∥BC∴△PMN∽△PQC∴=，即，∴MN=t，PN=3﹣t，∴CN=PC﹣PN=（6﹣t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴EN=CE﹣CN=3﹣（3﹣）=t，∴tan∠MEN==2，∵tan∠MEN的值不變，∴點M在直線EF上，過F做FH⊥AC，垂足為H則EH=2，F(xiàn)H=4∴EF=2∵當t=0時，點M與點E重合；當t=4時，點M與點F重合，∴線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度故答案為：（1）8﹣2t，t點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)菱形的判定與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應(yīng)用此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22（2024?福州）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）B（4，4）兩點（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直