高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (九)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（9）

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知正四面體4-的內(nèi)切球的表面積為36兀，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面

體4-BCD,則所得截面的面積為（）

A.27迎B.27V3C.54aD.5473

2.在三棱錐P-力BC中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，S.AB=2,PA=PC=y/5,

PB與底面ABC所成的角的余弦值為:，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（）

A.vB,巴叵C.9兀D,等

262

3.如圖所示，正四面體ABC。中，E是棱AO的中點(diǎn)，P是棱AC上一動點(diǎn)，/K

BP+PE的最小值為舊，則該正四面體的外接球表面積是（）

A.127r-十介

B.327r

C.87r

D.247r

4.如圖，正方形A8CO的邊長為4,點(diǎn)E,尸分別是AB,BC的中點(diǎn)，將A/ME,△EBF,"CD分

別沿。E,EF,FQ折起，使得A,B,C三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,若點(diǎn)G及四面體4'DEF的四個頂點(diǎn)都

在同一個球面上，則以ADEF為底面的三棱錐G-OEF的高6的最大值為（）

5.在棱長為1的正方體ABCD-&aGD1中，E為棱C。上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過8,E,D1的截

面與棱交于F,若截面BED/在平面4B1C1D1和平面ABB1&上正投影的周長分別為Q,。2,

則G+C2（）

AtDi

A.有最小值2+2后B.有最大值4+2近

C.是定值4+2V2D.是定值4+2V5

6.如圖，棱長為2的正方體ABCD-4遇16。1中，E為CG的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸，。分別為面4&GD1和線段上動點(diǎn)，則APEQ周長的

最小值為（）

A.2V2

B.V10

C.VTT

D.V12

7.平面a過正方體ABCD-&B1GD1的頂點(diǎn)A,1a,點(diǎn)E、尸分別為44、CC1的中點(diǎn)，QG=

2西，若aC平面4BC0=m,an平面EFG=n,則直線機(jī)與直線〃所成角的正切值為（）

A20B3魚cD6及

?7777

8.已知正四棱錐S-2BCD的底面是邊長為4的正方形，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都

相切，則該四棱錐的高是（）

二、多項選擇題（本大題共7小題，共28.0分）

9.如圖，矩形A8C￡>,M為8c的中點(diǎn)，將zMBM沿直線AM翻折成

AAB^M,連接BiD,N為Bi。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法

中所有正確的是（）

A.存在某個位置，使得CN1.4B1；

B.翻折過程中，CN的長是定值：

C.若AB=BM,貝1BD

D.若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐當(dāng)一4M0的體積最大時，三棱錐為-4MD的外接球的表面積是

47r.

10.已知正四面體4-BCO的棱長為近，所有正四面體四個頂點(diǎn)在同一個球面上的球?yàn)檎拿骟w的

外接球，球與正四面體的所有面均相切的球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，球與正四面體的所有棱均相

切的球?yàn)檎拿骟w的棱切球，下列說法正確的是（）

A.正四面體力-BCD的外接球的表面積為37r

B.正四面體4-BCD的內(nèi)切球的體積為攻兀

27

C.正四面體4-BCO的棱切球半徑為:

D.平面ABC截正四面體A—BCD的棱切球的截面積為￡

11.如圖，在正方體4BC0-4近也1。1中，點(diǎn)E在棱上，且2OE=

ED1,B是線段BE1上一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有

A.EF1AC

B.存在一點(diǎn)F,使得AE〃C/

C.三棱錐Di-AE尸的體積與點(diǎn)尸的位置無關(guān)

D.直線與平面AEF所成角的正弦值的最小值為哪

12.已知三棱柱ABC-4&G的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，側(cè)面BCGBi的面

積為4H.則正確的結(jié)論是（）

A.若BiG的中點(diǎn)為E,則4G〃平面4BE

B.若三棱柱48。-力/16的體積為4次，則占到平面BCQBi的距離為3

C.若ZMBC是邊長為2的等邊三角形，貝IJAG與平面AaB1B所成的角為，

D.若AB=4C=BC,則球。體積的最小值為等

13.如圖，正方體的棱長為m線段B】Di上有兩個動

點(diǎn)、E,F,且砰=白，以下結(jié)論正確的有（）

A.AC1BE；

B.點(diǎn)A到4BEF的距離為定值

C.三棱錐4-BEF的體積是正方體4BC。-體積的專；

D.異面直線AE,BF所成的角為定值.

14.如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成2148》,

連結(jié)N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的

是（）

A.存在某個位置，使得CN1.4B1

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,貝1B&D

D.若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐當(dāng)一4M0的體積最大時，三棱錐為-4MD的外接球的表面積是

471

15.在三棱柱4BC-4B1C1中，E,F,G分別為線段AB,力&的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.平面4GF〃平面BiCEB.直線FG〃平面&CE

C.直線CG與異面D.直線GF與平面CGE相交

三、填空題（本大題共14小題，共70.0分）

16.如圖,在棱長為2的正方體A8CD-&B1GP中,E,尸分別是棱

C8,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面8CG81內(nèi)一點(diǎn)，若4P〃平面AE凡則

線段&P長度的取值范圍是.

17.在三棱錐S-4BC中，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA=痘,SB=2次，若此三棱

錐外接球的表面積為21兀，則二面角S-AB-C的余弦值為

18,已知正方體ABCD—4BCD1棱長為2,如圖，M為CC】上的動點(diǎn)，AM1平面a.下面結(jié)論正確的

(1)己知N為。么中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時，M為CG的中點(diǎn)

(3)點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時，若平面a經(jīng)過點(diǎn)8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

(4)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

19.已知有兩個半徑為2的球記為01，02,兩個半徑為3的球記為。3,內(nèi)，這四個球彼此相外切，

現(xiàn)有一個球。與這四個球。1，02,03,。4都相內(nèi)切，則球。的表面積為.

20.在四棱錐P-4BC。中，底面A8CQ是邊長為2a的正方形，PD1底面ABCD,且PO=2a,若

在這個四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為

21.如圖，在棱長為2的正方體力BCD-4仍傳山1中，點(diǎn)E,F分別是棱為劣,

的中點(diǎn),P是側(cè)面正方形8CC15］內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若FP〃平面AEC,

則線段FP長度的取值范圍是.

22.矩形ABC。中，AB=?BC=1,現(xiàn)將△AC。沿對角線AC向上翻折，得到四面體。一力BC,

7T4

則該四面體外接球的體積為____________；設(shè)二面角D—4C-B的平面角為。，當(dāng)。在一,一內(nèi)

.32_

變化時，；皿|的范圍為.

23.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,4。=1,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段CE(端點(diǎn)除外)上一動

點(diǎn).現(xiàn)將△D4F沿AF折起，使得平面4BD_L平面4BC.設(shè)直線FQ與平面ABCF所成角為。，。的

取值范圍為

24.如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長和高均為2,M是側(cè)棱PC的

中點(diǎn)，若過AM作該正四棱錐的截面，分別交棱P8、PD于點(diǎn)E、

F（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐P-AEMF的體積的取值范圍是

25.如圖，已知正四面體4—BCD的棱長為2,E是棱C/y上一動點(diǎn)，若8F14E于F,則線段C尸

的長度的最小值是

26.點(diǎn)尸是棱長為4的正四面體表面上的動點(diǎn)，MN是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則麗?麗的最

大值是.

27.已知四面體ABC。內(nèi)接于球。，且AB=BC=VXAC=2,若四面體ABC。的體積為雪，球心

。恰好在棱OA上，則球。的表面積是.

28.已知三棱錐P-4BC中，PA=PB=2PC=2,zL4BC是邊長為國的正三角形，則三棱錐P—4BC

的外接球半徑為.

29.已知正方體A8CD的棱長為2,P為體對角線BD】上的一點(diǎn)，則△「我周長的最小值

是.

四、多空題（本大題共1小題，共4.0分）

30.已知正三棱錐P-ABC,。為BC中點(diǎn)，PA=V2,AB=2,則正三棱錐P-ABC的外接球的半

徑為過。的平面截三棱錐P-4BC的外接球所得截面的面積范圍為_(2)一-

【答案與解析】

1.答案：c

解析：解：由內(nèi)切球的表面積S費(fèi)=4TTR2=36兀，得內(nèi)切球半徑R=3,

如圖，過點(diǎn)A作AH_L平面BCD,則點(diǎn)H為等邊△!?，口的中心，

連接BH并延長交CD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，連接AE,

記內(nèi)切球球心為0,過。作0FJ.AE,設(shè)正四面體邊長為小

則BE=AE=^a,BH=-BE=—a,HE=—a,AH=—a,

23363

又因?yàn)镺H=OF=3,所以AO=逅a-3，

3

由AAOF?△AEH,得罪=器，即宥=/，解得a=6e，

因?yàn)椤狟E過棱AB和球心0,所以AABE即為所求截面，

在4ABE中，SOBE=：XBEX4”=：X972X12=54在，

故過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體4-BCD,所得截面的面積為54企.

故選：C.

由內(nèi)切球的表面積，可得內(nèi)切球半徑R=3,結(jié)合正四面體的性質(zhì)，可求出正四面體的棱長為6n，

即可求解.

本題考查正四面體中的截面面積的求法，是中檔題.

2.答案：A

解析：

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、球的體積計算公式、余弦定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理，

考查了推理能力與計算能力，屬于較難題.

取AC的中點(diǎn)。，連接BO,PD.由BC=4C,PA=PC,利用等腰三角形的性質(zhì)，線面垂直的判定定

理即可得出：

力C_L平面P8。，進(jìn)而得出：平面PBD_L平面ABC,可得ZPBD為P8與底面ABC所成的角，其余弦

值為這.在APB。中，設(shè)PB=x,利用余弦定理可得：元由PB=3,取PB的中點(diǎn)0,連接0。，利

3

用余弦定理可得0D,可得點(diǎn)。為三棱錐P-4BC的外接球的球

心，即可得出外接球的體積V.

解：如圖所示，取4c的中點(diǎn)。，連接2。，PD.

???BC=AC,PA=PC,

AC1BD,AC1PD.

AC，平面PBD,又ACu平面ABC,

平面PB。，平面ABC,

???"BD為P8與底面ABC所成的角，其余弦值為也.

3

AC=V2AB=2&，PD=yJPA2-AD2=V3）

在APB。中，設(shè)P8=x,由余弦定理可得：COSNPBD=巫=-+（―*（百產(chǎn),

32V2X

解得x=3,即PB=3,取P8的中點(diǎn)0,連接0￡>,則0。2=（近）2+（|）2一2*e*|*誓=；,

解得。。=i

0D2+DB2=0B2,：.OD1DB,

可得點(diǎn)。為三棱錐P—ABC的外接球的球心，其外接球的半徑r=|,體積昨￡X（|）3=零.

故選A.

3.答案：A

解析：

本題考查了棱錐的幾何特征與表面積的計算，屬于中檔題.

將側(cè)面展開，根據(jù)BP+PE的最小值可得正四面體的棱長，再計算外接球的半徑，得出表面積.

解：將側(cè)面AABC和AACD展成平面圖形，如圖所示：

設(shè)正四面體的棱長為m

則BP+PE的最小值為BE=a2+--2a--acosl20°=—a=舊，

\422

:.a=2>/2-

在正四面體4-BC。中，

作AM，底面BCD,連接DM延長交BC于點(diǎn)、F,

由正四面體的特征知M為正三角形BCD的中心，F(xiàn)為中點(diǎn),

則4M=J（2V2）2-（2V2x^）2=竽，

設(shè)外接球的半徑為R,

22

則（竽-R）+（豹",

解得R=V3.

外接球的體積，=4TTR2=127r.

故選A,

4.答案：4

解析:

本題考查幾何體的折疊問題，幾何體的外接球的半徑的求法，考查三棱錐的高，屬于中檔題.

把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑，求出ADEF的

外接圓的半徑為r,得球心到面CEF的距離為W?2一以ADEF為底面的三棱錐G-DEF的高/?

的最大值為R+V/?2-r2>得答案.

解：由題意可知是等腰直角三角形，且AD_L平面4EF,三棱錐的底面AEF擴(kuò)展為邊長為2

的正方形，

然后擴(kuò)展為正四棱柱，此正四棱柱的底面為邊長為2的正方形，高是4,

三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，

直徑為：14+4+16=V24.

???球的半徑為R=展,

???設(shè)4DEF的外接圓的半徑為r,

???DE=DF=V224-42=2后，EF=2&，

???EF邊上的高為J(2代『—(?2=3迎，

?'?Si.nZ，.八D廠c廠r――3企廣，

2x(5

0萬

"2r=2w>/T5=—10y/2.即r=%

京3

???球心到面DEF的距離為俯中=J響2_(苧?=/

.?.以△DEF為底面的三棱錐G-DEF的高h(yuǎn)的最大值為R+1=遍+1.

故選A.

5.答案：A

解析：

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及幾何體中的截面問題，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于較綜合

的中檔題.

2222

由題意畫出截面圖，設(shè)。E=t,te(0,1),則可推出則G+C2=2+2(7(1-t)+I+Vt+l),

由此可求出C的范圍.

解：依題意,設(shè)A，F(xiàn),B,E在平面4B1GD1和平面4BB14上的正投影點(diǎn)分別為D',F',B',E',

截面BED/在上面（平面4&GD1）,左面（平面A8B14）的正投影分別如圖:

設(shè)DE=t,te(0,1),在上面的投影周長為G=2t+2j(l1)2+12,

在左面的投影周長為C2=2(1-t)+2a2+了,

22

則G+C2=2t+2>/(1-t)+l+2(1-t)+27t2+12

=2+2(7(1-t)2+l2+7t2+12),

又因?yàn)镴(1一t)2+12+7t2+12可以看成(t,0)(0<t<1)到點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,1)的距離之和,

所以花<J(11)2+12+7t2+12<1+企，

所以Q+取值范圍為［2+2A/5,4+2V2).

故Cl+G有最小值2+2V5.

故選A.

6.答案：B

解析:

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查對稱點(diǎn)的運(yùn)用，考查余弦定理，考查運(yùn)算求解能力，屬于較難題.

由題意得：^PEQ周長取最小值時，P在BiG上，在平面BiQCB上，設(shè)E關(guān)于B[C的對稱點(diǎn)為M,

關(guān)于BiG的對稱點(diǎn)為N,求出MN,即可得到^PEQ周長的最小值.

解：由題意得可畫下圖：

△PEQ周長取最小值時，P在BiQ上，

在平面B1GCB上，設(shè)E關(guān)于B[C的對稱點(diǎn)為M,關(guān)于BiG的對稱點(diǎn)為M

連接何M當(dāng)例N與BiG的交點(diǎn)為「，MN與&C的交點(diǎn)為。時,

則MN是4PEQ周長的最小值，

EM=<2，EN=2,4MEN=135°,

...MN=j4+2-2x2xV2x(-y)=V10>

PEQ周長的最小值為g.

故選8.

7.答案：B

解析:

本題考查異面直線所成角的求法以及正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考查空間想象能力以及計算能力.

取aDi的三等分點(diǎn)N,使得%N=［可必,可補(bǔ)正方體4B/K作平面EFG與正方體

ABiGDi—ABCD的截面，畫出圖形，設(shè)力B=3,判斷出機(jī)、〃所成角，通過計算求解即可

解：如圖，取公5的三等分點(diǎn)N,使得DiN=：M4i，

可補(bǔ)正方體人見長一&勺/，，如圖，作平面EFG與正方體-4BC。的截面，設(shè)4B=3

而Z\N==1

又點(diǎn)E、尸分別為44、CCi的中點(diǎn)

則A/=Ah=A”=2

BCi1BI,BCr1AB

又B/CAB=B

BC]_L平面ABIH,

則平面48/H即為平面a,

因此直線M/i為直線〃，直線A8為直線機(jī)

則N4/1M為直線，"與直線〃所成角

設(shè)力M=a,MH=b

由△AKiMs/iHMN得

(a+b=3>/2

「二

U5

解得a=返

7

在RtA4/iM中，tan乙4/iM=絲=越.

AJi7

故選8.

8.答案：C

解析：略

9.答案：BD

解析:

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對選項逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取4力的中點(diǎn)為E,連接CE交何。于點(diǎn)尸，如圖1,

圖1

則NE〃4Bi，NF//MB1

如果CN14B1，則EN1,CN,

由于ABilMBi，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于B,如圖1,由/NEC=NMABI,

且NE=^ABltAM=EC,

.,.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos/NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

取AM中點(diǎn)為。，???4B=BM,即=則AM_LB1。

若4M1B]D,由于B]。flBrD=B1；

且u平面ODBi，

AM_L平面。ODu平面。OB1，

???001AM,則AD=MD,

由于4。RM。，故4MlBi。不成立，故不正確；

對于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面，平面AMD時，

三棱錐&-4MD的體積最大，取4。的中點(diǎn)為E,

連接。E,B]E,ME,如圖2

AB=BM=1,則力Bi=81M=1,

且AB】1&M,平面&AMC平面力MD=AM

Br0LAM,當(dāng)。u平面&4M

Bi。1平面AMD,OEu平面AMD

Bi。1OE,

則=BIO="M=*

OE寸"四=爭

從而%=J囹+（穿=1，

易知EA=ED=EM=1,

二月。的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4n，故。正確；

故答案為：BD.

10.答案：ACD

解析：

本題考查了正四面體的接切問題，

將正四面體補(bǔ)成一個正方體，正四面體的外接球的即為正方體的外接球，正四面體的外接球的直徑

為正方體的對角線長，即可判斷A；

正四面體的棱切球的為正方體的內(nèi)切球，即四面體的棱切球的直徑為正方體的棱長，即可判斷C；

平面ABC截正四面體力-BCD的棱切球的截面為等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，利用面積相等，列出方

程解出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而得到內(nèi)切圓的面積，即可判斷￡＞；

連結(jié)球心與正四面體的頂點(diǎn)，則將正四面體分解成四個高為內(nèi)切球半徑的小三棱錐，利用體積相等

列出方程解出內(nèi)切球半徑，進(jìn)而得到內(nèi)切球的體積，即可判斷艮

解：將正四面體補(bǔ)成一個正方體，則正方體的棱長為1,對角線長為百，

???正四面體的外接球的即為正方體的外接球，

正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，

二外接球的表面積的值為匕x3;r,故A正確;

???正四面體的棱切球的為正方體的內(nèi)切球,

??.正四面體的棱切球的直徑為正方體的棱長,

???棱切球半徑為3故c正確;

???平面ABC截正四面體A-BCD的棱切球的截面為等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，

設(shè)內(nèi)切圓半徑為

連結(jié)圓心與三角形的三個頂點(diǎn)，將三角形ABC分成三個以AB、AC、BC為底邊，高為萬的小三角形,

A-y=3X|XV2Xq,即「1=與

，截面面積為7TX（誓）=/故Q正確;

???正四面體的棱長為夜，.?.正四面體的高為公，

3

??.正四面體的體積V=工X更x2=工，

3233

設(shè)內(nèi)切球的半徑為「，則球心到正四面體四個面的距離均為r,

???連結(jié)球心與三棱錐的四個頂點(diǎn)，則將正四面體分解成四個底面相等，高為r的小三棱錐,

???4xixTxr=r解得＜=［，

???內(nèi)切球的體積為7T,故8錯誤;

故答案為ACD

11.答案：ABC

解析：

本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，棱錐的體積公式，利用空間向量求解直線和平面的夾角，屬于較

難題.

證明平面可分析A,證明四邊形AECiF為平行四邊形可分析8,運(yùn)用三棱錐的等體積法

可分析C,利用空間向量求解直線和平面的夾角可分析D.

解：如圖，連接BD,因?yàn)锽F_L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以BF14C,又AC1BD,BFdBD=B,

BF,BDu平面ABCD,

所以AC1平面BDEF,又EFu平面ABCD,則AC1EF,故A正確.

在上取一點(diǎn)”，使得力i"=24H,連接EC〉EH,

由正方體的性質(zhì)可知，B[Ci〃EH且Big=EH,所以四邊形當(dāng)（7f”為平行四邊形，則QE〃/H,

CrE=ByH.

若BF=2B/,易證四邊形4HB1F為平行四邊形，則4尸〃&H,AF=BIH,

從而A尸〃GE,AF=C[E,故四邊形4EC/為平行四邊形，

于是AE〃C/,故B正確.

設(shè)48=a,三棱錐5-AE尸的體積與三棱錐F-的體積相等，則/廣詆=%-皿E=[x]x

2a

—xaxa=—

39

即三棱錐Di-AEF的體積與正方體的棱長有關(guān)，與點(diǎn)歹的位置無關(guān)，故C正確.

以G為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-4立,

設(shè)AB=3,則4(3,3,3),&(3,3,0),F(3,0,2),尸(0,3,￡),

從而磯=(0,0,-3)，荏=(0,—3,-1)，AF=(-3,0,t-3).

設(shè)平面AEF的法向量記=(%y,z),貝ij［二”一3yz一°令z=3、得元=(t-3,-1,3),

(n-AF=-3x+(t—3)z=0

從而cos(麗'，汾=薪=一扃品，即直線與平面AEF所成角的正弦值為而泰不

因?yàn)?WtW3,所以104(t—3/+10419,所以誓《行最言《甯，故。錯誤.

17V(€-OJ■AVAV

12.答案：AD

解析：

本題考查直線與平面的平行，直線與平面所成的角，點(diǎn)到平面的距離，錐體的體積公式，球體的體

積公式，多面體的外接球等知識點(diǎn).屬于中檔題.

A中取BC的中點(diǎn)尸，連接AF,C[F,BE,AXB,ArE,E凡先利用三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和平面與平面平

行的判定定理證得平面&BE〃平面4QF,在運(yùn)用平面與平面平行的性質(zhì)定理即可證得力6〃平面

4BE.

B中根據(jù)割補(bǔ)思想四棱錐4-Bee?的體積占三棱柱4BC-48?體積的|,結(jié)合題設(shè)側(cè)面BCC曲

的面積為46即可求得4到平面BCG&的距離.

C中根據(jù)AA3C是邊長為2的等邊三角形結(jié)合題設(shè)可得三棱柱ABC-4B1Q為正三棱柱.取4/1的

中點(diǎn)N,連結(jié)4N，GN,根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可證得GN_L平面從而有/GAN

為直線C】A與平面力為B1B所成的角，通過計算即可確定AC1與平面44B1B所成的角.

。中由28=AC=BC,三棱柱ABC—4B1G的側(cè)棱和底面垂直

可得三棱柱ABC-&B1G為正三棱柱，設(shè)M,N分別是△ABC,△&B1G的中心，連接MN,則球

心。為MN的中點(diǎn).設(shè)三棱柱底面邊長為a,高為h,則a/i=4V3,通過計算可得外接球的半徑R》2

從而確定球。體積的最小值.

解：A,取BC的中點(diǎn)F,連接AF,CJ,BE,ArB,EF.

??三棱柱48C-&B1C1

???C1E//BFS.C1E=BF,

四邊形GEBF為平行四邊形，

故BE"C\F,同理4/7/&E

又：BECGF,AFC\ArE.

???平面41BE〃平面AC/,

AGu平面AGF,

4C1〃平面&BE,故A正確；

B,若三棱柱力BC-&B1G的體積為4次，如圖二示四棱錐為一BCGB]

的體積為學(xué)

???三棱柱ABC-&B】Ci的側(cè)棱和底面垂直三棱柱的各側(cè)面均垂直

與上下底面.

即有平面4/iG_L平面BCC/i=BiG，

設(shè)公到直線的距離為m,由平面與平面垂直的性質(zhì)定理知:

為到平面BCGBi的距離為m

又”BCC/i的面積為46.

11廣8V3

???V'A1-BCC1B1=^sh=-x4V3xm=—

解得m=2

二必到平面BCGBi的距離為2,故B錯誤；

C,若AABC'是邊長為2的等邊三角形，則三棱柱48C-4iBiCi為正三棱柱.

二平面AiBiG1平面=4當(dāng)=B[C]

取的中點(diǎn)N,連結(jié)AN，GN.則GN1

又?.?CNu平面4361，

.?.GNJ.平面413山.

故4GAN為直線C"與平面44/iB所成的角

在三角形A/iCi中易得：C[N=JciAj-A/2=6,

在面積為4通矩形BCGBi中，AAr-41cl=2AAr=44

???AAr=2百，4cl=JAA/+41cl2=4，

在直角三角形GM4中sin4[4V=第=乎.故C錯誤；

D,若4B=AC=BC,三棱柱ABC-AiBiG的側(cè)棱和底面垂直

可得三棱柱ABC-4181cl為正三棱柱，

設(shè)M,N分別是△ABC,AAiBiCi的中心，連接MN,

則球心。為MN的中點(diǎn).

設(shè)三棱柱底面邊長為a,高為h,則a/i=4V3，

2h

當(dāng)

N當(dāng)V3

=-=-心-

332

???外接球的半徑R滿足：

+=

R=0B1=4BiN2+0N?=)YT?N>6^=2

當(dāng)且僅當(dāng)貯=i1,a=歷時取等號.

3a￡

故球。的體積了=皿2理，所以。正確.

33

所以選AD

13.答案：ABC

解析:

本題考查異面直線所成的角及線面垂直的判定與性質(zhì)，同時考查棱錐的體積及空間距離，為較難題.

結(jié)合正方體的性質(zhì)及已知，逐一分析求解即可，解此題的關(guān)鍵是對正方體的性質(zhì)要熟練.

解：對于A,

連接8。，交4C于O,在正方體中，有

又在正方體中，DD1ABCD,ACu平面ABC。，

則DDi1AC,

又BO000]=。，BD、DO]u平面8也。8,

AC，平面3也。8,

又BEu平面8必。8,

■■AC1BE,

所以A正確；

對于B,A到平面BE尸的距離等于A到平面&。山8的距離，

又AC，平面BiQDB,

在正方體中，

A到平面Bi/DB的距離為A。，為定值號小

所以2正確；

對于C,由已知SABEF=,xax,a=乎。2,

所以三棱錐A-BEF的體積為V=isAB￡FX4。=2，

而正方體ABCD-418道山1的體積為1,

所以三棱錐4-BEF的體積是正方體4BCD-48傳1。1體積的專,

所以C正確；

對于。，設(shè)異面直線AE,BE所成的角為a,

當(dāng)E與。i重合時，尸為aD1中點(diǎn)，連接AD】和BQ,

在正方體中易知四邊形4BGD1為平行四邊形，貝IJ4D//BQ,

a=zFBC1(

因?yàn)镼F，平面&D1DB,所以C/1BF,

所以sina=笠=：,a-30°；

DC-jZ

當(dāng)尸與當(dāng)重合時，E為aDi中點(diǎn)，

在正方體中有44〃BBi，

則a=z_E44i，tana=,a#30°,

AA^2

???異面直線AE、BF所成的角不是定值，

所以。錯誤.

故選ABC.

14.答案：BD

解析：

【試題解析】

本題主要考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計算，考查空間

想象能力，屬于較難題，

對選項逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取AD的中點(diǎn)為E,連接CE交"力于點(diǎn)尸，如圖1,

圖1

^]NE//AB1,NF//MB1

如果CN14B「則EN1CN,

由于倜_LMB],則ENINF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于8,如圖1,由NNEC=ZJVL4Bi，

S.NE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2

圖2

取AM中點(diǎn)為O,TAB=BM,即貝ijAM_LB1。

若ZMJLBi。，由于Bi。Cl8山=Bi，

且u平面。

???AM_L平面00B「ODu平面OOBi，

???ODVAM,則AD=MD,

由于/WKMD,故不成立，故不正確：

對于D根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面/AM，平面AM。時，

三棱錐當(dāng)-4M。的體積最大，取A。的中點(diǎn)為E,

連接。E,BiE,ME,如圖2

???AB=BM=1,則AB】=fijM=1,

且AB】1BiM,平面CI平面AMD=AM,

：.LAM,/Ou平面B遇M,

???Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD,

Bi。J_OE,

則=BIO="M=4，

從而岫=J囹+囹=1，

易知￡;4=ED=EM=1,

.?.4D的中點(diǎn)E就是三棱錐旦-4如）的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4”，故。正確.

故答案為：BD.

15.答案：AC

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，異面直線，線面平行的性質(zhì)，面面平行

的判定，平行公理與等角定理，線面平行的判定和反證法，屬于較難題.

利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征得4F〃EBi，C.F//CE,再利用線面平行的判定和面面平行的判定，對A進(jìn)行

判斷，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合反證法和平行公理對B進(jìn)行判斷，利用異面直線的判定對C進(jìn)行

判斷，利用線面平行的判定對。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對于4、如圖：

在三棱柱4BC-A1B1G中，E、F分別為線段AB、4B]的中點(diǎn),

所以4/=7"/，C]F“CE,

而4F,GFC平面&CE,EB],CEu平面&CE,

因此4/7/平面&CE,GF〃平面&CE.

又因?yàn)?FnCiF=F,AF，GFu平面4GF,

所以平面AC/〃平面B]CE,因此A正確；

對于8、如圖：

若直線FG〃平面&CE,

而FGu平面4&B1B,平面4&B1Bn平面/CE=EB1,

因此尸G〃EBi.

又因?yàn)?F〃EBi，所以AF〃FG,

這與力FCFG=?相矛盾，因此8不正確；

對于C、如圖：

因?yàn)橹本€CG與平面交于G,8尸u平面且GgBF,

所以直線CG與8尸異面，因此C正確；

對于。、如圖：

因?yàn)镃///CE,C/C平面CGE,CEu平面CGE,

所以G?〃平面CGE,因此。不正確.

故選AC.

16.答案：件，詞

解析：略

17.答案：后

解析:

本題考查了幾何體的外接球表面積的求法以及二面角的求解；關(guān)鍵是正確找出球心的位置，題目較

難.由題意得S/+AB2=SB?,得到SA_LAB,取4B中點(diǎn)為力，S3中點(diǎn)為得到4CDM為二面

角S-4B-C的平面角，再根據(jù)球心的性質(zhì)，分別過M與0'作平面SAB與平面4BC的垂線，交點(diǎn)即

為球心，由此即可求出結(jié)果.

解：如圖,

由題意得5弟+4^2=SB2,得至IJS414B,取AB中點(diǎn)為。，SB中點(diǎn)為例，連接MO,AD,

則MD1LAB,

得到NCDM為二面角S-AB-C的平面角,

因?yàn)榇巳忮F外接球的表面積為21兀，

所以4淵2=21兀,所以R=亨,

設(shè)三角形的外心為。'，則DO'=―,

ABCC0'=6=80',2

分別過M與。，作平面SA8與平面ABC的垂線，交點(diǎn)即為球心，設(shè)為O,

在40B。，中，00'=y/OB2-O'B2=I—-3=

在四邊形MDO，。中，tan/。。。'=黑=我,

所以。。。'=。，MD=—=O'D<

4602

所以iMDC=120°,

所以二面角S-4B-C的余弦值為一會

故答案為一，.

18.答案：(2)(3)

解析：

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，空間向量求線面角以及幾何體的截面的問題，屬于難題.

根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖可判斷(1),利用空間向量以及函數(shù)性質(zhì)可判斷(2),根據(jù)空間向量的坐標(biāo)

運(yùn)算以及面面平行垂直的性質(zhì)可判斷(3)(4),即可求解.

解：對于(1),將矩形ACG&與矩形CC15。延展為一個平面，如下圖所示：

若AA/+MN最短，則A、M、N三點(diǎn)共線,

CC1//DD1,

MCAC275rq

:*—=—=—z=-=2—V2,

DNAD21/2+2

?:MC=2-近*CC[,所以，點(diǎn)例不是棱CC]的中點(diǎn).

對于(2),以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

DAsDC、DDi所在直線分別為工、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系?！獂yz,

則點(diǎn)4(2,0,0)、8(2,2,0)、設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(0WaW2),

???AM_L平面a,則就為平面a的一個法向量，且疝=(-22a)，笳=(020)，

\AB^AX1\

aw<J4Z),.4A/>|=

\A5\?|4A)|

42

5-7

2xv/ii+?Va+8

所以，直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為［當(dāng)，當(dāng)卜

對于(3),

設(shè)平面a交棱45于點(diǎn)E(b,0,2),點(diǎn)M(0,2,l),時=(-221),

「AMJ■平面a,DEu平面a,二AM_LDE,

即m區(qū)=-26+2=0,得b=1,???E(l,0,2),

所以，點(diǎn)E為棱4么的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)F為棱&Bi的中點(diǎn),

則F(2,l,2),EF(1.1.0),而加=(220)，

:即」再，；.EF〃DB且EFHDB,

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=V22+02+I2=花,

BF=J(2—22+(1—2尸+(2-0)2=V5.-??DE=BF,

所以，四邊形8DEF為等腰梯形；

對于(4),當(dāng)〃與CQ重合時，連接BD、&B、AC,

在正方體ABCD-481GD1中，CG，平面ABCD,

vBDu平面ABCD,BD1CC「

???四邊形ABC。是正方形，貝IJBDJ.AC,

???CGnAC=C,CC1(ACu平面ACC1，

BD1平面ACG，

ACru平面ACC1，

ACr1BD,同理可證4cl1ArD,

vArDnBD=￡>,&D,BDu平面&BD,

???AG1平面&BD,

易知回4BD是邊長為2魚的等邊三角形，

2

其面積為SA^BD=?x(2V2)=2V3.周長為2遮x3=6vL

設(shè)E、F、Q、N、G、”分別為棱4么、公當(dāng)、BB】、BC、CD、的中點(diǎn),

易知六邊形EFQNGH是邊長為四的正六邊形，且平面EFQNGH〃平面&BD,

正六邊形EFQNGH的周長為6或，面積為6x9x(VI)2=3同

則441BD的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等.

故答案為(2)(3).

19.答案：1447r

解析：

本題考查相切球問題，考查空間想象能力及計算能力，屬于較難題.

依題意，分析出“球。的球心在中垂線上”是解題關(guān)鍵，設(shè)球。的半徑為R,運(yùn)用勾股定理,

由M。+NO=MN即可求出.

解：如圖，由對稱性知，球0的球心在中垂線上，垂直平分。1。2，MN垂直平分。3。4,

設(shè)球0的半徑為R,由題意可得=。2。4=5,03/V=3,.-.02N=4,

在RtElOzMN中，由勾股定理可得MN=2B，

在Rt團(tuán)0]M。中，由勾股定理可得MO=y/00^-MOl=y/(R-2)2-22,

NO=y/OOl-NOl=V(/?-3)2-32.

由MO+NO=MN,聯(lián)立解得R=6.

所以球。的表面積為KR?1L17T

故答案為1447r.

20.答案：(2-V2)a

解析：

本題考查了多面體(棱柱、棱錐、棱臺)及其結(jié)構(gòu)特征、球的表面積和體積和球的截面性質(zhì)，由側(cè)視

圖，根據(jù)等面積法即可得出結(jié)果.

解：當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐，即與四棱錐各面均相切時球的半徑最大.

作出其側(cè)視圖如圖：

由等面積得gx2ax2a=1(2a+2a+2V2a)r,

易知球的半徑r=(2-V2)a.

故答案為(2-2)a.

21.答案：［W，詞

解析：

本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

取名Ci中點(diǎn)G,連FG,GB,可證平面尸G3〃平面AEC,故P在線段BG上運(yùn)動，作于“，

由等面積法可求得FH=誓，從而可知FH（FP&FB,即可得到答案.

解：取BiG中點(diǎn)G,連接FG,GB,

???在棱長為2的正方體4BCD-&BiGDi中，點(diǎn)E、尸分別是棱兒，、4避1的中點(diǎn),

AE//BG,AC/ZArCJ/FG,

■：AE<t平面FGB,BGu平面FGB,

HE〃平面FGB,

"AC仁平面FGB,FGu平面FGB,

.-?4C〃平面FGB,

■：AEC\AC=A,AE,ACu平面AEC,

???平面FGB〃平面AEC,

P是側(cè)面正方形BCGa內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），F(xiàn)P〃平面4EC,

???點(diǎn)尸在線段BG上運(yùn)動，

在△BFG中，BF=BG=a,FG=迎，

所以SABFG=jxV2xJ（遍）2—（￥j=TX&X專=|

作FH1BG于，，由等面積法解得：尸"=丁2/=學(xué)，

2^755

???FH<FP<FB,

.??線段&P長度的取值范圍是段，詞.

故答案為:陪得.

42

710

一

-小2

22.答案:32

解析：

本題考查了四面體的外接球的表面積和空間距離的計算，建立坐標(biāo)系，用二面角的大小出8力的長

是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

連接AC交8。于點(diǎn)。，。是四面體。一力BC外接球的球