高中數(shù)學蘇教版選修23教學案12　排列

i.r排列

第1課時排列與排列數(shù)公式

預

習

導入門答辯——辨析問題解疑惑

引

區(qū)新知自解——自讀教材找關鍵

自主學習梳理主干zizfiux.ueK_ishulizfiugan

知識點1排列的定義

入口奈科

1.甲、乙兩名同學參加一項活動，其中一名參加上午的活動，另外一名參加下午的活動.

問題1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法嗎？

提不：不是.

問題2：有幾種不同的排法？

提示：兩種.甲上午，乙下午；甲下午，乙上午.

2.若從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學

參加下午的活動.

問題3：讓你去安排這項活動，需要幾步？

提示：分兩步.

問題4：它們是什么？

提示：第一步確定上午的同學，第二步確定下午的同學.

問題5：有幾種排法？

提示：上午有3種，下午有2種，因分步完成共3X2=6種.

問題6：這些排法相同嗎？

提不：不相同，它們是有順序的.

3.從4、氏C中任取兩個元素，按照一定的順序排成一列.

問題7：共有多少種不同的排列方法？

提示：3X2=6種.

問題8：試寫出它們的排列.

提示：ab,ac,ba,be,ca,cb.

////.lf\iaa解，〃〃

排列的定義

一般地，從〃個不同的元素中取出〃QW〃）個元素，按照一定的順序排成一列,叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個排列.

知識點2排列數(shù)與排列數(shù)公式

勿勿入門答料,〃

己知數(shù)字1,2,3,4,5,6.

問題1：從1,2,3,4,5,6中選出兩個數(shù)字,能構成多少個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？

提示：有6X5=30（個）.

問題2：從1,2,3,4,5,6中選出三個數(shù)字,能構成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

提示：有6X5X4=120（個）.

問題3：從1,2,3,4,5,6中選出四個數(shù)字,能構成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？

提示：有6X5X4X3=360（個）.

問題4：若從"個不同元素中取出個元素排成一列，有多少種不同的排法？

提示：有〃（“一1）（"-2）…（〃一〃?+1）（個）.

新知育解

排列數(shù)全排列

從〃不同元素中取出，”個

〃個不同元素全部取出的一個

元素的所有排列的

定義排列,叫做〃個不同元素的一

個數(shù),叫做從〃個不同元素

個全排列

中取出機個元素的排列數(shù)

表示法A；；1A：：

乘積A；；,=M（n—1）（n—

1）（〃—2）?…?3/2T

形式2）…（〃一加+1）

公式

階乘

ft!

A7=〃！

07—M!

形式

性質(zhì)AS=1;0!=1

備注n,inGN*,且機

［歸納?升華?領悟］

1.判斷一個具體問題是不是排列問題主要看從〃個元素中取出，"個元素后，在安排機個元素時，是

有序還是無序，有序是排列，無序就不是排列.也就是說排列與元素的順序有關，與元素順序無關的不是

02/14

排列.

2.排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，排列是一個具體的排法，不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個數(shù),

它是一個數(shù).

課

堂

突破考點總結規(guī)律

互

II動

高考為標提煉技法

把握熱點考向貴在學有所悟區(qū)

shisficnggongyantupozfiongnan師生共研突破更難

排列的概念

I例1］下列哪些問題是排列問題：

(1)從10名學生中抽2名學生開會；

⑵從2,3,5,7,II中任取兩個數(shù)相乘；

(3)以圓上的10個點為端點作弦；

(4)10個車站，站與站間的車票.

［思路點撥］利用排列的定義去判斷，關鍵是看取出的元素是否與順序有關.

［精解詳析］(1)2名學生開會沒有順序，不是排列問題.

(2)兩個數(shù)相乘，與這兩個數(shù)的順序無關，不是排列問題.

(3)弦的端點沒有先后順序，不是排列問題.

(4)車票使用時，有起點和終點之分，故車票的使用是有順序的，是排列問題.

［一點通］判斷一個具體問題是否有順序的方法：變換元素的位置，看結果有無變化，若有變化，則

與元素的順序有關，是排列問題；否則，為非排列問題.

加”也.魚靠鈍〃〃/

1.更改例題的各條件如下，請重新判斷是不是排列問題：

(1)抽2名學生當正、副班長；

(2)取兩個數(shù)相除；

(3)以圓上10個點為端點作有向線段；

(4)10個車站間站與站的票價.

解：(1)2名學生當正、副班長是有順序的，故是排列問題.

(2)兩個數(shù)有除數(shù)和被除數(shù)之分，有順序，是排列問題.

(3)有向線段有起點和終點之分，有順序，是排列問題.

(4)兩車站間來回的票價一樣，故與順序無關，不是排列問題.

2.判斷下列問題是否為排列問題.

(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；

(2)選2個小組分別去植樹和種菜；

(3)選2個小組去種菜；

(4)選10人組成一個學習小組；

(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；

(6)某班40名學生在假期相互通信.

解：(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.

(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(3)、(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.

(5)中每個人的職務不同，例如，甲當班長與當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(6)A給3寫信與8給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2)、(5),(6)屬于排列問題.

用列舉法解排列問題

［例2］A,B,C,。四名同學站成一排照相，寫出A不站在兩端的所有可能站法.

［思路點撥］解決本題可通過樹形圖法，畫出依題意的形狀，便可寫出不同的站法.

［精解詳析J如圖所示的樹形圖：

cc

l

nlB

oA

.

—

M

O

I

D￡

故所有可能的站法是BACZ),BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,

DBAC,DCAB,共12種.

［一點通］“樹形圖”是解決簡單排列問題的有效方法，特別是元素較少時.在具體操作中，先將元

素按一定順序排出，然后以安排哪個元素在首位為分類標準，進行分類，在每類中再在前面元素不變的情

況下定第二位元素，依次一直進行到完成一個排列.

〃〃//應依,集利〃〃/

3.A,B,C三個同學站成一排照相留念，寫出所有排列.

解：由題意作樹形圖如圖所示：

04/14

故所有的才非列為：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.

4.A,B,C,。四名同學重新?lián)Q位(每個同學都不能坐其原來的位子)，試列出所有可能的換位方法.

解：假設4,B,C,。四名同學原來的位子分別為1,2,3,4號，列出樹形圖如圖：

位置編號

1BxD

^

2z-\//A

AcDADAC

'

—

—

—--/

n

3DDADBA

—

—

—

—

—

—uI

4cAcBcBA

換位后，原來1,2,3,4號座位上坐的同學的所有可能排法有：BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,

CDBA,DABC,DCAB,DCBA.

考點3有關排列數(shù)的計算

什留2AH7AI.A；；Z-

[例3]計算：⑴⑵A；；=!'

［思路點撥I利用公式7T化簡變形.

2AH7At

I精解詳析］

(1)AI-AG

2X8X7X6X5X4+7X8X7><6><5

8X7X6X5X4X3X2X1-9X8><7><6X5

8X7X6X5X(8+7)

8X7X6X5X(24-9)

(IT—])!I

(2)原式=[(“一])一(07—1)]!?("—'")!,("一])!

(〃一1)!1

=(…)-(?-l)!=L

［一點通］應用排列數(shù)公式應注意以下幾個方面:

(1)準確展開：應用排列數(shù)公式展開時要注意展開式的項數(shù)要準確.

(2)合理約分：若運算式是分式形式，則要先約分后計算.

(3)合理組合：運算時要結合數(shù)據(jù)特點，應用乘法的交換律、結合律，進行數(shù)據(jù)的組合，可以提高運算

n—111

的速度和準確性，如：n!=n(n—1)!;nn\=(〃+1)!~n!;-y—=(〃_］)一「一了廠等.

〃〃，罪做爰鈍〃

5.如果A；；'=15X14X13X12X11X10,那么”=,m=.

解析：V15X14X13X12X11X1O=A?5,，〃=15,膽=6.

答案：156

6.eq=________

12X11X10X...X6X512

解析:原式=11X10X---X5X4~~4~3

答案：3

7.解下列方程：

(l)3AH2Ai+i+6A?；

(2)5A》=6A「.

解：⑴由3A?=2A，i+6Ai,

得3x(x—1)(九-2)=2。+l)x+6x。-1).

.”23,

???3(L1)(X-2)=2(x+l)+6(x-l),

即3?-17x+10=0.

2

解得x=5或x=](舍去)，.\x=5.

--5X4!6X5!

⑵由5AA6As,H(4_v),=(6_v),

化簡得x2—'llx+24=0,解得》=3,X2=8,

；xW4,且X-1W5,.?.原方程式的解為x=3.

［方法?規(guī)律?小結］

1.排列數(shù)公式的特點

(1)第一個因數(shù)是〃；

(2)每個因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1：

(3)最后一個因數(shù)是n—/n+l；

(4)一共有m個連續(xù)的自然數(shù)相乘.

2.應用排列數(shù)公式應注意的問題

⑴排列數(shù)的第一個公式A；7="(〃-1)…(”一根+1)適用于具體計算以及解當m較小時的含有排列數(shù)的

方程和不等式.

V］I

(2)排列數(shù)的第二個公式A7=,、?適用于與排列數(shù)有關的證明、解方程、解不等式等，在具體

運用時，則應注意先提取公因式，再計算，同時還要注意隱含條件“〃2W〃且〃iWN*”的運用.

06/14

訓

練

提

能

區(qū)

）

升（三

力提

課下能

題

填空

一、

：

題中

列問

1.下

；

一本

每人

學，

名同

給10

書分

同的

本不

①10

；

電話

一次

互通

同學

②10位

信；

一封

互通

同學

③10位

段.

成的線

的點構

點共線

任何三

個沒有

?10

填上）

確序號

.（將正

的是

問題

排列

屬于

其中

.

列問題

③是排

以①和

，所

變化

發(fā)生

結果

序，

換順

素交

個元

中兩

和③

：①

解析

：①③

答案

序號）

.（填

法為

有站

的所

一排

站成

兩人

中選

三人

乙、丙

甲、

2.從

甲；

，丙

，甲丙

乙甲

乙，

①甲

甲；

，乙丙

乙丙

②甲

乙；

，丙

丙甲

丙，

，乙

乙甲

甲丙，

乙，

③甲

乙丙.

甲丙，

乙，

④甲

確.

③正

，故

站法

兩種

的是

對應

兩人

任意

關，

順序有

，與

問題

排列

一個

：這是

解析

：③

答案

.

=

,則"

132

AZ=

已知

3.

0,

132=

〃一

,即/一

132

-1）=

?（/?

：AH=

解析

.

”=12

所以

N’,

為"G

又因

：12

答案

種.

有

的排法

則不同

排，

成一

人站

出3

中選

個人

從5

4.

法.

的排