高中數(shù)學期末模擬試題

高中數(shù)學期末模擬試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知向量A8=(-l,2),BC=(x,-5),若麗.覺=一7，則()

A.5B.4A/2C.6D.572

2.已知，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l+l在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下列三角函數(shù)值的符號判斷正確的是()

?16萬八,17兀、八?

A.sinl56<0B.cos----->0C.tan(-----)<0D.tan556<0

58

4.已知函數(shù)/(x)=sin2x+Gcos2x,給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)"X)的最小正周期是乃

冗冗

②函數(shù)/(x)在區(qū)間一2二上是減函數(shù)

63

③函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點($0)對稱

④函數(shù)/(%)的圖像可由函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移|個單位得到

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

5.如圖長方體中，過同一個頂點的三條棱的長分別為2、4、6,A點為長方體的一個

頂點，3點為其所在棱的中點，則沿著長方體的表面從A點到3點的最短距離為()

A.V29B.3加C.V41D.2如

6.在A4BC中，角A3,。所對的邊分別為a,Z\c,已知48cosBsinC=6c，則3=

()

7.若天是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx-sinxcos二的最小值是（）

A.——+-\/2B.-+^2D.血

22

8.一個棱長為4的無蓋正方體盒子的平面展開圖如圖所示，A，B,C,。為其上四

個點，則以4，B,C,。為頂點的三棱錐的體積為

二、多選題

9.根據(jù)下列情況，判斷三角形情況，其中正確的是（）

A.Q=8,b=l6,A=30°,有一解B./?=18,c=20,8=60。，有兩解

C.a=5fc=2,A—90°,無解D.。=30,b=25,A—150°,有一解

TTTT

10.函數(shù)/（X）=sin3x+@（0>O,[°|<彳）的最小正周期為萬，且其圖象向右平移三個

26

單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)/（X）的圖象（）

TT57r

A.關(guān)于點（一二，0）中心對稱B.關(guān)于直線％=——對稱

612

C.關(guān)于點G，0）中心對稱D.關(guān)于直線x=2對稱

312

11.如圖所示，四邊形ABCO為梯形，其中A3〃C￡）,AB=2CD,M，N分別為

AB,CO的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

DNC

A.AC^AD+-ABB.MC^-AC+-BC

2

C.MN^AD+-ABD.BC^AD--AB

42

12.給出下列命題，其中是真命題的是（

試卷第2頁，總4頁

A.純虛數(shù)z的共輸復(fù)數(shù)是一zB.若Z「Z2=0,則Z]=Z2

C.若Z|+Z2CR,則Z1與Z2互為共軌復(fù)數(shù)D.若Z1-Z2=0,則Z]與N互為共鈍復(fù)

數(shù)

三、填空題

13.在北緯45°東經(jīng)30°有一座城市A，在北緯45°東經(jīng)120°有一座城市8,設(shè)地

球半徑為R,則4、8兩地之間的距離是；

61

14.若sina-sin〃=l-￥，cosa-cosp=—,貝iJcos(a-^)=

15.已知點P在邊長為4的等邊三角形A2C內(nèi)，滿足AP=AAB+/.lAC，且2/L+3"=1,

延長A尸交邊8c于點力，若BD=2DC,則西.方的值為

16.已知角a的終邊經(jīng)過點P(-2,4),則sina—cosa的值等于

四、解答題

17.AABC中，角A5,C的對邊分別為a,4c,且

asinA+csinC-。sin3=4^asin(A+B).

(I)求角B的值；

(Il)若向量m=(cosA,cos2A),“=(2,-2),a=5,當而G取得最大值時，求

邊b的值.

―71

18.設(shè)萬=(cosa,(4—1)sina),b=(cos/?,sin/?),(2>0,0<a<￡<胃)是平面上的

兩個向量，若向量a+5與萬一〃互相垂直.

(I)求實數(shù)丸的值；

44

(II)若展且tan〃=1,求tana的值.

7

19.已知zeC,z+2/?和——都是實數(shù).

2-z

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)a的取值范圍.

20.一個圓錐的底面半徑為2%高為6cm,在其內(nèi)部有一個高為xc/n的內(nèi)接圓柱.

(1)求圓錐的側(cè)面積；

(2)當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值.

21.設(shè)向量m=(sin2ox,cos20r),“(cos0,sin。)，其中例<],6y>0,函數(shù)

/(x)=而4的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(即函數(shù)取得最大值的點)為P,I),

在原點右側(cè)與x軸的第一個交點為

(1)求函數(shù)的表達式；

(2)在△ABC中，角A，3,C的對邊分別是若〃C)=T,9?而=—；,

且。+。=2百，求邊長5

22.如圖，在平行四邊形/ECD中，/8=4，血>=2，/MD.。/，后，尸分別為

AB'BC上的點，且AE=2￡B，CF=2FB.

(1)若詼=x^+y而，求x,y的值:

(2)求才.礪的值；

(3)求cos/BEF.

試卷第4頁，總4頁

參考答案

1.A【詳解】

解：向量A5=(T,2),BC=(x,-5),若A3.BC=_7,可得一x—10=-7,解得x=—3,

____uum,----------

所以43=通+團=(7,—3),則AC=J(—4)2+32=5.

故選：A.

2.D【解析】

試題分析：因z=l-i,故對應(yīng)的點在第四象限，應(yīng)選D.

3.C【解析】

sinl56°=sin24°>0,cos^y^=-cosy<0,=Aan(-.)<0,tan556°=tanl6°>0,所以選C.

4.B【詳解】

解：/(x)=sin2x+GCOS2X=2sin+yj

①因為<o=2,則f(x)的最小正周期7=兀，結(jié)論正確.

②當xe時，21+梟［0,句，y=sinx在［(),句上不是單調(diào)函數(shù)，結(jié)論錯誤.

③因為/(［)=0,則函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心為0］結(jié)論正確.

3\7

1T

④函數(shù)/(X)的圖象可由函數(shù)丫=$出2r的圖象向左平移一個單位得到.結(jié)論錯誤.

6

故正確結(jié)論有①③，故選B.

5.C【詳解】

由長方體的側(cè)面展開圖可得：

(1)當3點所在的棱長為2,則沿著長方體的表面從A到B的距離可能為J(4+6『+『=.阿；

J(4+lp+62=向；西+(6+1)2=病.

(2)當3點所在的棱長為4,則沿著長方體的表面從4到B的距離可能為J(2+2『+到=2日;

,J(2+6)2+22=2717；百+(6+2『=2后

(3)當3點所在的棱長為6,則沿著長方體的表面從A到3的距離可能為J(2+3)2+42=屈;

J(2+41+32=3也；立+(3+4『=屈

答案第1頁，總8頁

綜上所述，沿著長方體的表面從A點到B點的最短距離為歷.

故選：C.

6.D【詳解】

由4/?cos5sinC=#>c，得4sinBcosBsinC=A/3sinC，

??.sin2B邛，.山竹吟，.??囁吟

故選：D

7.A【解析】

試題分析：因為X為三角形最小內(nèi)角，所以XW0,耳,設(shè)，=sinx+cosx=0sin(x+?),則/￡(1,&]

t2=l+2sinxcosx，所以sinxcosx=^——-，y=t--——-=r24-Z+—=-—(r-1)2+L當，w(L血]時,

22222

函數(shù)單調(diào)遞減，所以當.=血時，函數(shù)取得最小值，最小值為y=3-3.

8.c【詳解】

將展開圖還原為正方體，如圖所示.

故以A，B,C,。為頂點的三棱錐的體積V=43—4X!X'X43=".

323

故選C

求解空間幾何體體積的常用策略：

(1)公式法：對于規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式即可破解；

(2)切割法：對于不規(guī)則的幾何體，可以將其分割成規(guī)則的幾何體，再利用公式分別求解之后進行相加求和即可；

(3)補形法：同樣對于不規(guī)則的幾何體，還可以將其補形成規(guī)則圖形，求出規(guī)則幾何體的體積后減去多于部分即

可求解，但需注意的是補形后多于部分的幾何體也應(yīng)該是規(guī)則的，若不是規(guī)則的，此方法不建議使用.

(4)等體積法：一個幾何體無論怎樣變化，其體積是不會發(fā)生變化的.如果遇到一個幾何體的底面面積和高較難

求解時，常常采用此種方法進行解題.

9.ABD【詳解】A中，-,所以sin8」6x：n300=],8=90°,即只有一解；

sinAsinB8

答案第2頁，總8頁

B中，sinC=20sin6Q°=—,且C>8,二?！礮,故有兩解；

189

C中，VA=90°,i/=5,c=2,?,?/,=77^7=725^4=721.有解；

D中，因一一=￡,所以6nA_25'；_5,又b<a,所以角B也只有一解.

sinAsinBsin"---

故選:ABD.

■JT2乃

10.ACD【詳解】?.?函數(shù)f（x）=sin（（yx+e）（o>0,|以<彳）的最小正周期為一=TT,:.a）=2,

2co

且其圖象向右平移丁個單位后得到的函數(shù)為y=sin（2x—工+9）的圖象，

63

7T

再根據(jù)所得函數(shù)為奇函數(shù)，則有-］+°=左］MwZ,

又|歸<］可得*=0，

TT

f（x）=sin（2x+―）.

7F7T

當工二一二時，/（x）=0,則/（幻的圖象關(guān)于點（一二，0）中心對稱，故A成立；

66

57T157r

當x=77時，/5）=一5,不是最值，故函數(shù)/a）的圖象不關(guān)于直線尤=五對稱，故8不成立；

當％=!時，/（x）=0,故函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點（9，0）對稱，故C成立；

當*=土TT時，/（X）=1,是最大值，故函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直n線尤=上對稱，故。成立，

1212

故選：ACD.

11.ABD【詳解】AC=AD+DC^AD+-AB,A正確；

2

MC=MA+AC^^BA+AC^^（BC-AC）+AC=^AC+^BC,B正確；

MN=MA+AD+DN^--AB+AD+-AB=Ab--AB,C錯誤；

244

BC^BA+Al5+DC=-AB+AD+-AB=Ab--AB,￡）正確.

22

故選：ABD.

12.AD【詳解】A.根據(jù)共扼復(fù)數(shù)的定義，顯然是真命題；

B.若Z1-Z2=0,則4=Z2，當Z1,Z2均為實數(shù)時，則有Z1=2,當Z1,Z?是虛數(shù)時，4。,所以B是假

命題;

答案第3頁，總8頁

C.若Z|+Z2€R,則4/2可能均為實數(shù)，但不一定相等，或4與Z2的虛部互為相反數(shù)，但實部不一定相等，所

以C是假命題；

D.若Z1—Z2=0,則％=z2,所以4與2互為共物復(fù)數(shù)，故D是真命題.

故選：AD

13.-R【詳解】由已知地球半徑為R,則北緯45°的緯線圈半徑為受R,

32

又???兩座城市的經(jīng)度分別為東經(jīng)30。和東經(jīng)120。，

故連接兩座城市的弦長乙=4?&=/?，

2

TT

則A，8兩地與地球球心。連線的夾角乙408=一，

3

7T

所以A、3兩地之間的距離是JR.

3

n

故答案為：-R.

3

14.孚【解析】將已知條件兩邊平方得sin%+sin/-2sinasin0=（-6，cos1a+cos2y9-2cosizcos/?=,

兩式相加化簡得cos（a-萬）=券.

9

15.--【詳解】A,P,。共線，不妨令4P=3〃?AD，又萬方=2比，

4

.?.麗+而=-2而+2/即AD=^AB+^AC,

又5麗=而''A*=mAB+2加*=幾'"+'

〃=2/168—1—1—

因此，=4AP=-AB+-AC

2九+3〃=1184

____7___1___

則而=麗—而=一而——AC,

84

答案第4頁，總8頁

-----1—1—7—1—

故PA?尸3=—(wAB+zAC)?(wAB-aAC)

7--23—?—?

=-[—AB+-ABAC-

6416

9

故答案為：—.

4

【解析】，所以=冬叵,故,填.

16.r=OP-2\/5sina=：_Cosa=--,sina-cosa=

5265555

17.(I)-(II)3叵【詳解】

63

解：(I)由已知條件asinA+csinC—bsin8=\/5asin(A+8)和sin(A+5)=sin(;r-C)=sinC,

得asinA+csinC-/?sin3=GasinC，

由正弦定理可得：4"環(huán)=島5

?/a~+c「—b~yficic

故cos8=--------------=-------=—，

2aclac2

所以8=f.

6

(II)m-n=2cosA-2cos2A=2cosA-2f2cos2A-11=-4cos2A+2cosA+2

故當cosA=:時，記.5取得最大值.

此時，sinA=>/1-cos2A=更5

由正弦定理得：Z?=，-sinB=5x二x'=2姮

sinAV1523

7

18.T(1)2TT；(II)—

24

(D由題設(shè)可得(G+5)―(G—5)=0,即同2T5『=o,

代入1,5坐標可得cos2a+(2-1)?si/a-cos*-sin2，=0.

答案第5頁，總8頁

sin26z-sin2<z=0,v0<,AyO,/.A=2.

一一./\4

(2)由(1)知,ab=cosacosp+sinasiny0=cos(?—/7)=—,

0<a<〃<耳一■—<—/?<0sin(a—/?)=一4,tan(a—/?)=—a

tan(a-77)+tan/7

二.tana=tan[(a-/?)+〃]=

l_tan(a_p)?tan.24,

19.(1)z=4-2i；(2)(-2,2)

(1)設(shè)2=々+初(a,/?￡R),則z+2i=Q+(b+2)i

za+bi2a-ba+2b.

-----=-------=---------1--------1

2-i2-z55

.??z+2].和二都是實數(shù)，

2-z

，+2=0

?.?<a+2〃八

-------=0

5

a=4

解得Lc

b=-2

?*?z=4—2z

(2)由(1)知z=4—2i,，(z+ai『=16—(a—2y+8(a—2)i

??.(z+制y在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，

16-(a-2)2>0

8(a-2)<0

解得—2<a<2

即實。的取值范圍是(一2,2).

20.(1)4710^-(cm2)(2)x=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6萬cm?

(1)圓錐的母線長為56?+2?=2jl6(cm)，

圓錐的側(cè)面積d=^-x2x2V10=4Vi0^(cm2).

答案第6頁，總8頁

（2）該幾何體的軸截面如圖所示.

圓柱的側(cè)面積S,=24YX=菖(—丁+6x)=-g[(x—3)2—9],

...當x=3時.，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6%cm2.

21.(1)/(X)=sin12x+W),(XGR)；(2)3

【詳解】(1)因為/(工)=〃2?〃=(5畝