高中數(shù)學(xué)-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》

目標(biāo)分析

知識與技能

1.理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表

示為一組基底的線性組合；

2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題(如相交線交成線段比的問題等)。

過程與方法

1.通過平面向量基本定理，認(rèn)識平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會“某一方向上

的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；

2.通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗(yàn)定

理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。

情感態(tài)度價值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生主動探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)思維的全過程；

2.與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》

教材分析

平面向量基本定理是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背

景.其教育價值主要體現(xiàn)在有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際

問題中的作用，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性和普

遍聯(lián)系性，有助于學(xué)生發(fā)展智力，提高運(yùn)算、推理能力

(1)應(yīng)了解的內(nèi)容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的數(shù)量積處理有

關(guān)長度、角度和垂直的問題。應(yīng)理解的內(nèi)容：向量的概念，兩個向量共線的充要條件，平

面向量坐標(biāo)的概念。應(yīng)掌握的內(nèi)容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)與向量的

積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及幾何意義，向量垂直的條件,。

(2)注意處理好新舊思維矛盾

學(xué)習(xí)向量運(yùn)算與學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算有類似之處：從學(xué)習(xí)順序上看，都是先定義運(yùn)算，再研究運(yùn)

算性質(zhì)；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，向量運(yùn)算具有與數(shù)的運(yùn)算類似的良好性質(zhì)。當(dāng)引入向量后，運(yùn)

算對象擴(kuò)充了，不僅僅是數(shù)的運(yùn)算了，向量運(yùn)算是建立在新的運(yùn)算法則上，向量的運(yùn)算與

實(shí)數(shù)的運(yùn)算不盡相同，向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范

圍內(nèi)不都適用，它有一套自己的運(yùn)算法則.但很多學(xué)生往往完全照搬數(shù)的運(yùn)算法則，而不

注意向量運(yùn)算法則的特點(diǎn)，因此常常出錯。在教學(xué)中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及

時讓學(xué)生加以辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實(shí)質(zhì)。例如向量的加法與向量模的加法的

區(qū)別，向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別，在坐標(biāo)表示中兩個向量共線與垂直的充要條件的區(qū)

別等等。

（3）注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透

在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如，從帆船在

大海中航行時的位移，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透

平移變換的思想。由于向量具有兩個明顯特點(diǎn)一一“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使

得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把曲線與方

程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題。

總之，本節(jié)教材內(nèi)容具有以下幾個方面的特點(diǎn)：

1.向量在數(shù)學(xué)中的地位

向量是近代數(shù)學(xué)中重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問

題的重要工具，因此具有很高的教育價值。

2.本節(jié)在教學(xué)中的地位

平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，并由此進(jìn)一步將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的重

要基礎(chǔ)；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空

間向量用三維坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。因此本節(jié)知識在本章中起承上啟下的作用。

3.本節(jié)在教學(xué)思維方面的培養(yǎng)價值

平面向量基本定理蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表

達(dá)事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對象的集合），并把對事物的研究轉(zhuǎn)化為對事物基

本要素研究的典型范例，這是人們認(rèn)識事物的一種重要方法。

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學(xué)情分析

有利因素

1.學(xué)生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運(yùn)算（特別是向量加法平行四邊形法則和

向量共線的充要條件）都為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供了知識準(zhǔn)備；

2.學(xué)生在物理學(xué)科的學(xué)習(xí)中已經(jīng)清楚了力的合成和力的分解，同時作圖習(xí)慣已經(jīng)養(yǎng)成，這

為我們學(xué)習(xí)向量分解提供了認(rèn)知準(zhǔn)備。

不利因素

1.學(xué)生對向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的意義與作用認(rèn)識不夠，可能增加向量用基底表示時的難

度；

2.對于向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運(yùn)算的角度理解向量

運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。

3.如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面

向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認(rèn)識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作

用。

2.3.1平面向量基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

【教學(xué)目標(biāo)】

1、知識與技能：

(1)理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表

示為一組基底的線性組合；

(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題(如相交線交成線段比的問題等)。

2、過程與方法：

(1)通過平面向量基本定理，認(rèn)識平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會“某一方向上

的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；

(2)通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗(yàn)定

理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。

3、情感態(tài)度、價值觀：

(1)培養(yǎng)學(xué)生主動探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學(xué)思維的全過程；

(2)與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向

量的坐標(biāo)表示.

【教學(xué)難點(diǎn)】平面向量基本定理的理解及運(yùn)用.

【教學(xué)過程】

(一)復(fù)習(xí)引入

1.向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？

平行四邊形法則、三角形法則

2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算?

⑴模：|2a|=|2||a|；

(2)方向：2>0時，之￡與￡方向相同；2<0時，幾￡與［方向相反；4=0時，x￡=o.

3.平面向量共線定理是什么？

非零向量￡與向量B共線等價于存在唯一實(shí)數(shù)入，使石=47

4.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算?力也可以分解，任何一個大小

不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就

會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.

(-)學(xué)習(xí)新知

知識點(diǎn)I:平面向量基本定理

探究1：給定平面內(nèi)任意兩個向量a，e2,如何求作向量3a+25和武一2H2?

探究2：在下列兩圖中，向量礪，麗，玩不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點(diǎn)

M、N,使0廟+0河=。3？

探究3：在上圖中，設(shè)OA=et,OB=e2,OC^a,則向量加、ON分別與前，e2

的關(guān)系如何？從而向量M與七的關(guān)系如何？

OM=,oZ=4瓦.1=44+4瓦.

探窕4：若上述向量即，e2,7都為定向量，且詢，務(wù)不共線，則實(shí)數(shù)4,4是否存在？

是否唯一？

探究5：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量方都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量與，備表

示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？

若3，加是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量少，有且只有一

對實(shí)數(shù)4,4,使4=4幣+獲2?

探究6：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量詢，J叫做表示這一平面內(nèi)所有向

量的一組基底.那么：

①作為基底的這兩個向量是什么位置關(guān)系？

②同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？

③當(dāng)基底確定后向量的表示是否唯一？

練一練：

下面三種說法:①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內(nèi)

有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量，

其中正確的說法是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

解：

平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所

有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.

綜上所述：②③正確.選B.

知識點(diǎn)n：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

探究1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量］和5,作OA=a,OB=b,

如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱NAOB為向量方與5的夾角.你認(rèn)為向量的夾角

的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？

探究2：如果向量萬與B的夾角是90°,則稱向量萬與B垂直，記作互相垂直的兩

個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

探究3：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量：、j作為基底，

對于平面內(nèi)的一個向量占，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得

￡=xPkyj.我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作￡=(x,y).其中x叫做Z在x

軸上的坐標(biāo)，y叫做￡在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示.那么x、y的幾何意義

如何？

探究4：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量麗=1,則礪=(x,y),此時點(diǎn)A的坐標(biāo)

是什么？

練一練：

撲

0

如圖，已知向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量占與：的夾角是30°,且同=4,

以向量；、j為基底，如何表示向量萬？

思考：如果以圖中的0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量：、j的方向分別為平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸

的正方向，那么向量1的坐標(biāo)是什么？

（三）應(yīng)用舉例

例1：已知向量分02（如圖5）,求作向量一2.5q+3e2

作法：

（1）如圖，任取一點(diǎn)0,作

>—>?—?

OA-—2.5q,OB=3e,.

（2）作口OACB.

故OC就是求作的向量.

思考：還有其它解法嗎？

（因?yàn)?.51+31=31-2.51所以利用向量減法運(yùn)算的三角形法則也可得到）

例2：如圖，寫出向量萬，b,c,，的坐標(biāo).

解：

由圖可知，a=AA[+AA2~xi+yj,

r.a=（2,3）.

同理,6=-2i+3j=（-2,3）;

c=-2i-3j=（-2,-3）;

d=2i-3j=（2,-3）.

本題小結(jié)：

本例要求用基底7、亍表示7、h,c,2,其關(guān)鍵是把7、h、7、Z表示為基底i、

j的線性組合.一種方法是把3正交分解,看Z在x軸、y軸上的分向量的大小.把向量Z用；、

1表示出來,進(jìn)而得到向量。的坐標(biāo).

另一種方法是把向量Z移到坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量7終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量￡的坐標(biāo).同樣的

方法，可以得到向量人、c、4的坐標(biāo).

例3：如圖，在平行四邊形ABCD中，A*=M,AD^b,E、M分別是AD、DC的中

點(diǎn)，點(diǎn)廠在8C上，且/，以為基底分別表示向量次和麗

處理方法:教師引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量基本定理進(jìn)行分解,讓學(xué)生自己動手、動腦.然后讓學(xué)

生到黑板上板書步驟,并對書寫認(rèn)真且正確的同學(xué)提出表揚(yáng),對不能寫出完整解題過程的同

學(xué)給予提示和鼓勵.

解：由E、M、F所在位置，有

AM^AD+DM^AD+-DC

2

=ADH—AB=—a+b

22

EF^AF-AE^AB+BF-AE

^AB+-AD--AD=AB--AD

326

-1r

=a-b.

6

一題多解：向量而還有其它解法嗎？

本題小結(jié)：

用已知向量表示未知向量：

本質(zhì)：利用向量的加法和減法對有關(guān)向量進(jìn)行分解。

方法：結(jié)合圖像，從以下角度入手：

(1)要用基向量意識，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來；

(2)把要表示的向量標(biāo)在封閉的圖形中，表示為其它向量的和或差的形式，進(jìn)而尋找這些

向量與基向量的關(guān)系；

(3)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮用

加法，否則用減法，如果此向量與一個易求向量共線，可用數(shù)乘。

拓展延伸：在上題中若改為設(shè)府=。，甌=5,試以為基底分別表示向量而和通

解：

一1—?―?

AD+-AB^AM

由例題的分析可知：（2，在本變式中由赤=5,而=5得:

AB--AD=EF

6

—■1——1-

AD+-AB=aAB=—（2萬+12b）

■_，解得_：

AB--AD=hAb^—（12a-6b）

6I13

（四）鞏固練習(xí)

1.已知向量。=q-26，b=2e1+e2,其中耳、g不共線，則Q+B與c=6q—羽的關(guān)

系（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

2.已知向量q、與不共線，實(shí)數(shù)無、y滿足（3x-4y）q+（2x-3y）e2=6,+3弓，則x-y

的值等于（）

A.3B,-3C.0,D.2

3.已知6為/^正（2的重心，設(shè)A月=G,AC=5,試用萬、B表示向量而.

4.是兩個不共線的向量，已知麗=3：+2j,CB=i+Aj,d=-2i+j,若

A、B、D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)；I的值.

（五）本課小結(jié)

（I）知識點(diǎn)：

平面向量的基本定理；向量的夾角與垂直的定義；平面向量的正交分解；平面向量的坐標(biāo)

表示.

（II）數(shù)學(xué)思想與方法：

待定系數(shù)法、歸納與類比、數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想、方程的思想

（六）課后作業(yè)

1.必做題：課本102頁第3題

2.選做題：課本102頁第4題

3.課后探究作業(yè)：

請同學(xué)們課下小組合作探究下列命題正確與否：

對比今天所做的必做題：

錄與晟是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若存在實(shí)數(shù)4、4,使得41+&1=0,則

4=4=0.

試證明下面的問題：

［與1是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實(shí)數(shù)、聲2,4m2,使得

a]e]+a2e2=b]el+b2e2,則q=4，〃2=82.

(七)板書設(shè)計(jì)：

課題

例題3：

1、平面向量基本定理(1)

2、向量的夾角(2)

多媒體課件展示影區(qū)

3、正交分解

4、向量的坐標(biāo)

課堂合作探究1、2作圖專用紙（格點(diǎn)圖）

合作探究1：兩個人一組，一名同學(xué)在下面格點(diǎn)圖中任意畫出兩個向量,

另一名同學(xué)做出西土生?和七里

合作探究2：在下列兩圖中，向量五！而，無丕共線，能否在直線OA、OB上分別找一點(diǎn)

M、N,^,OM+ON=OC?"

《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》

評測練習(xí)

1.已知向量a=q—2e2,b=2et+e2,其中q、e2不共線，則a+B與c=6q—2e2的關(guān)

系（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

2.已知向量q、e?不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足（3x-4y）q+（2￥-3、應(yīng)=6^+3e2,則x—y

的值等于（）

A.3B.-3C.0.D.2

3.已知6為2^出（2的重心，設(shè)A月=①=試用汗、5表示向量店.

4.i,j是兩個不共線的向量，已知而=3i+2j,而=：+衍，麗=一2：+j,若

A、B、D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)4的值.

5.證明下列兩個結(jié)論：

（1）1與］是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若存在實(shí)數(shù)4、%,使得41+4最=0,則

4=4=o.

（2）［與1是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若存在實(shí)數(shù)叫候2，%12，使得

%%+a2e2=4q+b2e2,貝U%=bva2=b2.

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效果分析

1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個新定理一一平面向量基本定理.教科書

首先通過“思考”：讓學(xué)生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個向量進(jìn)行加減的線性運(yùn)算時所表

示的新向量有什么特點(diǎn),反過來,對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如Xiei+X2e2的向量

表示.

2.教師應(yīng)該多提出問題，多讓學(xué)生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過解題來總結(jié)方法，引導(dǎo)

學(xué)生理解“化歸”思想對解題的幫助，也要讓學(xué)生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部分

的題.

3.如果條件允許，借助多媒體進(jìn)行教學(xué)會有意想不到的效果.整節(jié)課的教學(xué)主線應(yīng)以學(xué)

生練習(xí)為主，教師給與引導(dǎo)和提示.充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實(shí)際問題的過程，這也

是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學(xué)生這種經(jīng)歷的實(shí)踐活動越多,解決實(shí)際問題的方法

就越恰當(dāng)而簡捷.

《平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示》

觀評記錄

吳老師點(diǎn)評：

賈老師的教學(xué)特點(diǎn)如下：

1、教學(xué)設(shè)計(jì)好，教學(xué)流程清楚，環(huán)節(jié)緊湊、流暢，由易到難，層次分明，知識梳理清

晰，既有對集體備課形成的教學(xué)案的使用吸收，又有個人的創(chuàng)新、獨(dú)到之處，注重了基本數(shù)

學(xué)方法的培養(yǎng)與基本數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生從整體、系統(tǒng)的角度領(lǐng)悟復(fù)習(xí)要求，從整體上

處理教材內(nèi)容，從系統(tǒng)上把握要求，整個設(shè)計(jì)把教學(xué)過程變成學(xué)生對知識的理解應(yīng)用過程,

變成了學(xué)生自己探索提升的過程，讓學(xué)生的能力得到了提高。

2、教學(xué)定位非常準(zhǔn)。上課能與學(xué)生的有效溝通，雖說上這節(jié)講評課時間緊，內(nèi)容和知

識點(diǎn)多，上課舍得把時間給學(xué)生去交流思考思路、去講解解決問題過程;不僅自己板書示范，

還讓學(xué)生板書解題過程，老師充分放手讓學(xué)生自己動手，動口，老師只引導(dǎo)點(diǎn)撥，使學(xué)生主

動獲取知識，在潛移默化中領(lǐng)悟知識，使學(xué)生完全成為課堂主人，達(dá)到知識學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)

的統(tǒng)一，說明她善于啟發(fā)調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，有較強(qiáng)的駕馭課堂的能力。

建議：

本節(jié)課是概念定理講授課，是否可以把橫向綜合性比較強(qiáng)、能力要求比較抽象的題目放

在下節(jié)課，再在本節(jié)定理理解上再深入點(diǎn)、多花點(diǎn)時間呢。

付老師：

賈老師的課：（1）注重了學(xué)生動手操作能力的培養(yǎng)，如動手畫一畫環(huán)節(jié)讓學(xué)生畫向量

的和得結(jié)論。（2）注重及時總結(jié)梳理知識。（3）注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。（4）注重分層指

導(dǎo)和分層作業(yè)。（5）注意學(xué)生的板演糾正。

劉老師:

賈老師的課：（1）注重學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。（2）注重好習(xí)慣的培養(yǎng)，如做筆記的

習(xí)慣，回答問題過程嚴(yán)謹(jǐn)敘述的習(xí)慣，一題多解的習(xí)慣。