南理工數(shù)學(xué)建模競賽暑假培訓(xùn)結(jié)業(yè)論文-灰度預(yù)測模型

2012年南京理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽

承諾書

我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的競賽規(guī)則（）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們愿意承擔(dān)由此引起的一切后果。

我們的參賽（報(bào)名）隊(duì)號(hào)為：

參賽組別：本科組

參賽隊(duì)員(先打印,后簽名,并留聯(lián)系電話)：

2012年南京理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽

摘要

在大氣環(huán)境質(zhì)量的量化問題上，通過計(jì)算空氣質(zhì)量指數(shù)AQI來綜合評(píng)價(jià)各城市的空氣質(zhì)量。利用MATLAB軟件編寫程序計(jì)算得到結(jié)果，如2010年空氣質(zhì)量最好的三個(gè)城市為?？凇⒗_、呼和浩特，其AQI分別為40、48、59；空氣質(zhì)量最差的三個(gè)城市為蘭州、烏魯木齊、西安，其AQI分別為10.5、91.5、88。在空氣質(zhì)量預(yù)測問題上，我們分別嘗試了曲線擬合與灰度預(yù)測兩種方法，將2011年的預(yù)測值和實(shí)際值比較，發(fā)現(xiàn)灰度預(yù)測在數(shù)據(jù)量較少情況下更具有優(yōu)勢?；诖嗽诤罄m(xù)問題處理上都沿用了灰度預(yù)測模型，并預(yù)測了2012年的空氣質(zhì)量指數(shù)和不節(jié)能減排情況下2007至2011年的空氣質(zhì)量指數(shù)。

解決問題3、4時(shí)，用之前建模得到的數(shù)據(jù)，用EXCEL軟件繪制圖表，清晰直白的分析節(jié)能減排對大氣環(huán)境質(zhì)量改善所起作用，文章的最后給出了下一步實(shí)施節(jié)能減排提出建議。

關(guān)鍵字：AQIMATLAB灰度預(yù)測

1

一、問題的提出

環(huán)境保護(hù)是重大民生問題，隨著社會(huì)對環(huán)境保護(hù)的日益重視，人們越來越重視環(huán)境的改善，工業(yè)革命以來，世界各國尤其是西方國家經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展是以大量消耗能源資源為代價(jià)的，并且造成了生態(tài)環(huán)境的日益惡化。

節(jié)約能源資源，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，已成為世界人民的廣泛共識(shí)。我國從2007年8月起，中央財(cái)政開始實(shí)施節(jié)能減排工作，既是對人類社會(huì)發(fā)展規(guī)律認(rèn)識(shí)的不斷深化，也是積極應(yīng)對全球氣候變化的迫切需要。《國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十一個(gè)五年規(guī)劃綱要》提出了“十一五”期間單位國問題二要求依照過去幾年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測出假如2007年不采取節(jié)能減排措施時(shí)我國大氣環(huán)境的發(fā)展趨勢。利用2003到2006年的數(shù)據(jù)即可做出預(yù)測。問題三和問題四可以合并為一個(gè)問題：討論節(jié)能減排對大氣環(huán)境質(zhì)量改善所起作用并對改善情況進(jìn)行科學(xué)分析。為解決此問題，可以將利用2003至2006年的數(shù)據(jù)所得的2007至2011年的不節(jié)能減排的預(yù)測值與這些年的實(shí)際空氣質(zhì)量指數(shù)值相對比并分析。

問題五是對下一步實(shí)施節(jié)能減排提出建議。此問題是根據(jù)問題三和四對節(jié)能減排政策實(shí)施的效果的分析而得的。

2

三、基本假設(shè)

1.由于僅已知2003到2011年的數(shù)據(jù)，且題目要求利用這些數(shù)據(jù)來進(jìn)行相關(guān)預(yù)測，故假設(shè)已知數(shù)據(jù)已足夠多，可以進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測；

2.各個(gè)省份的指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息均由《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》【1】所得，故假設(shè)所有數(shù)據(jù)真實(shí)有效；3.假設(shè)二氧化硫、二氧化氮及可吸入顆粒物的濃度即可正確反映出空氣質(zhì)量的狀況；

4.假設(shè)忽略由于自然災(zāi)害等原因造成的空氣質(zhì)量突變情況；

5.假設(shè)節(jié)能減排措施是全國統(tǒng)一地在2007年8月開始實(shí)施的，各地區(qū)同步。

四、符號(hào)說明

3

五、模型設(shè)計(jì)與模型求解

5.1問題一：對全國各省會(huì)城市的大氣環(huán)境質(zhì)量定量綜合評(píng)價(jià)，分析比較2012年各地區(qū)大氣的污染狀況

5.1.1、問題分析

大氣質(zhì)量優(yōu)劣與人們的生活息息相關(guān)，所以能知道當(dāng)天或者某一階段的大氣質(zhì)量十分必要。題目中問題1要求我們能給出全國個(gè)省會(huì)城市大氣質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)的模型。我們通過查閱《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》【1】和《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定》

【2】，得知空氣質(zhì)量主要與空氣中的二氧化硫、二氧化氮、一氧化碳、臭氧、可吸入顆粒物等的濃度有關(guān)，通過計(jì)算各成分的IAQI，取最大值，即為當(dāng)?shù)乜諝赓|(zhì)量指數(shù)AQI，其值越大，污染越嚴(yán)重。同時(shí)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定》【2】給出了計(jì)算AQI的公式IAQIPIAQIHiIAQILoCPBPLoIAQILo以及BPHiBPLo

AQImax{IAQI1,IAQI2,,IAQIn}，《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》【1】上查閱得到了個(gè)年份的二氧化硫、二氧化氮、可吸入顆粒物三種成分的濃度。我們基于這三種污染物，建立計(jì)算AQI的數(shù)學(xué)模型。將得到的數(shù)據(jù)通過EXCEL處理，繪出更加直觀的各個(gè)城市在個(gè)個(gè)年份間AQI的變化曲線。

對于2012年各地區(qū)大氣的污染狀況的預(yù)測，我們建立了兩個(gè)模型：模型一通過MATLAB軟件利用已計(jì)算出的各城市2003到2010年的空氣質(zhì)量指數(shù)來進(jìn)行三次擬合，得出2011年和2012年的預(yù)測值；模型二選擇灰色系統(tǒng)預(yù)測方法，對2011和2012年的指數(shù)進(jìn)行灰色預(yù)測。比較兩種模型得出的2011年預(yù)測值與我們查到的2011年的實(shí)際值，檢驗(yàn)結(jié)果是否準(zhǔn)確。

5.1.2、模型建立與求解

環(huán)境質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)

在《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》【2】中的污染物項(xiàng)目的空氣質(zhì)量分指數(shù)的計(jì)算公式

IAQIPIAQIHiIAQILoCPBPLoIAQILo（5.1.1）BPHiBPLo

以及空氣質(zhì)量指數(shù)的計(jì)算公式

AQImax{IAQI1,IAQI2,,IAQIn}（5.1.2）

的基礎(chǔ)上計(jì)算各地的環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)，其中IAQI1,IAQI2,IAQI3分

硫、二氧化氮和可吸入顆粒物的空氣質(zhì)量分指數(shù)，BPBPLo、IAQIHi、IAQILoHi、

【1】可通過查表而得，CP通過查閱各年的《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》得到。PP

4

以由此計(jì)算出的各年各省份的AQI為主要依據(jù)，對各城市的環(huán)境質(zhì)量給出評(píng)價(jià)，AQI數(shù)值越低則環(huán)境質(zhì)量越好。

.預(yù)測2012年空氣質(zhì)量指數(shù)

（1）曲線擬合模型建立

將計(jì)算得到的各城市2003到2010年AQI值進(jìn)行3次曲線擬合，公式為

f(x)q1*x3q2*x2q3*xq4（5.1.3）

該計(jì)算利用MATLAB軟件進(jìn)行，得到q1、q2、q3、q4四個(gè)參數(shù)后，代入年份編號(hào)

x，得出2011和2012的預(yù)測值。

（2）灰度預(yù)測模型建立

將2003至2010個(gè)年份各城市的AQI值寫入數(shù)據(jù)列

x(0){x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(8)}（5.1.4）

經(jīng)過一次累加，得到

x(1){x(1)(1),x(1)(2),,x(1)(7)}（5.1.5）

假設(shè)x(1)滿足一階常微分方程

dx(1)

+ax(1)=u（5.1.6）dt

當(dāng)tt0時(shí)x(1)x(1)(t0)的解為

uux(1)(t)x(1)(t0)ea(tt0).（5.1.7）aa

由于年分是離散值，所以公示變?yōu)?/p>

uux(1)(k1)[x(1)(1)]eak.（5.1.8）aa

灰色建模的途徑是一次累加序列（1.2.3）通過最小二乘法來估計(jì)常數(shù)a與u。利用查分代替微分，保留x(1)(1)做初值，又因等間隔t(t1)t1,故公式（5.1.9）變?yōu)?/p>

(0)(1)ì?x(2)+ax(2)=u,??(0)(1)?x(3)+ax(3)=u,??（5.1.10）í?..............................???x(0)(7)+ax(1)(7)=u.???

寫成向量形式

5

(0)a(1)x(2)[x(2),1]ua(0)(1)x(3)[x(3),1]u（5.1.11）

(0)a(1)x(7)[x(7),1]u

如果用矩陣表示

(1)(1)x(0)(2)2[x(2)x(1)](0)(1)(1)x(3)2[x(3)x(2)]

(0)(1)(1)x(7)2[x(7)x(6)]11a.（5.1.12）u11

令

(1)(1)11[x(2)x(1)]1(1)(1)[x(3)x(2)]1a(0)(0)(0)T,U,y(x(2),x(3),,x(N)).Bu1(1)(1)[x(N)x(N1)]1

則（5.1.12）式就變?yōu)閥BU，其最小二乘估計(jì)為

?a?U(BTB)1BTy（5.1.13）?u

?與u?代入（1.2.10），得到時(shí)間相應(yīng)方程把估計(jì)值a

??u?u?(1)(k1)x(1)(1)eakx（5.1.14）??aa

因?yàn)榈玫降氖且淮卫奂有蛄械臄M合值，所以要用減法還原，即得到原始序列的擬合值。

.模型求解

（1）空氣質(zhì)量評(píng)價(jià)模型求解

利用MATLAB軟件進(jìn)行編程，系統(tǒng)地計(jì)算出各年各城市的AQI指數(shù)，程序及各年的具體數(shù)值見附錄。

利用EXCEL表格中2003到2010年來各地?cái)?shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果畫出空氣質(zhì)量指數(shù)發(fā)展趨勢，如圖1所示

6

圖1

空氣質(zhì)量指數(shù)越低的城市空氣質(zhì)量相對越好。做各年的AQI均值，可得中國空氣質(zhì)量最優(yōu)的五個(gè)城市依次為：?？?、拉薩、南寧、福州和昆明，而環(huán)境最差的五個(gè)城市依次為：蘭州、北京、烏魯木齊、太原和西安。因此從地域上看，南方的城市相對環(huán)境較好，特別是東南沿海城市；而北方重工業(yè)發(fā)達(dá)的城市空氣質(zhì)量則明顯較差。

從時(shí)間上來看，各個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)在2007年之前大部分都在逐漸升高，可能是由于當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展以及對環(huán)境保護(hù)的不重視。而在2007之后，大多數(shù)省會(huì)城市的指數(shù)都有下降的趨勢，分析其原因，可能是自2007年8月起國家實(shí)施了節(jié)能減排的政策。

（2）曲線擬合模型求解

對于2012年各地區(qū)大氣的污染狀況的預(yù)測，首先通過MATLAB軟件利用已計(jì)算出的各城市2003到2010年的空氣質(zhì)量指數(shù)來進(jìn)行三次擬合，得出2011年和2012年的預(yù)測值。并把我們查到的2011年實(shí)際的空氣質(zhì)量指數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，將2011年的預(yù)測值與對比對比，結(jié)果如下表1所示：

7

我們可以認(rèn)為，相對誤差超過10%則預(yù)測不準(zhǔn)確。由上圖可知，31個(gè)城市中有15個(gè)城市的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際值得相對誤差超過了10%，因此通過插值擬合模型得到的預(yù)測結(jié)果并不準(zhǔn)確。

（3）灰度預(yù)測模型求解

采用灰色預(yù)測模型，得出的2011年預(yù)測結(jié)果與實(shí)際情況的比較如下表2：8

由上表可知，31個(gè)城市中只有7個(gè)城市的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際值得相對誤差超過了10%，因此灰度預(yù)測模型比曲線擬合模型更好，更能真是的反映空氣質(zhì)量的變化趨勢。

灰色預(yù)測方法所得結(jié)果較準(zhǔn)確，于是運(yùn)用此方法，使用2003到2011年的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，預(yù)測2012年各城市AQI指數(shù)，得下表3：

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2012年的結(jié)果如圖2所示

圖2

由上表可看出最好的五個(gè)城市依次為：海口、拉薩、南寧、福州和昆明，最差的五個(gè)城市依次為烏魯木齊、蘭州、西寧、合肥、北京?？傮w來講，2012年比前幾年空氣質(zhì)量有所改善。

5.2問題二：假如不采取節(jié)能減排，依照過去幾年的主要統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對我國大氣環(huán)境的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析。

5.2.1、問題分析

根據(jù)題目，我國從2007年8月開始實(shí)行節(jié)能減排，因此參照2007年之前的數(shù)據(jù)對各地在此之后各年份的空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行預(yù)測計(jì)算分析。根據(jù)問題一的經(jīng)驗(yàn)，對于已知數(shù)據(jù)較少的情況，若要進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)測，宜采用灰色預(yù)測模型，而曲線擬合對于此問題并不適用。參照問題一中的灰度預(yù)測模型，進(jìn)行建模計(jì)算分析，得出預(yù)測結(jié)果。

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5.2.2、模型建立

參照模型一，由2003至2006年的空氣質(zhì)量指數(shù)給出觀測數(shù)據(jù)列，按照模型一的方法即可得出假如不采取節(jié)能減排，各城市2007到2011年的AQI。

5.2.3模型求解

利用灰度預(yù)測模型，求出各城市不節(jié)能減排情況下2007到2011年的AQI如下表4：

在EXCEL軟件中繪制折線圖如圖3

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圖3

由上圖可以清晰的看到如不采取節(jié)能減排的措施，大部分城市空氣質(zhì)量指數(shù)將會(huì)不斷上升，蘭州、烏魯木齊、北京、石家莊的AQI將超過100，達(dá)到三級(jí)污染。而還有一部分城市在不斷下降，這部分城市是在2007年以前空氣質(zhì)量都很好的城市，如南寧、?？诘?。

5.3問題三、四：建立模型分析討論節(jié)能減排對大氣環(huán)境質(zhì)量改善所起作用，并進(jìn)行科學(xué)分析。

5.3.1、問題分析:

在問題二的基礎(chǔ)上，通過對比2007至2011年的預(yù)測值和實(shí)際值，分析各大城市在空氣質(zhì)量改善情況。

5.3.2、模型建立

用灰度預(yù)測模型在問題二的基礎(chǔ)上，采用各城市的不同年份的空氣質(zhì)量指數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)與不實(shí)施節(jié)能減排的情況下的預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，并用EXCEL軟件對每年全國各省會(huì)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)繪出柱形圖。

5.3.3、模型求解

用EXCEL軟件對2010和2011年全國各省會(huì)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)繪出的柱形圖如下：

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圖4

圖5

由上面兩張柱狀圖可以看出，對于污染比較嚴(yán)重的地區(qū)來說，節(jié)能減排政策的實(shí)行對于空氣質(zhì)量的改善有明顯的效果；對于原本就空氣質(zhì)量較好的城市來說，并不明顯。

從總體上來分析，根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》【2】中對空氣質(zhì)量等級(jí)的劃分，繪制餅狀圖如下：

圖6

可以看到，實(shí)際達(dá)到一級(jí)空氣質(zhì)量的城市所占比例明顯比不節(jié)能減排情況下所預(yù)測的比例大，而三級(jí)空氣質(zhì)量所占的比例明顯要小。這也充分說明國家實(shí)施節(jié)能減排政策是非常明智的。

5.4問題五：對下一步實(shí)施節(jié)能減排提出建議

由以上四問可以看出，首先節(jié)能減排是行之有效的，對比于沒有節(jié)能減排情

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況下的預(yù)測，空氣質(zhì)量明顯提高。因此應(yīng)該繼續(xù)堅(jiān)持節(jié)能減排政策。對于重要的工業(yè)城市以及特大城市進(jìn)行節(jié)能減排后，每年的空氣質(zhì)量均有所提高，以二氧化硫、二氧化氮以及可吸入顆粒物為代表的各種污染物均有不同比例的減少。

反觀工業(yè)不是很密集，自然環(huán)境原本就很好的一些旅游城市，節(jié)能減排前后的效果并不是特別明顯，是否進(jìn)行節(jié)能減排對于空氣質(zhì)量的影響并不很大。因此今后在考慮節(jié)能減排任務(wù)時(shí)，可以把重點(diǎn)放在主要的工業(yè)城市，旅游城市的節(jié)能減排任務(wù)相應(yīng)就可以輕一些。第三，節(jié)能減排的重點(diǎn)領(lǐng)域應(yīng)該是重工業(yè)，因?yàn)檫@個(gè)行業(yè)會(huì)產(chǎn)生大量以二氧化硫、二氧化氮為代表的污染物。減少他們的含量對于節(jié)能減排大有幫助。

六、模型評(píng)價(jià)

1.模型的優(yōu)點(diǎn)在于：問題一中運(yùn)用了兩個(gè)模型進(jìn)行2012年的預(yù)測，其中第一個(gè)曲線擬合模型擬合的效果并不理想，分析其原因，可能是已知的數(shù)據(jù)不夠多，無法進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測；而第二個(gè)灰度預(yù)測模型克服了這個(gè)缺點(diǎn)：它是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測的一種預(yù)測方法，利用這種方法，經(jīng)過檢驗(yàn)，我們得出了較為準(zhǔn)確的預(yù)測。

2.我們在解問題二的過程中遇到了一個(gè)問題：利用2003年到2006年的數(shù)據(jù)進(jìn)行不節(jié)能減排預(yù)測時(shí)，鄭州市2007到2010年的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了周期性的變化，與實(shí)際相差較大，而其他城市的數(shù)據(jù)都較為正常，可能是由灰度預(yù)測方法本存在的缺陷造成的。

3.模型的缺點(diǎn)在于：觀察各省份空氣質(zhì)量指數(shù)發(fā)展趨勢圖（圖1），發(fā)現(xiàn)個(gè)別城市的空氣質(zhì)量指數(shù)會(huì)發(fā)生突變，雖然已經(jīng)采用了灰度預(yù)測的方法，但這對預(yù)測未來的指數(shù)還是可能產(chǎn)生一些影響，降低預(yù)測的精度。

4.模型的擴(kuò)展：通過以上一系列的計(jì)算、分析與討論，我們可以清晰地看出各地區(qū)的環(huán)境狀況和節(jié)能減排的效果，根據(jù)這些結(jié)果，有關(guān)部門可以調(diào)整政策，因地制宜，對污染嚴(yán)重的地區(qū)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查、檢測，得到更全面的數(shù)據(jù)，從而制定出合適的政策；對節(jié)能減排不明顯的地區(qū)，建立專門的模型，根據(jù)分析來制定更加有力的政策。

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七、參考文獻(xiàn)

[1]、中華人民共和國國家統(tǒng)計(jì)局《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》/tjsj/ndsj/

[2]、中華人民共和國環(huán)境保護(hù)部《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定》中國環(huán)境科學(xué)出版社

[3]、首都師范大學(xué)《運(yùn)籌學(xué)》第七章灰度預(yù)測模型課件ppt/view/9f393b2eed630b1c59eeb5d0.html

1、計(jì)算AQI的MATLAB代碼，

a=load(‘d:\2003.txt’)%讀取數(shù)據(jù)

b=a(:,1)

c=a(:,2)

d=a(:,3)

fork=1:31

if(b(k)<50)&(b(k)>0)

r(k)=b(k);

elseif(b(k)<150)&(b(k)>50)

r(k)=1/2*(b(k)-50)+50;

elseif(b(k)<250)&(b(k)>150)

r(k)=1/2*(b(k)-150)+100;

elseif(b(k)<350)&(b(k)>250)

r(k)=1/2*(b(k)-250)+150;

elseif(b(k)<420)&(b(k)>350)

八、附錄15

r(k)=0.7*(b(k)-350)+200;elseif(b(k)<500)&(b(k)>420)r(k)=0.8*(b(k)-420)+300;elseif(b(k)<600)&(b(k)>500)r(k)=(b(k)-500)+400;

end

if(c(k)>0)&(c(k)<50)

t(k)=c(k);

elseif(c(k)>50)&(c(k)<150)t(k)=0.5*(c(k)-50)+50;elseif(c(k)>150)&(c(k)<475)t(k)=50/325*(c(k)-150)+100;elseif(c(k)>475)&(c(k)<800)t(k)=50/325*(c(k)-475)+150;elseif(c(k)>800)&(c(k)<1600)t(k)=100/800*(c(k)-800)+200;elseif(c(k)>1600)&(c(k)<2100)t(k)=100/500*(c(k)-1600)+300;elseif(c(k)>2100)&(c(k)<2620)t(k)=100/520*(c(k)-2100)+400;end

if(d(k)>0)&(d(k)<40)

y(k)=5/4*(d(k)-0)+0;elseif(d(k)>40)&(d(k)<80)y(k)=5/4*(d(k)-40)+50;elseif(d(k)>80