井岡山大學(xué)第一屆“井岡杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題

井岡山大學(xué)第一屆“井岡杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題（本科組在A、B中選一題做，?？平M在C、D中選一題做）A題：最佳陣容問(wèn)題

有一場(chǎng)由四個(gè)項(xiàng)目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團(tuán)體賽，賽程規(guī)定：每個(gè)隊(duì)至多允許10名運(yùn)動(dòng)員參賽，每一個(gè)項(xiàng)目可以有6名選手參加。每個(gè)選手參賽的成績(jī)?cè)u(píng)分從高到低依次為：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊(duì)為優(yōu)勝者。此外，還規(guī)定每個(gè)運(yùn)動(dòng)員只能參加全能比賽（四項(xiàng)全參加）與單項(xiàng)比賽這兩類中的一類，參加單項(xiàng)比賽的每個(gè)運(yùn)動(dòng)員至多只能參加三項(xiàng)單項(xiàng)。每個(gè)隊(duì)?wèi)?yīng)有4人參加全能比賽，其余運(yùn)動(dòng)員參加單項(xiàng)比賽。

現(xiàn)某代表隊(duì)的教練已經(jīng)對(duì)其所帶領(lǐng)的10名運(yùn)動(dòng)員參加各個(gè)項(xiàng)目的成績(jī)進(jìn)行了大量測(cè)試，教練發(fā)現(xiàn)每個(gè)運(yùn)動(dòng)員在每個(gè)單項(xiàng)上的成績(jī)穩(wěn)定在4個(gè)得分上（見(jiàn)下表），她們得到這些成績(jī)的相應(yīng)概率也由統(tǒng)計(jì)得出（見(jiàn)表中第二個(gè)數(shù)據(jù)。例如：8.4～0.15表示取得8.4分的概率為0.15）。試解答以下問(wèn)題：

1、每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最悲觀估算，在此前提下，請(qǐng)為該隊(duì)排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高；每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按均值估算，在此前提下，請(qǐng)為該隊(duì)排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高。2、若對(duì)以往的資料及近期各種信息進(jìn)行分析得到：本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于236.2分，該隊(duì)為了奪冠應(yīng)排出怎樣的陣容？以該陣容出戰(zhàn)，其奪冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對(duì)手？附表：運(yùn)動(dòng)員各項(xiàng)目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳馬）4（自由體操）18.40.158.40.109.10.108.70.109.00.508.80.209.30.108.90.209.20.259.00.609.50.609.10.609.40.10100.109.80.209.90.1029.30.108.40.158.40.108.90.109.50.109.00.508.80.209.10.109.60.609.20.259.00.609.30.609.80.209.40.10100.109.60.2038.40.108.10.108.40.159.50.108.80.209.10.509.00.509.70.109.00.609.30.309.20.259.80.60100.109.50.109.40.10100.2048.10.108.70.109.00.108.40.109.10.508.90.209.40.108.80.209.30.309.10.609.50.509.00.609.50.109.90.109.70.30100.1058.40.159.00.108.30.109.40.109.00.509.20.108.70.109.60.109.20.259.40.608.90.609.70.609.40.109.70.209.30.209.90.2069.40.108.70.108.50.108.40.159.60.108.90.208.70.109.00.509.70.609.10.608.90.509.20.259.90.209.90.109.10.309.40.1079.50.108.40.108.30.108.40.109.70.108.80.208.70.108.80.109.80.609.00.608.90.609.20.60100.20100.109.30.209.80.2088.40.108.80.058.70.108.20.108.80.209.20.058.90.209.30.509.00.609.80.509.10.609.50.30100.10100.409.90.109.80.1098.40.158.40.108.40.109.30.109.00.508.80.108.80.209.50.109.20.259.20.609.00.609.70.509.40.109.80.20100.109.90.30109.00.108.10.108.20.109.10.109.20.109.10.509.20.509.30.109.40.609.30.309.40.309.50.609.70.209.50.109.60.109.80.20B題：垃圾坑的挖掘某市平均日產(chǎn)生活垃圾約為1000立方米（以壓縮后體積計(jì)），現(xiàn)欲建一垃圾填埋場(chǎng)，將垃圾挖坑后填埋，再在表面覆蓋一米厚的土層以恢復(fù)植被?，F(xiàn)需就建場(chǎng)預(yù)算中涉及購(gòu)置設(shè)備及征用土地問(wèn)題作出決策?？紤]挖坑及填埋設(shè)備的購(gòu)置和土地征用中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，市政當(dāng)局希望給出花錢最少的預(yù)算?，F(xiàn)已知下列情形：

1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，無(wú)須處理，但須運(yùn)上地面，并須留出填埋覆蓋用土。

2.每套挖掘及填埋機(jī)械需購(gòu)置費(fèi)用150萬(wàn)元，使用壽命十年。

3.填埋場(chǎng)預(yù)計(jì)使用五十年。

4.壓縮后的垃圾由汽車直接拋入垃圾填坑中，無(wú)須作功。

5.現(xiàn)征地費(fèi)用為20萬(wàn)元/畝，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料知，此前三年地價(jià)漲幅為平均10%/年。

6.機(jī)械使用柴油，效率為30%。在平地作業(yè)時(shí)，將一立方土移動(dòng)一米需作功100千瓦，但隨挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基礎(chǔ)上下降10%。

7.當(dāng)前銀行貸款年利率為5%，存款利率為3%。

8.填埋后的場(chǎng)地將用于公益(如建立公園、綠地等)。

問(wèn)題：（1）試按市政當(dāng)局要求，建立數(shù)學(xué)模型，為該項(xiàng)目計(jì)算出最佳的挖掘深度，評(píng)價(jià)模型優(yōu)缺點(diǎn)；

（2）作出征購(gòu)?fù)恋?，?gòu)買機(jī)械的方案及預(yù)算。C題：鉛球的投擲眾所周知，鉛球的投擲運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開(kāi)角為45o的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點(diǎn)與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠(yuǎn)度，并以鉛球投擲遠(yuǎn)度的大小評(píng)定運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。在鉛球的訓(xùn)練和比賽中，鉛球投擲距離的遠(yuǎn)與近是人們最關(guān)心的問(wèn)題。而對(duì)于教練和運(yùn)動(dòng)員最為關(guān)心的問(wèn)題是如何使鉛球擲得最遠(yuǎn)。影響鉛球投擲遠(yuǎn)度的因素有哪些？哪些是影響遠(yuǎn)度的主要因素？在平時(shí)訓(xùn)練中，應(yīng)該更注意哪些方面的訓(xùn)練？試通過(guò)組建數(shù)學(xué)模型對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行分析，給教練和運(yùn)動(dòng)員以理論指導(dǎo)。參考數(shù)據(jù)資料如下：表1李素梅與斯盧皮亞內(nèi)克鉛球投擲成績(jī)姓名出手速度v(m/s)出手高度h(m)出手角度(o)實(shí)測(cè)成績(jī)(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)克13.772.0640.0021.41表2我國(guó)優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員的鉛球投擲數(shù)據(jù)姓名成績(jī)s(m)出手速度v(m/s)出手角度(o)出手高度h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95D題：火電站擴(kuò)建問(wèn)題某地區(qū)在制定十年電力發(fā)展規(guī)劃時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：根據(jù)電力需求預(yù)測(cè)得知，該地區(qū)在十年后發(fā)電裝機(jī)容量需要增加180萬(wàn)千瓦，那時(shí)的年發(fā)電量需要增加100億度。根據(jù)調(diào)查和討論，電力規(guī)劃的備選技術(shù)方案有三個(gè)：擴(kuò)建原有的火電站，但最多只能再安裝五臺(tái)10萬(wàn)千瓦的發(fā)電機(jī)組；新建水電站，但最多只能安裝四臺(tái)25萬(wàn)千瓦的發(fā)電機(jī)組；或再新建一個(gè)火電站，最多只能安裝四臺(tái)30萬(wàn)千瓦的發(fā)電機(jī)組。通過(guò)調(diào)研和計(jì)算，獲得有關(guān)的參數(shù)如表1所示。表中負(fù)荷因子為全年滿功率運(yùn)行天數(shù)與全年總天數(shù)之比。根據(jù)該地實(shí)際調(diào)查原有火電站平均全年滿功率運(yùn)行天數(shù)為241天，水電站和新建的火電站應(yīng)分別為146天和255天，而全年365天，故折算得表中數(shù)據(jù)。表中資本回收因子是由如下數(shù)據(jù)所確定的，火電站的回收年限取15年，年利息率為0．06；水電站的回收年限取30年，年利息率為0．04，即得表中所列數(shù)值。請(qǐng)?jiān)跐M足上述技術(shù)要求的前提下，選取經(jīng)濟(jì)效果最優(yōu)的建設(shè)方案。1．原來(lái)的火電站應(yīng)如何擴(kuò)建？2．新建的水電站應(yīng)如何確定單機(jī)容量為25萬(wàn)千瓦的發(fā)電機(jī)組的數(shù)量？3．新建的火力發(fā)電站應(yīng)如何確定單機(jī)容量為30萬(wàn)千瓦的發(fā)電機(jī)組的數(shù)量？

表1:備選技術(shù)方案參數(shù)表

工程投資單機(jī)容量

（萬(wàn)千瓦）允許裝機(jī)臺(tái)數(shù)資本回收因子年運(yùn)行成本（百萬(wàn)元/億度）負(fù)荷因子備選方案工程特點(diǎn)前期工程投資（百萬(wàn)元）單機(jī)設(shè)備投資（百萬(wàn)元）1擴(kuò)建舊火電站

211050．1034．110．662新建水電站504702540．05782．280．43新建火電站240653040．1033．650．7競(jìng)賽論文格式要求論文（答卷）用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁(yè)邊距。論文第一頁(yè)為封面，具體內(nèi)容和格式見(jiàn)本規(guī)范第二頁(yè)。摘要、關(guān)鍵詞寫在論文第二頁(yè)上，從第三頁(yè)開(kāi)始是論文正文(若干頁(yè))。論文從第二頁(yè)開(kāi)始編寫頁(yè)碼，頁(yè)碼必須位于每頁(yè)頁(yè)腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開(kāi)始連續(xù)編號(hào)。論文不能有頁(yè)眉，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標(biāo)志。論文題目用3號(hào)黑體字、一級(jí)標(biāo)題用4號(hào)黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號(hào)黑色宋體字，行距用單倍行距。提請(qǐng)大家注意：摘要在整篇論文評(píng)閱中占有重要權(quán)重，請(qǐng)認(rèn)真書寫摘要（注意篇幅不能超過(guò)一頁(yè)）。評(píng)閱時(shí)將首先根據(jù)摘要和論文整體結(jié)構(gòu)及概貌對(duì)論文優(yōu)劣進(jìn)行初步篩選。論文格式見(jiàn)答卷，小4號(hào)黑色宋體字引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料(包括網(wǎng)上查到的資料