概率專題 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)高考--概率（一輪復(fù)習(xí)）課時一知識點(diǎn)一概率綜合,寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列典例1、某智能共享單車備有、兩種車型，采用分段計費(fèi)的方式營用，型單車每30分鐘收費(fèi)0.5元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），型單車每30分鐘收費(fèi)1元（不足30分鐘的部分按30分鐘計算），現(xiàn)有甲、乙、丙三人，分別相互獨(dú)立地到租車點(diǎn)租車騎行（各租一車一次），設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，并且三個人每人租車都不會超過60分鐘，甲、乙均租用型單車，丙租用型單車.（1）求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；（2）設(shè)甲、乙、丙三人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.隨堂練習(xí)：某公司生產(chǎn)某種食用菌，為了銷往全國各地，把該食用菌分為一級、優(yōu)級、特級、珍品共四個等級，并以每件0.5kg的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一包裝．某采購商訂購了一批這種食用菌，并從中隨機(jī)抽取100件，按該食用菌的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下表：等級一級優(yōu)級特級珍品件數(shù)20103040（1）以樣本估計總體，將頻率視為概率，從這100件食用菌中有放回隨機(jī)抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；（2）用分層抽樣的方法從這100件食用菌中抽取10件，再從抽取的10件中隨機(jī)抽取3件，設(shè)X表示抽取的是珍品等級的件數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．典例2、第屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，于年月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．某校寒假期間組織部分滑雪愛好者參加冬令營集訓(xùn)．訓(xùn)練期間，冬令營的同學(xué)們都參加了“單板滑雪”這個項目相同次數(shù)的訓(xùn)練測試，成績分別為、、、、五個等級，分別對應(yīng)的分?jǐn)?shù)為、、、、．甲、乙兩位同學(xué)在這個項目的測試成績統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．（1）根據(jù)上圖判斷，甲、乙兩位同學(xué)哪位同學(xué)的單板滑雪成績更穩(wěn)定？（結(jié)論不需要證明）（2）求甲單板滑雪項目各次測試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)；（3）若甲、乙再同時參加兩次測試，設(shè)甲的成績?yōu)榉植⑶乙业某煽優(yōu)榉只蚍值拇螖?shù)為，求的分布列（頻率當(dāng)作概率使用）．

隨堂練習(xí)：某調(diào)研機(jī)構(gòu)就該市工薪階層對“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了5000名市民，他們月收入人數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入(單位：百元)調(diào)查人數(shù)500100015001000500500贊成人數(shù)40080012004149987（1）若從抽調(diào)的5000名市民中隨機(jī)選取一名市民，求該市民贊成“樓市限購令”的概率；（2）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若從該市工薪階層隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作；若從抽調(diào)的收入在(百元)的市民中隨機(jī)抽取兩名，記贊成“樓市限購令”的人數(shù)為，期望記作，比較與的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)典例3、年月日，鄭渝高鐵實(shí)現(xiàn)全線貫通運(yùn)營.鄭渝高鐵北起河南省鄭州市，南至重慶市，途經(jīng)河南、湖北、重慶三省市，全長公里，此前，北京到重慶的高鐵列車耗時小時分，現(xiàn)在只需小時分；石家莊至重慶高鐵的耗時由小時分縮短至小時分，鄭州至重慶的耗時由小時分縮短至小時分，不僅如此，鄭渝高鐵還是一條旅游線，串聯(lián)起了嵩山少林寺、襄陽古隆中、神農(nóng)架原始森林、巫山大小三峽、奉節(jié)白帝城等眾多著名旅游景點(diǎn).現(xiàn)有一列鄭渝高鐵從重慶北發(fā)出，某節(jié)車廂內(nèi)共有位旅客，每位旅客等可能地從云陽、奉節(jié)、巫山、巴東、神農(nóng)架、襄陽東共個車站中選擇一站下車，且彼此獨(dú)立.（1）求這位旅客選擇下車的車站互不相同的概率；（2）設(shè)這位旅客選擇下車的車站共有個，求的分布列和期望.

隨堂練習(xí)：某銀行招聘，設(shè)置了A，B，C三組測試題供競聘人員選擇.現(xiàn)有五人參加招聘，經(jīng)抽簽決定甲、乙兩人各自獨(dú)立參加A組測試，丙獨(dú)自參加B組測試，丁、戊兩人各自獨(dú)立參加C組測試.若甲、乙兩人各自通過A組測試的概率均為；丙通過B組測試的概率為；而C組共設(shè)6道測試題，每個人必須且只能從中任選4題作答，至少答對3題者就競聘成功.假設(shè)丁、戊都只能答對這6道測試題中4道題.（1）求丁、戊都競聘成功的概率；（2）記A、B兩組通過測試的總?cè)藬?shù)為，求的分布列和期望.知識點(diǎn)二由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列,寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列,求離散型隨機(jī)變量的均值,利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項典例4、足球運(yùn)動被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動”.為推廣足球運(yùn)動，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報名人數(shù)較多，需對報名者進(jìn)行“點(diǎn)球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：（1）下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，以這150個點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，將他在測試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為，求；點(diǎn)球數(shù)203030252025進(jìn)球數(shù)101720161314（2）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，接到第n次傳球的人即為第次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為.（1）求，，（直接寫出結(jié)果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列.

隨堂練習(xí)：雅禮中學(xué)是三湘名校，學(xué)校每年一屆的社團(tuán)節(jié)是雅禮很有特色的學(xué)生活動，幾十個社團(tuán)在一個月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團(tuán)活動，充分體現(xiàn)了雅禮中學(xué)為學(xué)生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學(xué)社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.（1）已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；（2）已知恰有甲?乙?丙?丁四個團(tuán)隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團(tuán)隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團(tuán)隊回答后由其他團(tuán)隊搶答下一問題，且其他團(tuán)體有相同的機(jī)會搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.①求和；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.典例5、現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．（1）設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；（2）設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，

（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．

隨堂練習(xí)：為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.（1）求甲前3次答題得分之和為40分的概率；（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.典例6、某校班主任利用周末時間對該班級2019年最后一次月考的語文作文分?jǐn)?shù)進(jìn)行了一次統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)都位于20﹣55之間，現(xiàn)將所有分?jǐn)?shù)情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七組，其頻率分布直方圖如圖所示，已知m＝2n，[30，35）這組的參加者是12人．（1）根據(jù)此頻率分布直方圖求圖中m，n的值，并求該班級這次月考作文分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）組織者從[35，40）這組的參加者（其中共有5名女學(xué)生，其余為男學(xué)生）中隨機(jī)選出1人（為公平起見，把每個人編號，通過號碼確定），如果選到男學(xué)生，則該學(xué)生留在本組，如果選到女生，則該女生交換一個男生到該組中去（已知本班男生人數(shù)多于女生人數(shù)），重復(fù)上述過程n次后，該組中的男生人數(shù)為Xn．①求隨機(jī)變量X1的概率分布及數(shù)學(xué)期望E（X1）；②求隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望E（Xn）關(guān)于n的表達(dá)式．

隨堂練習(xí)：中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實(shí)實(shí)，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者起到了激勵、感召和促進(jìn)作用，給予全國人民巨大的鼓舞.（1）看過中國女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格：月份x12345體重超重的人數(shù)y640540420300200若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊員控制時，傳給B隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由B隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由C隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給B隊員的概率為.記，，為經(jīng)過n次傳球后球分別恰由A隊員、B隊員、C隊員控制的概率.（i）若，B隊員控制球的次數(shù)為X，求；（ii）若，，，，，證明：為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率與的大小.附1：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.附2：參考數(shù)據(jù)：，.

2025高考--概率（一輪復(fù)習(xí)）課時一答案典例1、答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）由題意，甲乙丙在3分鐘以上且不超過6分鐘還車的概率分別為，，，設(shè)“甲乙兩人所付費(fèi)用之和等于丙所付費(fèi)用”為事件，則；（2）隨機(jī)變量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，則，，，，，所以，甲乙丙三人所付費(fèi)用之和的分布列為22.533.54∴隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）分布列見解析，解：（1）設(shè)Y表示每個顧客取到食品所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事件“恰好4分鐘后，第三個顧客開始等待取食品”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個人取到食品所需的時間為1分鐘，且第二個人取到食品所需的時間為3分鐘；②第一人取到食品所需的時間為3分鐘，且第二人取到食品所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個人取到食品所需的時間均為2分鐘.所以.（2）X所有可能的取值為0，1，2.對應(yīng)第一個人取到食品所需的時間超過2分鐘，所以;對應(yīng)第一個人取到食品所需的時間為1分鐘且第二個人取到食品所需的時間超過1分鐘，或第一個人取到食品所需的時間為2分鐘，所以；對應(yīng)兩個人取到食品所需的時間均為1分鐘，所以；所以X的分布列為：0120.50.49750.0025所以典例2、答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）由已知條件知，當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自甲旅游協(xié)會時，有種不同選法；當(dāng)兩名高級導(dǎo)游來自乙旅游協(xié)會時，有種不同選法，則所以事件發(fā)生的概率為；（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4.，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為01234所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（人）隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）設(shè)甲獲得的獎金為元，則可能的取值為0，200，700．，，，所以，甲獲得的獎金的概率分布列為：0200700所以．（2）由（1）可知，獲得二等獎的概率為0.14，獲得一等獎的概率為0.035．設(shè)事件A：甲和乙最后所得獎金之和為900元，設(shè)事件B：甲選手獲得一等獎，由（1）知獲得二等獎的概率為，獲得一等獎的概率為，所以，所以，所求的概率．典例3、答案：（1）（2）分布列答案見解析，解：（1）記事件這位旅客選擇下車的車站互不相同，則.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、、，則，，，，因此，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）分布列見解析，解：（1）設(shè)參加C組測試的每個人競聘成功為A事件，則又兩人競聘成功相互獨(dú)立，故丁、戊都競聘成功的概率等于由題意可知可取0，1，2，3，又3人競聘成功相互獨(dú)立，則，，，，故的分布列為：0123所以.典例4、答案：（1）（2）（i），，（ii）證明見解析；詳解:（1）這150個點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為，則該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率，由題意，可能取1，2，3，則，，，則的期望.（2）（i）因?yàn)閺募组_始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，所以第1次觸球者是甲的概率，顯然第2次觸球者是甲的概率，第2次傳球有兩種可能，所以第3次觸球者是甲的概率概，（ii）∵第n次觸球者是甲的概率為，所以當(dāng)時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則.從而，又，∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列.隨堂練習(xí)：答案：（1）12（2）①；②證明見解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大解：（1）設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，易知的所有可能取值為，則，，，故的分布列為012，則.（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，則.②由第次回答的是甲的概率為，得當(dāng)時，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，則，即，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..典例5、答案：（1）分布列見解析，（2）（i）證明見解析；（ii）答案見解析.解：（1）由題意知的取值為，；；；所以X的分布列為012所以；（2）（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，時，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，于是有，即，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列;（ii），所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù).隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）①，，且；②5.解：（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分