浙江省衢州市2023-2024學年高二下學期6月教學質量檢測數(shù)學試題含答案

衢州市2024年6月高二年級教學質量檢測試卷數(shù)學考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁，有4大題，19小題.滿分150分，考試時間120分鐘.3.請將答案做在答題卷的相應位置上，寫在試卷上無效.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目的要求.1.復數(shù)（）A. B. C. D.2.設隨機變量，則的數(shù)學期望為（）A.3 B.6 C.9 D.123.已知直線和平面，則“”是“直線與平面無公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.某圓錐的軸截面是腰長為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（）A B. C. D.5.已知向量，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.6.在中，，是的中點，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知曲線：，曲線：，兩曲線在第二象限交于點，，在處的切線傾斜角分別為，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列論述正確的是（）A.樣本相關系數(shù)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經驗回歸直線必過中心點C.用決定系數(shù)比較兩個回歸模型擬合效果時，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差D.研究某兩個屬性變量時，作出零假設并得到2×2列聯(lián)表，計算得，則有的把握能推斷不成立10.已知是雙曲線右焦點，為其左支上一點，點，則（）A.雙曲線焦距為6B.點到漸近線的距離為2C.的最小值為D.若，則的面積為11.已知函數(shù)的定義域為，若，且為偶函數(shù)，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)13.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一個人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為_________（用數(shù)字作答）；4次傳球后球在甲手中的概率為_________.14.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上一動點（不包括端點）.將沿折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球體積的取值范圍是_________.四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，14，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.16.如圖，在棱長為1的正四面體中，是的中點，，分別在棱和上（不含端點），且平面.（1）證明：平面；（2）若為中點，求平面截該正四面體所得截面的面積；（3）當直線與平面所成角為時，求.17.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若，求的最大值.18.某學校的數(shù)學節(jié)活動中，其中有一項“抽幸運數(shù)字”擂臺游戲，分甲乙雙方，游戲開始時，甲方有2張互不相同的牌，乙方有3張互不相同的牌，其中的2張牌與甲方的牌相同，剩下一張為“幸運數(shù)字牌”.游戲規(guī)則為：①雙方交替從對方抽取一張牌，甲方先從乙方中抽??；②若抽到對方的牌與自己的某張牌一致，則將這兩張牌丟棄；③最后剩一張牌（幸運數(shù)字牌）時，持有幸運數(shù)字牌的那方獲勝.假設每一次從對方抽到任一張牌概率都相同.獎勵規(guī)則為：若甲方勝可獲得200積分，乙方勝可獲得100積分.（1）已知某一輪游戲中，乙最終獲勝，記為甲乙兩方抽牌次數(shù)之和.（ⅰ）求；（ⅱ）求，；（2）為使獲得積分的期望最大，你會選擇哪一方進行游戲？并說明理由.19.已知橢圓：的離心率為，斜率為的直線與軸交于點，與交于，兩點，是關于軸的對稱點.當與原點重合時，面積為.（1）求的方程；（2）當異于點時，記直線與軸交于點，求周長的最小值.衢州市2024年6月高二年級教學質量檢測試卷數(shù)學考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁，有4大題，19小題.滿分150分，考試時間120分鐘.3.請將答案做在答題卷的相應位置上，寫在試卷上無效.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目的要求.1.復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)乘法計算.【詳解】.故選：D2.設隨機變量，則的數(shù)學期望為（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項分布的變量的期望公式，代入運算得解.【詳解】，.故選：D.3.已知直線和平面，則“”是“直線與平面無公共點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關系，結合充分，必要條件關系判斷.【詳解】因為包含和直線與平面相交兩種情況，因此若，則直線可以與平面無公共點也可以與平面有一個公共點，因此“”是“直線與平面無公共點”的必要不充分條件.故選：B．4.某圓錐的軸截面是腰長為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出該圓錐的底面半徑和母線長，再求圓錐的側面積得解.【詳解】由題得底面圓的直徑為，所以該圓錐的底面半徑為，母線長為1，所以該圓錐的表面積為.故選：A.5.已知向量，且，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，再根據(jù)投影向量的概念計算在上的投影向量.【詳解】由，得：.又.所以在上的投影向量為：.故選：C6.在中，，是的中點，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得，即可得到，再由正弦型函數(shù)的值域，代入計算，即可求解.【詳解】因為，，在中，由正弦定理可得，則，且是的中點，則，又，則，則，又，則，所以，則，即的取值范圍為.故選：C7.若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先設切點，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用點斜式得到切線方程；再根據(jù)切線過點，得到的關系，利用有兩解求的取值范圍.【詳解】設切點，又，所以切線斜率為：.由點斜式，切線方程為：.因為切線過點，所以.所以：.因為過原點的切線有兩條，所以關于方程有兩解.由（），設，則，由得，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，且當時，.所以有兩解，則.故選：A8.已知曲線：，曲線：，兩曲線在第二象限交于點，，在處的切線傾斜角分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易知，利用導數(shù)的幾何意義可求得，再根據(jù)圓的切線求法可得，再根據(jù)三角恒等變換可判斷B正確.【詳解】聯(lián)立，得，即，可得，解得，，可得由：可知；所以曲線在處的切線斜率為，曲線可化為，其圓心為，，所以圓在處的切線斜率為，，，即，故B正確，A、C錯誤，，故D錯誤，故選：B.二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列論述正確的是（）A.樣本相關系數(shù)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系B.由樣本數(shù)據(jù)得到的經驗回歸直線必過中心點C.用決定系數(shù)比較兩個回歸模型的擬合效果時，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差D.研究某兩個屬性變量時，作出零假設并得到2×2列聯(lián)表，計算得，則有的把握能推斷不成立【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)相關系數(shù)的性質分析判斷；對于B：根據(jù)經驗回歸方程過樣本中心點分析判斷；對于C：根據(jù)決定系數(shù)的性質分析判斷；對于D：根據(jù)獨立性檢驗思想分析判斷.【詳解】對于選項A：樣本相關系數(shù)的絕對值越大，線性相關性越強，所以樣本相關系數(shù)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系，故A正確；對于選項B：經驗回歸直線必過中心點，故B正確；對于選項C：在回歸分析中，越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，故C錯誤；對于選項D：因為，根據(jù)獨立性檢驗的思想可知有的把握能推斷不成立，故D正確；故選：ABD.10.已知是雙曲線的右焦點，為其左支上一點，點，則（）A.雙曲線的焦距為6B.點到漸近線的距離為2C.的最小值為D.若，則的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質判斷A，利用點到直線的距離公式判斷B，利用雙曲線的定義判斷C，求焦點三角形的面積，可判斷D.【詳解】如圖：由雙曲線的標準方程，可知，，所以，所以雙曲線的焦距為：，故A正確；雙曲線的漸近線為，即，點到漸近線的距離為：，故B錯誤；設雙曲線的左焦點為,根據(jù)雙曲線的定義：，所以，故C正確；在中，由，，，由余弦定理得：，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)的定義域為，若，且為偶函數(shù)，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱，求得函數(shù)的周期，判斷A，再根據(jù)函數(shù)周期和對稱性求值，并求函數(shù)值，判斷BCD.【詳解】∵，∴關于對稱∵為偶函數(shù)，∴關于對稱∴的周期，故A錯；（∵的周期為12）（∵關于對稱）（∵關于對稱），故B正確；（∵的周期為12）（∵關于對稱）（∵關于對稱），即，故C正確；∵的周期為12∴，，又，所以，同理，，，，又，所以，即，由，令，得，，，所以，所以，，，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是通過對稱性判斷函數(shù)的周期.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)是______.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，再根據(jù)通項賦值即可得展開式中的系數(shù).【詳解】的展開式的通項所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.13.甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中任何一個人.則4次傳球的不同方法總數(shù)為_________（用數(shù)字作答）；4次傳球后球在甲手中的概率為_________.【答案】①.81②.【解析】【分析】先求出4次傳球的方法總數(shù)，再求出4次傳球后球在甲手中的方法總數(shù)，設表示經過第次傳球后球在甲手中，設次傳球后球在甲手中的概率為，依題意利用全概率公式得到，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出，再將代入計算可得.【詳解】由題意可知，4次傳球總的傳球路線種數(shù)為種，設表示經過第次傳球后球在甲手中，設次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，所以，即，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，當時.故答案為：81，.14.如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上一動點（不包括端點）.將沿折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球體積的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計算出球半徑表達式，即可求出體積取值范圍.【詳解】因為是直角三角形，所以其外接圓的圓心在的斜邊上，即是該圓的直徑，又因為平面平面，所以平面必過球心，外接球半徑即為外接圓的半徑，設球的半徑為，球的體積為，在中，根據(jù)正弦定理得，，又因為，所以，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是通過兩平面垂直關系以及三棱錐的底面為直角三角形判斷出球心的位置，判斷球心在平面上，得出球心為外接圓的圓心，再求出的取值范圍即可解決問題.四、解答題：本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，14，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，14，成等差數(shù)列，得，再結合及等比數(shù)列的通項公式，可求，從而得到等比數(shù)列的通項公式.（2）利用“錯位相減求和法”求數(shù)列的前項和.【小問1詳解】由題意可知，即，又∵，即，∴或（舍），∴，∴.【小問2詳解】令，∴，即①∴②①-②得：∴∴.16.如圖，在棱長為1的正四面體中，是的中點，，分別在棱和上（不含端點），且平面.（1）證明：平面；（2）若為中點，求平面截該正四面體所得截面的面積；（3）當直線與平面所成角為時，求.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）線面平行的判定定理和性質定理證明即可；（2）取中點，則平面即為平面截正四面體的截面，求解即可.（3）方法一：取中點，連接，過點作的垂線，垂足為，連接，由線面角的定義可知即為直線與平面所成角，求解即可；方法二：如圖，取中點，連接，以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，由向量法求解即可.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，平面平面，所以，又面，面，所以平面；【小問2詳解】因為，，為，，中點，取中點，則平面即為平面截正四面體的截面，且為邊長是的正方形，所以；【小問3詳解】方法一：取中點，連接，過點作的垂線，垂足為，連接易知，平面，所以即為直線與平面所成角，又，，所以，，所以，即方法二：如圖，取中點，連接，以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，，設，所以，即，所以，又平面的法向量為，所以，解得，即.17.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若，求的最大值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導，分和兩種情況，利用導數(shù)判斷的單調性；（2）根據(jù)題意結合（1）中的單調性可得，令，利用導數(shù)判斷其單調性和最值.小問1詳解】由題意可知：，①當時，，可知在上單調遞增；②當時，令，解得；令，解得；可知在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】因為，由（1）可得：①當時，可知在上單調遞增，且趨近于時，趨近于，與題意不符；②當時，可知在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得，且，則，令，則，令，解得；令，解得；可知在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以當，時，的最大值為.18.某學校的數(shù)學節(jié)活動中，其中有一項“抽幸運數(shù)字”擂臺游戲，分甲乙雙方，游戲開始時，甲方有2張互不相同的牌，乙方有3張互不相同的牌，其中的2張牌與甲方的牌相同，剩下一張為“幸運數(shù)字牌”.游戲規(guī)則為：①雙方交替從對方抽取一張牌，甲方先從乙方中抽??；②若抽到對方的牌與自己的某張牌一致，則將這兩張牌丟棄；③最后剩一張牌（幸運數(shù)字牌）時，持有幸運數(shù)字牌的那方獲勝.假設每一次從對方抽到任一張牌的概率都相同.獎勵規(guī)則為：若甲方勝可獲得200積分，乙方勝可獲得100積分.（1）已知某一輪游戲中，乙最終獲勝，記為甲乙兩方抽牌次數(shù)之和.（?。┣?；（ⅱ）求，；（2）為使獲得積分的期望最大，你會選擇哪一方進行游戲？并說明理由.【答案】（1）（?。?；（ⅱ），（2）乙方，理由見解析【解析】【分析】（1）（i）分析得到甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，從而乙方會剩下“幸運數(shù)字牌”，求出概率；（ii）前次抽牌都只抽到對方手中的幸運數(shù)字牌，概率均為，得到概率；（2）方法一：記乙方獲勝為事件A，利用等比數(shù)列求和公式和極限得到，求出乙方獲得積分的期望，求出甲方獲勝的概率和積分的期望，根據(jù)選擇乙方進行游戲.方法二：設乙方獲勝為事件A，由題意得到，求出，求出乙方獲得積分的期望，求出甲方獲勝的概率和積分的期望，根據(jù)選擇乙方進行游戲.【小問1詳解】（i）甲乙兩方抽牌次數(shù)之和為，則甲方抽到的乙方的牌為與自己相同的牌，從而乙方會剩下“幸運數(shù)字牌”，即乙獲勝，；（ii）前次抽牌都只抽到對方手中的幸運數(shù)字牌，概率均為，甲方在第次抽到的不是對方手中的幸運數(shù)字牌，從而乙方最后獲勝，所以，；【小問2詳解】方法一：記乙方獲勝為事件A，則.乙方獲得積分的期望為，則甲方獲勝