江蘇省揚州市教院2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題含解析

江蘇省揚州市教院2025屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．解方程2（5x-1）2=3(5x-1)的最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法． B．配方法 C．公式法 D．分解因式法2．一個不透明的袋子裝有除顏色外其余均相同的2個白球和個黑球．隨機地從袋中摸出一個球記錄下顏色，再放回袋中搖勻．大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在1．2附近，則的值為（）A．2 B．4 C．8 D．113．學(xué)校要舉行“讀書月”活動，同學(xué)們設(shè)計了如下四種“讀書月”活動標(biāo)志圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，下列配方正確的是（）A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝﹣2 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝65．如圖，將Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得點C′與△ABC的內(nèi)心重合，已知AC＝4，BC＝3，則陰影部分的周長為（）A．5 B．6 C．7 D．86．下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查(普查)方式的是()A．了解重慶市中小學(xué)學(xué)生課外閱讀情況B．了解重慶市空氣質(zhì)量情況C．了解重慶市市民收看重慶新聞的情況D．了解某班全體同學(xué)九年級上期第一次月考數(shù)學(xué)成績得分的情況7．一個袋子中裝有6個黑球3個白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機地從這個袋子中摸出一個球，摸到白球的概率為（）A． B． C． D．8．下列四個幾何體中，主視圖是三角形的是（）A． B． C． D．9．已知：不在同一直線上的三點A,B,C求作：⊙O，使它經(jīng)過點A,B,C作法：如圖，（1）連接AB,作線段AB的垂直平分線DE；（2）連接BC,作線段BC的垂直平分線FG,交DE于點O；（3）以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O．⊙O就是所求作的圓.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中正確的是（）A．連接AC,則點O是△ABC的內(nèi)心 B．C．連接OA,OC，則OA,OC不是⊙的半徑 D．若連接AC,則點O在線段AC的垂直平分線上10．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．11．﹣2019的倒數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2019 B． C． D．201912．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)?a1＝a B．（2a）3＝6a3 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．2a2﹣a2＝a2二、填空題（每題4分，共24分）13．寫出一個圖象的頂點在原點，開口向下的二次函數(shù)的表達式_____．14．若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則15m﹣+2010的值為_____．15．漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為，現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為__________.16．從某玉米種子中抽取6批，在同一條件下進行發(fā)芽試驗，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：種子粒數(shù)100400800100020005000發(fā)芽種子粒數(shù)8529865279316044005發(fā)芽頻率0.8500.7450.8150.7930.8020.801根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計，該玉米種子發(fā)芽的概率約為___（精確到0.1）．17．若是關(guān)于的一元二次方程，則________．18．三角形兩邊長分別是4和2，第三邊長是2x2﹣9x+4＝0的一個根，則三角形的周長是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）化簡：（1）；（2）．20．（8分）“揚州漆器”名揚天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售量（件）與銷售單價（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價的范圍.21．（8分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+與x軸交于點A，與y軸交于點B，點F是點B關(guān)于x軸的對稱點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A和點F，與直線AB交于點C．（1）求b和c的值；（2）點P是直線AC下方的拋物線上的一動點，連結(jié)PA，PB．求△PAB的最大面積及點P到直線AC的最大距離；（3）點Q是拋物線上一點，點D在坐標(biāo)軸上，在（2）的條件下，是否存在以A，P，D，Q為頂點且AP為邊的平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．（10分）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求證：BE是⊙O的切線；⑵若BC=，AC=5，求圓的直徑AD的長．23．（10分）問題情境:在綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖（1），將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＝60°）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD操作發(fā)現(xiàn):（1）將圖（1）中的△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°）得到如圖（2）所示△ABC′，分別延長BC′和DC交于點E，發(fā)現(xiàn)CE＝C′E．請你證明這個結(jié)論．（2）在問題（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α等于多少度時，四邊形ACEC′是菱形？請你利用圖（3）說明理由．拓展探究:（3）在滿足問題（2）的基礎(chǔ)上，過點C′作C′F⊥AC，與DC交于點F．試判斷AD、DF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．24．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，BC＝2，求AB的長．25．（12分）列一元二次方程解應(yīng)用題某公司今年1月份的純利潤是20萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的純利潤是22.05萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個月增長的利潤率相同．（1）求每個月增長的利潤率；（2）請你預(yù)測4月份該公司的純利潤是多少？26．如圖，已知二次函數(shù)與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點．（1）寫出兩點的坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)，頂點為．①直接寫出二次函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；②是否存在實數(shù)，使為等邊三角形？如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由；③若直線與拋物線交于兩點，問線段的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出的長度；如果會，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【詳解】解：方程可化為[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即（10x-5）（5x-1）=0，根據(jù)分析可知分解因式法最為合適．故選D．2、C【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：依題意有：=1.2，

解得：n=2．

故選：C．【點睛】此題考查了利用概率的求法估計總體個數(shù)，利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=是解題關(guān)鍵．3、C【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念作答．在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．這個旋轉(zhuǎn)點，就叫做中心對稱點．【詳解】解：、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，使它繞這一點旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義．不符合題意；、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，使它繞這一點旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義．不符合題意；、圖形中心繞旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與它本身重合，故是中心對稱圖形，符合題意；、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，使它繞這一點旋轉(zhuǎn)180°以后，能夠與它本身重合，即不滿足中心對稱圖形的定義．不符合題意．故選：．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念．特別注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后兩部分重合．4、C【分析】按照配方法的步驟：移項，配方（方程兩邊都加上4），即可得出選項．【詳解】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，（x﹣2）2＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查配方法，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．5、A【分析】由三角形面積公式可求C'E的長，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過點C'作C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，并延長C'E交A'B'于點F，連接AC'，BC'，CC'，∵點C'與△ABC的內(nèi)心重合，C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，

∴C'E=C'G=C'H，

∵S△ABC=S△AC'C+S△AC'B+S△BC'C，∴AC×BC=AC×CC'+BA×C'E+BC×C'H∴C'E=1，

∵將Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置，

∴AB∥A'B'，AB=A'B'，A'C'=AC=4，B'C'=BC=3

∴C'F⊥A'B'，A'B'=5，∴A'C'×B'C'=A'B'×C'F，∴C'F=，∵AB∥A'B'

∴△C'MN∽△C'A'B'，∴C陰影部分=C△C'A'B'×=（5+3+4）×=5.故選A.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6、D【解析】調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析，普查結(jié)果準確，所以在要求精確、難度相對不大，實驗無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式，當(dāng)考查的對象很多或考查會給被調(diào)查對象帶來損傷破壞，以及考查經(jīng)費和時間都非常有限時，普查就受到限制，這時就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查.【詳解】解：A、了解重慶市中小學(xué)學(xué)生課外閱讀情況，由于范圍較大，適合用抽樣調(diào)查；故此選項錯誤；B、了解重慶市空氣質(zhì)量情況，適合抽樣調(diào)查，故此選項錯誤；C、了解重慶市市民收看重慶新聞的情況，由于范圍較大，適合用抽樣調(diào)查；故此選項錯誤；D、了解某班全體同學(xué)九年級上期第一次月考數(shù)學(xué)成績得分的情況，范圍較小，采用全面調(diào)查；故此選項正確；故選：D.【點睛】此題主要考查了適合普查的方式，一般有以下幾種：①范圍較小；②容易掌控；③不具有破壞性；④可操作性較強．基于以上各點，“了解全班同學(xué)本周末參加社區(qū)活動的時間”適合普查，其它幾項都不符合以上特點，不適合普查．7、B【分析】讓白球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到白球的概率．【詳解】解：6個黑球3個白球一共有9個球，所以摸到白球的概率是．故選：B．【點睛】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．8、B【解析】主視圖是三角形的一定是一個錐體，只有B是錐體．故選B．9、D【分析】根據(jù)三角形的外心性質(zhì)即可解題.【詳解】A:連接AC,根據(jù)題意可知，點O是△ABC的外心，故A錯誤；B:根據(jù)題意無法證明，故B錯誤；C:連接OA,OC，則OA,OC是⊙的半徑，故C錯誤D:若連接AC,則點O在線段AC的垂直平分線上，故D正確故答案為：D.【點睛】本題考查了三角形的確定即不在一條線上的三個點確定一個圓，這個圓是三角形的外接圓，o是三角形的外心.10、B【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、不中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、不中心對稱圖形，故本選項不合題意．

故選：B．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念：關(guān)鍵是找到相關(guān)圖形的對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．11、C【分析】先求-2019的倒數(shù)，再求倒數(shù)的相反數(shù)即可；【詳解】解：﹣2019的倒數(shù)是，的相反數(shù)為，故答案為：C．【點睛】本題考查倒數(shù)和相反數(shù)．熟練掌握倒數(shù)和相反數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．12、D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，積的乘方運算法則，同底數(shù)冪的除法法則以及合并同類項法則逐一判斷即可．【詳解】A．a(chǎn)?a1＝a2，故本選項不合題意；B．（2a）3＝8a3，故本選項不合題意；C．a(chǎn)6÷a2＝a4，故本選項不合題意；D.2a2﹣a2＝a2，正確，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是冪的運算，比較簡單，需要牢記冪的運算公式.二、填空題（每題4分，共24分）13、y=﹣2x2(答案不唯一)【分析】由題意知，圖象過原點，開口向下則二次項系數(shù)為負數(shù)，由此可寫出滿足條件的二次函數(shù)的表達式．【詳解】解：由題意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．故答案為：y=﹣2x2(答案不唯一)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14、1【分析】根據(jù)m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一個根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，進一步得到5m2﹣1＝3m，兩邊同時除以m得：5m﹣＝3，然后整體代入即可求得答案．【詳解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一個根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，∴5m2﹣1＝3m，兩邊同時除以m得：5m﹣＝3，∴15m﹣+2010＝3（5m﹣）+2010＝9+2010＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，靈活的進行代數(shù)式的變形是解題的關(guān)鍵.15、【解析】分析：設(shè)勾為2k，則股為3k，弦為k，由此求出大正方形面積和陰影區(qū)域面積，由此能求出針尖落在陰影區(qū)域的概率．詳解：設(shè)勾為2k，則股為3k，弦為k，∴大正方形面積S=k×k=13k2，中間小正方形的面積S′=（3?2）k?（3?2）k=k2，故陰影部分的面積為：13k2-k2=12k2∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為:．故答案為．點睛：此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．16、0.1【分析】6批次種子粒數(shù)從100粒增加到5000粒時，種子發(fā)芽的頻率趨近于0.101，所以估計種子發(fā)芽的概率為0.101，再精確到0.1，即可得出答案．【詳解】根據(jù)題干知：當(dāng)種子粒數(shù)5000粒時，種子發(fā)芽的頻率趨近于0.101，故可以估計種子發(fā)芽的概率為0.101，精確到0.1，即為0.1，故本題答案為：0.1．【點睛】本題比較容易，考查利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．17、1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，從而列出關(guān)于m的關(guān)系式，求出答案.【詳解】根據(jù)題意可知：m＋1≠0且｜m｜＋1＝2，解得：m＝1，故答案為m＝1.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解本題的要點在于知道一元二次方程中二次項系數(shù)不能為0.18、1．【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三邊關(guān)系確定出第三邊，最后求周長即可．【詳解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝或x＝4，當(dāng)x＝時，+2＜4，不能構(gòu)成三角形，舍去；則三角形周長為4+4+2＝1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，正確使用因式分解法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.三、解答題（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）由整式乘法進行化簡，然后合并同類項，即可得到答案；（2）先通分，然后計算分式乘法，再合并同類項，即可得到答案．【詳解】解：（1）==；（2）====；【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分式的混合運算，整式的化簡求值，整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則進行解題．20、（1）；（2）單價為46元時，利潤最大為3840元.（3）單價的范圍是45元到55元.【分析】（1）可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤=銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤；（3）首先得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進而利用所獲利潤等于3600元時，對應(yīng)x的值，根據(jù)增減性，求出x的取值范圍．【詳解】（1）由題意得：．故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+700，（2）由題意，得-10x+700≥240，解得x≤46，設(shè)利潤為w=（x-30）?y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50時，w隨x的增大而增大，∴x=46時，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：當(dāng)銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如圖所示，由圖象得：當(dāng)45≤x≤55時，捐款后每天剩余利潤不低于3600元．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，利用函數(shù)增減性得出最值是解題關(guān)鍵，能從實際問題中抽象出二次函數(shù)模型是解答本題的重點和難點．21、（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）點Q的坐標(biāo)為：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．【分析】（1）直線與軸交于點，與軸交于點，則點、的坐標(biāo)分別為：、，則點，拋物線經(jīng)過點和點，則，將點的坐標(biāo)代入拋物線表達式并解得：；（2）過點作軸的平行線交于點，設(shè)出點P，H的坐標(biāo)，將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和，可得函數(shù)表達式，可求△PAB的面積最大值，此時設(shè)點P到AB的距離為d，當(dāng)△PAB的面積最大值時d最大，利用面積公式求出d.（3）若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四邊形的對稱性得到坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，令x=0，則y=，令y=0，則x=-3，則點、的坐標(biāo)分別為：、，∵點F是點B關(guān)于x軸的對稱點，∴點，∵拋物線經(jīng)過點和點，則，將點代入拋物線表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：，，；（2）過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，則點，則的面積：當(dāng)時，，且，∴的最大值為，此時點，，設(shè)：到直線的最大距離為，，解得：；（3）存在，理由：點，點，，設(shè)點，，①當(dāng)點在軸上時，若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，如圖，三種情形都可以構(gòu)成平行四邊形，由于平行四邊形的對稱性可得圖中點Q到x軸的距離和點P到x軸的距離相等，∴，即，解得：（舍去）或或；②當(dāng)點在軸上時，如圖：當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時，由平行四邊形的性質(zhì)可得：=3，∴∴m=，代入二次函數(shù)表達式得：y=當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時，由平行四邊形的性質(zhì)可得：=,∴，∴，代入二次函數(shù)表達式得：y=故點，或，；故點的坐標(biāo)為：，或，或，或，或，．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．22、（1）詳見解析；（2）1【分析】（1）先根據(jù)等弦所對的劣弧相等，再結(jié)合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD，最后用直徑所對的圓周角為直角即可；

（2）利用三角形的中位線先求出OM，再用勾股定理求出半徑r，最后得到直徑的長．【詳解】解：⑴證明：連接OB,CD,OB、CD交于點M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直徑,∴∠ABD=∠ACD=90°，又∠EBD=∠CAB,∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半徑,∴BE是⊙O的切線．⑵∵OB∥AC,OA=OD,AC=5,.∴OM=2.5,BM=OB-2.5,OB⊥CD設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2,BD=BC=.∴r1=3,r2=-0.5(舍).∴圓的直徑AD的長是1．【點睛】此題是切線的判定，主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理等，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線．23、（1）見解析；（2）當(dāng)α＝30°時，四邊形AC′EC是菱形，理由見解析；（3）AD+DF＝AC，理由見解析【分析】（1）先判斷出∠ACC′=∠AC′C，進而判斷出∠ECC′=∠EC′C，即可得出結(jié)論；

（2）判斷出四邊形AC′EC是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出HAC′是等邊三角形，得出AH=AC′，∠H=60°，再判斷出△HDF是等邊三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，連接CC′，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠AC′B＝30°，AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C，∴∠ECC′＝∠EC′C，∴CE＝C′E；（2）當(dāng)α＝30°時，四邊形AC′EC是菱形，理由：∵∠DCA＝∠CAC′＝∠AC′B＝30°，∴CE∥AC′，AC∥C′E，∴四邊形AC′EC是平行四邊形，又∵CE＝C′E，∴四邊形AC′EC是菱形；（3）AD+DF＝AC．理由：如圖4，分別延長CF與AD交于點H，∵∠DAC＝∠C′AC＝30°，C′F⊥AC，∴∠AC′H＝∠DAC′＝60°，∴△HAC′是