2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第七章7.3　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題(學(xué)生版+解析)

§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考試要求1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．知識(shí)梳理1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括________Ax＋By＋C≥0包括________不等式組各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的________2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的________線性約束條件由x，y的________不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的________解析式可行解滿足線性約束條件的解________可行域所有可行解組成的________最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得______________或________的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的________或________問題思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集．()(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.()(4)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．()教材改編題1．某校對高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1<0，,x＋y－3≥0))表示的平面區(qū)域(陰影部分)是()3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x－4≤0，,y＋x－4≤0，,y≥1，))則z＝x＋2y的最大值是()A．－1B．5C．8D．7題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1(1)(2022·成都模擬)在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥|x|，,y≤x＋2，,x≤1))所表示的平面區(qū)域的面積為()A.eq\f(3,2)B．3C．1D．2聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·西安模擬)已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀．(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先作出滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進(jìn)行必要的討論．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2022·西安模擬)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≥2，,3x＋y≤5))所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)k的值為()A．1B．2C．3D．4題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(2022·全國乙卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))則z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0，))則z＝eq\f(y＋3,x)的取值范圍是()A．[－3，1)B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C．[－3，3]D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))則(x－1)2＋y2的最小值為()A．1B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例4若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值為8，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0B．1C．2D．3聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·全國乙卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥4，,x－y≤2，,y≤3，))則z＝3x＋y的最小值為()A．18 B．10C．6 D．4(2)(2022·西寧模擬)如果點(diǎn)P(x，y)在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，則x2＋y2＋2y的最小值是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(9,5)C．1 D．2(3)(2023·呼和浩特模擬)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a的值為________．題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題例5(2022·銀川模擬)快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購物需求，也提供了大量的就業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員．某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如表：體積(立方分米/件)重量(千克/件)快遞員工資(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為()A．150元 B．170元C．180元 D．200元聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答——將線性規(guī)劃問題的答案還原為實(shí)際問題的答案．跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售．現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天的費(fèi)用為320元，乙型車每天的費(fèi)用為504元．若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為()A．2400元 B．2560元C．2816元 D．4576元§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題考試要求1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．知識(shí)梳理1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界Ax＋By＋C≥0包括邊界不等式組各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(√)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(√)(4)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(×)教材改編題1．某校對高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))答案D解析“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1<0，,x＋y－3≥0))表示的平面區(qū)域(陰影部分)是()答案D解析將點(diǎn)(0,0)代入x－y＋1<0不成立，則點(diǎn)(0,0)不在不等式x－y＋1<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，將點(diǎn)(0,0)代入x＋y－3≥0不成立，則點(diǎn)(0,0)不在不等式x＋y－3≥0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以表示的平面區(qū)域不包括原點(diǎn)，排除A，C；x－y＋1<0不包括邊界，用虛線表示，x＋y－3≥0包括邊界，用實(shí)線表示，故選D.3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x－4≤0，,y＋x－4≤0，,y≥1，))則z＝x＋2y的最大值是()A．－1B．5C．8D．7答案C解析作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，z＝x＋2y即為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，平移直線y＝－eq\f(1,2)x知直線過點(diǎn)A時(shí)z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4，))即A(0,4)，此時(shí)zmax＝0＋2×4＝8.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1(1)(2022·成都模擬)在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥|x|，,y≤x＋2，,x≤1))所表示的平面區(qū)域的面積為()A.eq\f(3,2)B．3C．1D．2答案B解析由不等式組可得其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝|x|，))得A(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝x＋2，))得B(1,3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝|x|，))得C(－1,1)；∴OA＝eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，OC＝eq\r(2)，又OC⊥BC，OA∥BC，∴陰影部分面積S＝eq\f(1,2)(OA＋BC)·OC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(2)＝3.(2)(2023·西安模擬)已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(－1,2)解析畫不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,2x－y≤0，,kx－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，直線kx－y＋2＝0與y軸的交點(diǎn)為(0,2)，要使平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，由圖得k∈(－1,2)．思維升華平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀．(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先作出滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進(jìn)行必要的討論．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析x2＋y2－2x－2y＋1≤0可表示為(x－1)2＋(y－1)2≤1，即(x，y)在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上及其內(nèi)部，x＋y≤4表示(x，y)在直線x＋y＝4上及其左下方，如圖所示，由圖象知，“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的充分不必要條件．(2)(2022·西安模擬)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≥2，,3x＋y≤5))所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)k的值為()A．1B．2C．3D．4答案A解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示．由圖可知，可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，因?yàn)橹本€y＝kx＋2過△ABC的頂點(diǎn)C(0,2)，所以要使直線y＝kx＋2將可行域分成面積相等的兩部分，則直線y＝kx＋2必過線段AB的中點(diǎn)D.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x＋y＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，又B(0,5)，所以AB的中點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(11,4)))，將D的坐標(biāo)代入直線y＝kx＋2，得eq\f(11,4)＝eq\f(3,4)k＋2，解得k＝1.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(2022·全國乙卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))則z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12答案C解析方法一由題意作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y為y＝2x－z，上下平移直線y＝2x－z，可得當(dāng)直線過點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.故選C.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x＋2y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))此時(shí)z＝2×0－2＝－2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))此時(shí)z＝2×2－0＝4；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))此時(shí)z＝2×4－0＝8.綜上所述，z＝2x－y的最大值為8.命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0，))則z＝eq\f(y＋3,x)的取值范圍是()A．[－3,1)B．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C．[－3,3]D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)答案B解析作出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋y＋1≥0，,x－y－2≤0))表示的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示．其中點(diǎn)A(－1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))，目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋3,x)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，－3)確定的直線l的斜率k，過點(diǎn)P的直線l0平行于直線x－y－2＝0，其斜率為1，過點(diǎn)P的直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，其斜率為－3，直線l從直線l0(不含直線l0)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線l1(含直線l1)的位置，則k≤－3或k>1，所以z＝eq\f(y＋3,x)的取值范圍是(－∞，－3]∪(1，＋∞)．(2)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))則(x－1)2＋y2的最小值為()A．1B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D．2答案B解析結(jié)合題意作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，而(x－1)2＋y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與(1,0)的距離的平方，又(1,0)到直線2x－y＝0的距離為eq\f(2,\r(5))，故(x－1)2＋y2的最小值為eq\f(4,5).命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例4若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值為8，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m))表示的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，O(0,0)，A(m，m)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)，\f(4m,3)))，由圖中直線斜率關(guān)系知，當(dāng)直線y＝－3x＋z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過點(diǎn)O，B，A.故經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.思維升華常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021·全國乙卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥4，,x－y≤2，,y≤3，))則z＝3x＋y的最小值為()A．18B．10C．6D．4答案C解析方法一(數(shù)形結(jié)合法)作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，作出直線y＝－3x，并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝－3x＋z在y軸上的截距最小，即z最?。夥匠探Meq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)．從而z＝3x＋y的最小值為3×1＋3＝6.方法二(代點(diǎn)比較法)畫圖易知，題設(shè)不等式組對應(yīng)的可行域是封閉的三角形區(qū)域，所以只需要比較三角形區(qū)域三個(gè)頂點(diǎn)處的z的大小即可．易知直線x＋y＝4與y＝3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，直線x＋y＝4與x－y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)，直線x－y＝2與y＝3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)，將這三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z＝3x＋y可得z的值分別為6,10,18，所以比較可知zmin＝6.方法三(巧用不等式的性質(zhì))因?yàn)閤＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①因?yàn)閥≤3，所以－2y≥－6.②于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3時(shí)不等式取等號(hào)，易知此時(shí)不等式x－y≤2成立．(2)(2022·西寧模擬)如果點(diǎn)P(x，y)在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，則x2＋y2＋2y的最小值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(9,5)C．1D．2答案A解析如圖，作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))表示的可行域，即圖中△ABC區(qū)域(包含邊界)，而x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1，設(shè)點(diǎn)Q(0，－1)，則x2＋y2＋2y表示的是點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)Q(0，－1)的距離的平方減去1，由圖可知，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,x＋y－2＝0，))解得A(1,1)，而B(－1,0)，則BQ＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AQ＝eq\r(1＋22)＝eq\r(5)，又Q到直線AB的距離d＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，且eq\f(3\r(5),5)<eq\r(2)<eq\r(5)，所以當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最小，則x2＋y2＋2y的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2－1＝eq\f(4,5).(3)(2023·呼和浩特模擬)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a的值為________．答案－1或2解析作出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，作直線l：y－ax＝0，由z＝y(tǒng)－ax，得y＝ax＋z，a是斜率，z是縱截距，直線向上平移，z增大，因此要使最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線l與AB或AC平行，所以a＝－1或a＝2.題型三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題例5(2022·銀川模擬)快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購物需求，也提供了大量的就業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員．某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如表：體積(立方分米/件)重量(千克/件)快遞員工資(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為()A．150元 B．170元C．180元 D．200元答案B解析設(shè)一次派送甲批快件x件、乙批快件y件，則x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≤350，,10x＋20y≤250，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤35，,x＋2y≤25，,x，y∈N，))小馬派送完畢獲得的工資z＝8x＋10y(元)，畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝35，,x＋2y＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝5，))易知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)M(15,5)處取得最大值，故zmax＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小馬一次送貨可獲得的工資最多為170元．思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答——將線性規(guī)劃問題的答案還原為實(shí)際問題的答案．跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售．現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天的費(fèi)用為320元，乙型車每天的費(fèi)用為504元．若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為()A．2400元 B．2560元C．2816元 D．4576元答案B解析設(shè)甲型車x輛，乙型車y輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，,0≤y≤4，,24x＋30y≥180，,x∈N，y∈N，))畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示．目標(biāo)函數(shù)z＝320x＋504y，作直線320x＋504y＝0并平移，結(jié)合實(shí)際情況分析可得當(dāng)直線過點(diǎn)(8,0)時(shí)，z取得最小值，即zmin＝8×320＋0×504＝2560(元)．課時(shí)精練1．(2023·銅川模擬)已知點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側(cè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．b>－3 B．b<－3或b>7C．－3<b<7 D．b<3或b>7答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側(cè)，所以(1－4－b)(－1＋8－b)>0，即(b＋3)(b－7)>0，解得b<－3或b>7.2．已知x2－y2＝1的兩條漸近線與直線x＝4圍成三角形區(qū)域，那么表示該區(qū)域的不等式組是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤4)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤0，,0≤x≤4))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤0，,0≤x≤4)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥0，,0≤x≤4))答案A解析由于x2－y2＝1的兩條漸近線方程為x＋y＝0和x－y＝0，故表示與直線x＝4圍成的三角形區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤4.))3．(2023·咸陽模擬)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y≥0，,7x－5y≤14))表示的可行域的面積為()A．6B．7C．12D．14答案B解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示．由圖可知，可行域的面積為eq\f(1,2)×2×7＝7.4．(2023·寶雞模擬)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x－2y＋8≤0，,x≤y，))且z＝2x＋y，則()A．z有最大值，也有最小值B．z有最大值，無最小值C．z有最小值，無最大值D．z既無最大值，也無最小值答案C解析作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，為一個(gè)開放區(qū)域．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，無最大值．5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的()答案C解析(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))即不等式表示的區(qū)域是同時(shí)在兩直線的上方部分或同時(shí)在兩直線的下方部分，只有選項(xiàng)C符合題意．6．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y≤3，,y≥x＋1))表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，直線y＝kx－1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(0,3] B．[－1,1]C．(－∞，3] D．[3，＋∞)答案D解析直線y＝kx－1過定點(diǎn)M(0，－1)，由圖可知，當(dāng)直線y＝kx－1經(jīng)過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k最小，此時(shí)kCM＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．7．(2023·成都模擬)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2，))則eq\f(y＋2,x＋1)的最大值是()A.eq\f(7,2)B．3C．2D.eq\f(3,2)答案D解析如圖所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得A(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝6，,x－y＝0，))得B(2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝6，,x＋y＝2，))得C(4，－2)，所以平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≥2))是由點(diǎn)A(1,1)，B(2,2)，C(4，－2)圍成的三角形區(qū)域，而eq\f(y＋2,x＋1)表示點(diǎn)P(－1，－2)與可行域內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率，所以eq\f(y＋2,x＋1)的最大值是kAP＝eq\f(1＋2,1＋1)＝eq\f(3,2).8．若變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2≤0，,x－y＋4≥0，,y≥a，))且2x－y的最大值為－1，則a的值為()A．0B．1C．－1D．2答案C解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝2x－y，則y＝2x－z.因?yàn)?x－y的最大值為－1，所以2x－y＝－1與陰影部分的交點(diǎn)為陰影區(qū)域的一個(gè)頂點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)直線2x－y＝－1經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝－1，,x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故a＝－1.9．已知點(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．答案(－∞，－3)解析因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，所以1＋2＋b<0，解得b<－3.10．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))則z＝x2＋y2的最大值為________．答案10解析根據(jù)約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，z＝x2＋y2是指可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(0,0)之間的距離的平方，由圖可知，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的平方最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以P(1,3)，故zmax＝12＋32＝10.11．(2022·銀川模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－y＋1≥0，,0≤x≤1，))則|x－3y|的最大值為________．答案5解析由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝0，))解得A(1，－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－y＋1＝0，))解得B(1,2)．令z＝x－3y，即y＝eq\f(x,3)－eq\f(z,3)，由圖可知，當(dāng)直線y＝eq\f(x,3)－eq\f(z,3)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值4；過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值－5.所以|x－3y|的最大值為5.12．現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺(tái)電腦機(jī)，每臺(tái)電腦機(jī)每天可給12件衣服鎖邊；有5臺(tái)普通機(jī)，每臺(tái)普通機(jī)每天可給10件衣服鎖邊．如果一天至少有100件衣服需要鎖邊，用電腦機(jī)每臺(tái)需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機(jī)每臺(tái)需要配鎖邊工1名，雜工1名，用電腦機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利________元．答案780解析設(shè)每天安排電腦機(jī)和普通機(jī)各x，y臺(tái)，則一天可獲利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤15，,12x＋10y≥100，,0<x≤7，,0<y≤5，))畫出可行域(圖略)，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(5,5)時(shí)，zmax＝780.13．(2023·西寧模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2|x|－1，,y≤x＋1))且z＝kx＋y(k為常數(shù))取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則k的值為()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥2|x|－1，,y≤x＋1))表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示，要使z＝kx