湖南長沙市青竹湖湘一外國語校2024屆中考三模數(shù)學(xué)試題含解析

湖南長沙市青竹湖湘一外國語校2024屆中考三模數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．將某不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列表示正確的是（）A． B．C． D．2．下列運算中正確的是()A．x2÷x8=x?6 B．a(chǎn)·a2=a2 C．（a2）3=a5 D．（3a）3=9a33．如圖，BC⊥AE于點C，CD∥AB，∠B＝55°，則∠1等于（）A．35° B．45° C．55° D．25°4．一個不透明的布袋里裝有5個紅球，2個白球，3個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出1個球，是黃球的概率為（）A． B． C． D．5．下列計算正確的是（）A．3a2﹣6a2=﹣3B．（﹣2a）?（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a66．不等式組的解集是()A．x＞－1 B．x＞3C．－1＜x＜3 D．x＜37．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，AB=10，BC=8，DE=4.5，則△DEF的周長是（）A．9.5 B．13.5 C．14.5 D．178．如圖，在△ABC中，點D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四個判斷中不正確的是()A．四邊形AEDF是平行四邊形B．若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是矩形D．若AD⊥BC且AB＝AC，則四邊形AEDF是菱形9．如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結(jié)論：①AQ⊥DP；②OA2=OE?OP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當(dāng)BP=1時，tan∠OAE=，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉行，冬奧會的項目有滑雪（如跳臺滑雪、高山滑雪、單板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰等）、冰球、冰壺等．如圖，有5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，正面分別印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺五種不同的圖案，背面完全相同．現(xiàn)將這5張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是滑雪項目圖案的概率是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AC經(jīng)過點O，與⊙O分別相交于點D，C，若∠ACB=30°，AB=，則陰影部分的面積是___．12．拋物線y＝x2﹣2x+m與x軸只有一個交點，則m的值為_____．13．寫出一個比大且比小的有理數(shù)：______．14．方程x+1=的解是_____．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是．16．若am=2，an=3，則am+2n=______．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）某班為確定參加學(xué)校投籃比賽的任選，在A、B兩位投籃高手間進行了6次投籃比賽，每人每次投10個球，將他們每次投中的個數(shù)繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖．（1）根據(jù)圖中所給信息填寫下表：投中個數(shù)統(tǒng)計平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)A8B77（2）如果這個班只能在A、B之間選派一名學(xué)生參賽，從投籃穩(wěn)定性考慮應(yīng)該選派誰？請你利用學(xué)過的統(tǒng)計量對問題進行分析說明．18．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．（1）證明：AF平分∠BAC；（2）證明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的長．19．（8分）（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖（1）四邊形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，則線段BD，AC的位置關(guān)系為；（拓展探究）（2）如圖（2）在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；（解決問題）（3）如圖（3）在正方形ABCD中，AB=2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)60°，得到正方形AB'C'D'，請直接寫出BD'平方的值．20．（8分）如圖，點A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點B的坐標(biāo)為（0，﹣2），把點A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的點C恰好在拋物線y=ax2上，點P是拋物線y=ax2上的一個動點（不與點O重合），把點P向下平移2個單位得到動點Q，則：（1）直接寫出AB所在直線的解析式、點C的坐標(biāo)、a的值；（2）連接OP、AQ，當(dāng)OP+AQ獲得最小值時，求這個最小值及此時點P的坐標(biāo)；（3）是否存在這樣的點P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，請說明理由；若存在，請你直接寫出此時P點的坐標(biāo)．21．（8分）計算：（π﹣1）0+|﹣1|﹣÷+（﹣1）﹣1．22．（10分）在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,且sinA=,tanB=,AB=10,求△ABC的面積.23．（12分）一艘貨輪往返于上下游兩個碼頭之間，逆流而上需要6小時，順流而下需要4小時，若船在靜水中的速度為20千米/時，則水流的速度是多少千米/時？24．鐵嶺市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y(千克)與每千克降價x(元)(0＜x＜20)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價多少元？該干果每千克降價多少元時，商貿(mào)公司獲利最大？最大利潤是多少元？

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、B【解析】分析：本題可根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)畫出數(shù)軸：實心圓點包括該點用“≥”，“≤”表示，空心圓點不包括該點用“<”，“>”表示，大于向右小于向左．點睛：不等式組的解集為?1?x<3在數(shù)軸表示?1和3以及兩者之間的部分：故選B.點睛：本題考查在數(shù)軸上表示不等式解集:把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>,≥向右畫;<,≤向左畫),數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時“≥”,“≤”要用實心圓點表示;“<”,“>”要用空心圓點表示.2、A【解析】

根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘進行計算即可．【詳解】解：A、x2÷x8=x-6，故該選項正確；

B、a?a2=a3，故該選項錯誤；

C、（a2）3=a6，故該選項錯誤；

D、（3a）3=27a3，故該選項錯誤；

故選A．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方和積的乘方，關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算法則．3、A【解析】

根據(jù)垂直的定義得到∠∠BCE=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BCD=55°，計算即可．【詳解】解：∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°，∵CD∥AB，∠B=55°，∴∠BCD=∠B=55°，∴∠1=90°-55°=35°，故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)和垂直的定義，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．4、A【解析】

讓黃球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即為所求的概率．【詳解】解：因為一共10個球，其中3個黃球，所以從袋中任意摸出1個球是黃球的概率是．

故選：A．【點睛】本題考查概率的基本計算，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5、B【解析】

根據(jù)整式的運算法則分別計算可得出結(jié)論.【詳解】選項A，由合并同類項法則可得3a2﹣6a2=﹣3a2，不正確；選項B，單項式乘單項式的運算可得（﹣2a）?（﹣a）=2a2，正確；選項C，根據(jù)整式的除法可得10a10÷2a2=5a8，不正確；選項D，根據(jù)冪的乘方可得﹣（a3）2=﹣a6，不正確．故答案選B．考點：合并同類項；冪的乘方與積的乘方；單項式乘單項式．6、B【解析】

根據(jù)解不等式組的方法可以求得原不等式組的解集．【詳解】，解不等式①，得x＞-1，解不等式②，得x＞1，由①②可得，x＞1，故原不等式組的解集是x＞1．故選B．【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法．7、B【解析】

由三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【詳解】∵在△ABC中，CD⊥AB于點D，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴DE=AC=4.1，DF=BC=4，EF=AB=1，∴△DEF的周長=（AB+BC+AC）=×（10+8+9）=13.1．故選B．【點睛】考查了三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8、C【解析】A選項，∵在△ABC中，點D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四邊形AEDF是平行四邊形；即A正確；B選項，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∠BAC=90°，∴四邊形AEDF是矩形；即B正確；C選項，因為添加條件“AD平分∠BAC”結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形只能證明四邊形AEDF是菱形，而不能證明四邊形AEDF是矩形；所以C錯誤；D選項，因為由添加的條件“AB=AC，AD⊥BC”可證明AD平分∠BAC，從而可通過證∠EAD=∠CAD=∠EDA證得AE=DE，結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形即可得到四邊形AEDF是菱形，所以D正確.故選C.9、C【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正確；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2=OD?OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE?OP；故②錯誤；在△CQF與△BPE中，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵△AOP∽△DAP，∴，∴BE=，∴QE=，∵△QOE∽△PAD，∴，∴QO=，OE=，∴AO=5﹣QO=，∴tan∠OAE==，故④正確，故選C．點睛：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10、B【解析】

先找出滑雪項目圖案的張數(shù)，結(jié)合5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】∵有5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，滑雪項目圖案的有高山滑雪和單板滑雪2張，∴從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是滑雪項目圖案的概率是.故選B．【點睛】本題考查了簡單事件的概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、﹣【解析】連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∵OC=OB，∠C=30°，∴∠C=∠OBC=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，∴OB=1，∴S陰=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣=﹣．12、1【解析】

由拋物線y=x2-2x+m與x軸只有一個交點可知，對應(yīng)的一元二次方程x2-2x+m=2，根的判別式△=b2-4ac=2，由此即可得到關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值．【詳解】解：∵拋物線y=x2﹣2x+m與x軸只有一個交點，∴△=2，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案為1．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：①拋物線與x軸有兩個交點，則△＞2；②拋物線與x軸無交點，則△＜2；③拋物線與x軸有一個交點，則△=2．13、2【解析】

直接利用接近和的數(shù)據(jù)得出符合題意的答案.【詳解】解：到之間可以為：2（答案不唯一），故答案為：2（答案不唯一）．【點睛】此題考查無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵在于利用題中所給有理數(shù)的大小求符合題意的答案.14、x=1【解析】

無理方程兩邊平方轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到無理方程的解．【詳解】兩邊平方得：（x+1）1=1x+5，即x1=4，

開方得：x=1或x=-1，

經(jīng)檢驗x=-1是增根，無理方程的解為x=1．

故答案為x=115、2【解析】∵∠ACB=90°，F(xiàn)D⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°?！摺螰=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）。又AB的垂直平分線DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°?！郣t△DBE中，BE=2DE=2。16、18【解析】

運用冪的乘方和積的乘方的運算法則求解即可.【詳解】解：∵am=2，an=3，∴a3m+2n=（am）3×（an）2=23×32=1．故答案為1．【點睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）7，9，7；（2）應(yīng)該選派B；【解析】

（1）分別利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分析得出答案；（2）利用方差的意義分析得出答案．【詳解】（1）A成績的平均數(shù)為（9+10+4+3+9+7）=7；眾數(shù)為9；B成績排序后為6，7，7，7，7，8，故中位數(shù)為7；故答案為：7，9，7；（2）=[（7﹣9）2+（7﹣10）2+（7﹣4）2+（7﹣3）2+（7﹣9）2+（7﹣7）2]=7；=[（7﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣8）2+（7﹣7）2+（7﹣6）2+（7﹣7）2]=；從方差看，B的方差小，所以B的成績更穩(wěn)定，從投籃穩(wěn)定性考慮應(yīng)該選派B．【點睛】此題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．18、【小題1】見解析【小題2】見解析【小題3】【解析】證明：（1）連接OF∴FH切·O于點F∴OF⊥FH…………1分∵BC||FH∴OF⊥BC…………2分∴BF="CF"…………3分∴∠BAF=∠CAF即AF平分∠BAC…4分（2）∵∠CAF=∠CBF又∠CAF=∠BAF∴∠CBF=∠BAF…………6分∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∴∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD即∠FBD=∠FDB…………7分∴BF="DF"…………8分（3）∵∠BFE=∠AFB∠FBE=∠FAB∴ΔBEF∽ΔABF…………9分∴即BF2=EF·AF……10分∵EF=4DE=3∴BF="DF"=4+3=7AF=AD+7即4（AD+7）=49解得AD=19、（1）AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形，理由見解析；（3）16+8或16﹣8【解析】

（1）依據(jù)點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根據(jù)Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，可得AF=CF=BF，再根據(jù)等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，進而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四邊形AMFN是矩形；（3）分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60°，②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60°，分別依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，∴AC垂直平分BD，故答案為AC垂直平分BD；（2）四邊形FMAN是矩形．理由：如圖2，連接AF，∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四邊形AMFN是矩形；（3）BD′的平方為16+8或16﹣8．分兩種情況：①以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖所示：過D'作D'E⊥AB，交BA的延長線于E，由旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴D'E=AD'=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖所示：過B作BF⊥AD'于F，旋轉(zhuǎn)可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴BF=AB=，AF=，∴D'F=2﹣，∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8綜上所述，BD′平方的長度為16+8或16﹣8．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理進行計算求解．解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形．20、（1）a=；（2）OP+AQ的最小值為2，此時點P的坐標(biāo)為（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)確定出C的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出a的值即可；（2）連接BQ，可得PQ與OB平行，而PQ=OB，得到四邊形PQBO為平行四邊形，當(dāng)Q在線段AB上時，求出OP+AQ的最小值，并求出此時P的坐標(biāo)即可；（3）存在這樣的點P，使得∠QPO=∠OBC，如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H，設(shè)此時點P的坐標(biāo)為（m，m2），根據(jù)正切函數(shù)定義確定出m的值，即可確定出P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，根據(jù)題意得：點C的坐標(biāo)為（2，2），把C（2，2）代入二次函數(shù)解析式得：a=；（2）連接BQ，則易得PQ∥OB，且PQ=OB，∴四邊形PQBO是平行四邊形，∴OP=BQ，∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=2，（等號成立的條件是點Q在線段AB上），∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，∴可設(shè)此時點Q的坐標(biāo)為（t，﹣t﹣2），于是，此時點P的坐標(biāo)為（t，﹣t），∵點P在拋物線y=x2上，∴﹣t=t2，解得：t=0或t=﹣1，∴當(dāng)t=0，點P與點O重合，不合題意，應(yīng)舍去，∴OP+AQ的最小值為2，此時點P的坐標(biāo)為（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H，設(shè)此時點P的坐標(biāo)為（m，m2），則tan∠HPO=，又，易得tan∠OBC=，當(dāng)tan∠HPO=tan∠OBC時，可使得∠QPO=∠OBC，于是，得，解得：m=±4，所以P（﹣4，8）或（4，8）．【點睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21、2【解析】

先根據(jù)0次冪的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負整數(shù)指數(shù)冪的意義化簡，然后進一步計算即可.【詳解】解：原式=2+2﹣+2=2﹣2+2=2．【點睛】本題考查了0次冪的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負整數(shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵.22、