連續(xù)體力學(xué)課件

連續(xù)體力學(xué)§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.1彈性體的拉伸和壓縮5.1.2彈性體的剪切形變5.1.3歪曲和扭轉(zhuǎn)§5.2流體力學(xué)5.2.1理想流體5.2.2靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)5.2.2流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念5.2.3伯努利方程及應(yīng)用5.2.4粘滯流體的流動(dòng)§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變彈性體——若物體所受外力撤消后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化能夠消失，則這種形變叫彈性形變，這種物體叫“彈性體”。彈性體是—種理想模型。彈性體形變分類：

拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。最基本的形變：拉伸壓縮、剪切形變，彎曲和扭轉(zhuǎn)可看作是由前兩種形變組成的．§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.1彈性體的拉伸和壓縮1、外力、內(nèi)力與應(yīng)力假想截面外法線方向n

。正應(yīng)力(假想截面S上的拉伸或壓縮應(yīng)力)：

σ=Fn/SS:橫截面積，F(xiàn)n:內(nèi)力在n上的投影，拉伸應(yīng)力：與外法線同向,σ>0；壓縮應(yīng)力：與外法線反向,σ<0。國(guó)際制中應(yīng)力的單位為叫N/m2，稱為“帕斯卡”，可簡(jiǎn)稱“帕”．國(guó)際符號(hào)為“Pa”．外力外力外力拉伸應(yīng)力拉伸應(yīng)力外力外力外力壓縮應(yīng)力壓縮應(yīng)力外力外力外法線n

假想截面§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.1彈性體的拉伸和壓縮2、直桿的線應(yīng)變絕對(duì)伸長(zhǎng)△l>0;絕對(duì)壓縮△l<0相對(duì)伸長(zhǎng)(或壓縮)，又叫線應(yīng)變：ε=△l/lo拉伸形變:ε>0;壓縮形變:ε<0橫向相對(duì)形變或應(yīng)變?yōu)椋害艡M=△b

/bo實(shí)驗(yàn)證明，│ε橫│比│ε│小3—4倍.bo

lo§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.1彈性體的拉伸和壓縮3、胡克定律

對(duì)于有拉伸壓縮形變的彈性體，當(dāng)應(yīng)變較小時(shí)，應(yīng)變與應(yīng)力成正比：σ＝Y(jié)ε

因σ=Fn/S，ε=△l/lo，故胡克定律可表示為：

Fn/S=Y△l/lo

式中Y稱為楊氏模量。一般說來，拉伸和壓縮的楊氏模量相差不多，可認(rèn)為兩者相同。若應(yīng)力超過某限度，撤消外力后，應(yīng)力回到零，但有剩余應(yīng)變，稱塑性應(yīng)變?！?.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.1彈性體的拉伸和壓縮4、拉伸和壓縮的形變勢(shì)能

反抗形變的彈性力是保守力，形變彈性體具有彈性勢(shì)能．

彈性勢(shì)能等于自勢(shì)能零點(diǎn)開始外力做功的正值，即．（略去形變過程中橫截面積S的變化）彈性勢(shì)能密度：§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.2彈性體的剪切形變1、剪切形變·剪切應(yīng)力與應(yīng)變剪切形變：當(dāng)物體受到力偶作用使物體兩個(gè)平行截面間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng)．設(shè)力F在該面上均勻分布，則剪應(yīng)力為τ=F/S1、剪切形變·剪切應(yīng)力與應(yīng)變力偶：F=-F’，

F’’=-F’’’剪切應(yīng)力：ττ’5.1.2彈性體的剪切形變力偶矩的平衡條件：(τac)b=(τ’bc)a→τ=τ’FF’’F’’’F’abc1、剪切形變·剪切應(yīng)力與應(yīng)變剪切應(yīng)力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的剪切應(yīng)力是相等的．5.1.2彈性體的剪切形變剪切應(yīng)變：平行截面間相對(duì)滑動(dòng)位移與截面垂直距離之比．tgψ=bb’/ab若變形很小，故剪切應(yīng)變可用切變角表示:ψ=bb’/abFF’’F’’’F’bb’adc’cψ§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.2彈性體的剪切形變2、剪切形變的胡克定律

若形變?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)，剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變成正比，即：τ＝Nψ，式中N為為剪切模量。Y、N和泊松系數(shù)μ之間的關(guān)系：

N=Y/2(1+μ)單位體積剪切形變的彈性勢(shì)能:§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.3彎曲和扭轉(zhuǎn)1、梁的彎曲：是由程度不同的拉伸壓縮形變組成的．

彈性體變形的分布是連續(xù)的，因而處于中間的CC’層必將既不伸長(zhǎng)也不壓縮，叫作中性層?！?.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.3彎曲和扭轉(zhuǎn)1、梁的彎曲用中性層的半徑R或曲率K可以描述純彎曲形變，可以證明對(duì)矩形截面梁在力偶作用下的彎曲，其關(guān)系式為：

K=1/R=12τ/Ybh3τ為加于梁的力偶矩，Y為材料的楊氏模量，b為梁的寬度，h為梁的高度。此式可知，梁的寬度增加一倍，中性層曲率也減小一倍，但若梁的高度增加一倍，則中性層曲率將減少八倍，可見，增加梁的高度將大大有利于提高梁的抗彎能力．§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.3彎曲和扭轉(zhuǎn)2、桿的扭轉(zhuǎn)圓柱體的扭轉(zhuǎn)角：圓柱體兩端面相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度φ．扭轉(zhuǎn)形變實(shí)質(zhì)：由剪切形變組成，ψ角正是相應(yīng)體元的剪切應(yīng)變。§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.3彎曲和扭轉(zhuǎn)2、桿的扭轉(zhuǎn)在微小形變的條件下，狹長(zhǎng)體元的剪切應(yīng)變等于

ψ=rφ/l,

r表示體元所在半徑，l表示柱長(zhǎng)．可見，在同一同心圓薄層內(nèi)剪切應(yīng)變相同，不同層內(nèi)剪切應(yīng)變不同，中心軸線處的狹長(zhǎng)體元無剪切應(yīng)變，圓柱表面上體元的剪切應(yīng)變最大．因此抵抗形變的任務(wù)主要是由外層材料來承擔(dān)，靠近中心軸線的材料幾乎不起什么作用．所以對(duì)承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件，可采用空心柱體以節(jié)約材料和減輕重量．§5.1彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變5.1.3彎曲和扭轉(zhuǎn)2、桿的扭轉(zhuǎn)可證明，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的力偶矩τ和實(shí)心圓柱扭轉(zhuǎn)角φ有如下關(guān)系：τ=(πNR4/2l)φ=cφR和l分別表示圓柱的半徑與長(zhǎng)度，N為剪切模量，

c稱為圓柱體的扭轉(zhuǎn)系數(shù)。當(dāng)τ一定時(shí)，R越大，l越小，則φ越小，即短而粗的圓柱體具有較強(qiáng)的抵抗扭轉(zhuǎn)形變的能力。反之，細(xì)而長(zhǎng)的圓柱體抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力較弱?！?.2流體力學(xué)5.2.1理想流體

理想流體是不可壓縮又無粘性的流體．5.2.2靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)1、靜止流體內(nèi)一點(diǎn)的壓強(qiáng)

流體內(nèi)部某點(diǎn)處的壓強(qiáng)：p=dF/dSdF和dS分別表示通過該面元兩側(cè)流體相互壓力的大小和假想面元的面積。結(jié)論：過靜止流體內(nèi)一點(diǎn)各不同方位無窮小面元上的壓強(qiáng)大小都相等。5.2.2靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)平衡方程：px△y△l–pn△n△lcosα=0py△x△l–pn△n△lsinα-ρg△x△y△l/2=0

因△nsinα=△x,△ncos

α=△y,

故px

=pn,py

=pn+ρg△y/2

令△x,△y,△l,△n→0，得px

=pn

=py

。因面元△m的方位是任意選定的,故過靜止流體內(nèi)一點(diǎn)各不同方位無窮小面元上的壓強(qiáng)大小都相等。5.2.2靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)2、靜止流體中壓強(qiáng)的分布

等高的地方壓強(qiáng)相等柱體水平方向的平衡條件：

pA△S–pB

△S

=0→pA

=pB高度相差h的兩點(diǎn)間壓強(qiáng)差為ρgh柱體垂直方向的平衡條件：pB△S–pC

△S

=ρgh△S

→pA-pB

=ρgh例題1:水壩橫截面如圖所示，壩長(zhǎng)1088m，水深5m，水的密度為1.0×103kg/m2．求水作用于壩身的水平推力．不計(jì)大氣壓。解:將壩身迎水坡沿水平方向(垂直于紙面)分成許多狹長(zhǎng)面元，其中任意面元的長(zhǎng)度即壩的長(zhǎng)度L，寬度可用dl表示，長(zhǎng)條形面積為L(zhǎng)dl

，若不計(jì)大氣壓，則水作用于此面元的力為:dF＝ρgh·Ldl

由圖可知，傾斜面元對(duì)應(yīng)的高度差:dh=dlsinα

dF與斜面垂直，它沿水平方向的分力:

dF水平

=sinα·dF=sinα·ρgh·Ldh/sinα=ρghLdh例題1:水壩橫截面如圖所示，壩長(zhǎng)1088m，水深5m，水的密度為1.0×103kg/m3．求水作用于壩身的水平推力．不計(jì)大氣壓。解:dF水平

=ρghLdh

水作用于壩身的水平推力為:F水平

=∫0HρghLdh=ρgLH2/2

將H＝5m，L＝1088m，ρ＝1×103kg/m3代入上式，得F水平

=13.3×107

N

5.2.2靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)2、靜止流體中壓強(qiáng)的分布推論：帕斯卡原理

作用在密閉容器中流體上的壓強(qiáng)等值地傳到流體各處和器壁上去。例題2:阿基米德原理為：物體在流體中所受浮力等于該物體排開流體的重量．證明之．[解]物體表面面元dS受到的力等于ρghdS，所有作用于面元上的力沿鉛直方向分力之和即浮力，故浮力等于

F=∫SρghcosαdS

，hcosαdS

等于dS上方以cosαdS為底的柱體的體積dV,因此上式積分變?yōu)?/p>

F=∫SρgdV=ρgV=物體排開流體的重量W

此即阿基米德原理．§5.2流體力學(xué)5.2.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念1、流跡·流線和流管研究流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種：拉格朗日法：將流體分成許多無窮小流體微團(tuán)，并追蹤流體微團(tuán)求出它們各自的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。一定流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的軌跡叫該微團(tuán)的流跡。歐拉法：把注意力移到各空間點(diǎn)，觀察各流體微團(tuán)經(jīng)過這些空間點(diǎn)的流速，v=v(r,t)

歐拉法在流體力學(xué)得到更廣泛應(yīng)用。§5.2流體力學(xué)5.2.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念1、流跡·流線和流管流速場(chǎng)：每一點(diǎn)均有一定的流速矢量與之相對(duì)應(yīng)的空間．流線：在流速場(chǎng)中畫許多曲線使得曲線上每一點(diǎn)的切線方向和位于該點(diǎn)處流體微團(tuán)的速度方向一致。一般說來，流線走向和分布隨時(shí)間而變化。值得注意的是，流線不會(huì)相交。5.2.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念1、流跡·流線和流管幾種典型情況的流線流管：通過流體內(nèi)部封閉曲線上各點(diǎn)的流線所圍成的細(xì)管。

由于流線不會(huì)相交，因此流管內(nèi)外的流體都不會(huì)具有穿過流管壁面的速度，換句話說，流管內(nèi)的流體不能穿越管外，管外的流體也不能穿越管內(nèi)．5.2.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念2、定常流動(dòng)：

任意空間點(diǎn)的流體流速不隨時(shí)間而改變。

v=v(r)

定常流動(dòng)時(shí)的流線和流管均保持固定的形狀和位置，這時(shí)，流管像是固定的“管道”，而流體在這些由流線所圍成的管道中運(yùn)動(dòng)。

定常流動(dòng)時(shí)，流體既在固定的流管中運(yùn)動(dòng)，而流管無限變細(xì)即成為流線，這就意味著流體微團(tuán)是沿流線運(yùn)動(dòng)的，即定常流動(dòng)時(shí)的流線與流跡相重合。5.2.3流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念3、不可壓縮流體的連續(xù)性方程流量：在dt時(shí)間內(nèi)，通過流管某橫截面△S的流體的體積為dV，dV和dt之比稱為該橫截面上的流量Q．

Q=dV/dt=dl△S/dt=v△S不可壓縮流體的連續(xù)性方程對(duì)于不可壓縮流體，通過流管各橫截面的流量都相等，即v△S=恒量5.2.4伯努利方程及應(yīng)用

因?yàn)閂’體內(nèi)穩(wěn)定流動(dòng)，能量不變。所以，僅考慮ΔV1,ΔV2內(nèi)能量變化。p2p1△l1△l2s1s2v1v2△V1=s1△l1△V2=s2△l2p2p1△l1△l2s1s2v1v2△V1=s1△l1△V2=s2△l2例:文特利流量計(jì)的原理：文特利管常用于測(cè)量液體在管中的流量或流速。在變截面管的下方，裝有U形管，內(nèi)裝水銀．測(cè)量水平管道內(nèi)的流速時(shí)，可將流量計(jì)串聯(lián)于管道中，根據(jù)水銀表面的高度差，即可求出流量或流速．

已知管道橫截面為s1和s2，水銀與液體的密度各為ρ汞與ρ，水銀面高度差為h，求液體流量．設(shè)管中為理想流體作定常流動(dòng)．[例]皮托管原理：皮托管常用來測(cè)量氣體的流速。開口B與氣體流動(dòng)的方向平行，開口A則垂直于氣體流動(dòng)的方向．兩開口分別通向U形管壓強(qiáng)計(jì)的兩端，根據(jù)液面的高度差便可求出氣體的流速。

已知?dú)怏w密度為ρ，液體密度為ρ液，管內(nèi)液面高度差為h，求氣體流速。氣流沿水平方向，皮托管亦水平放置．空氣視作理想流體，并相對(duì)于飛機(jī)作定常流功?！?.2流體力學(xué)5.2.5粘滯流體的流動(dòng)2、雷諾數(shù):

Re=