(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．2．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線與的一條漸近線相交于點(diǎn)，若以的右焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過?兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．3．已知曲線，以下命題不正確的是（）A．若，則曲線是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則曲線是圓，其半徑為C．若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為04．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)相離的定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心軌跡可能是①兩條雙曲線；②一條雙曲線和一條直線；③一條雙曲線和一個(gè)橢圓．以上命題正確的是--A．①③ B．②③ C．①② D．①②③5．如圖，點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，，，射線交曲線于點(diǎn)，垂直于直線，垂足為點(diǎn).則下列判斷：①為定值；②為定值5.其中正確的說法是A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①都錯(cuò)誤，②正確6．(2023·上海黃浦·三模）已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，且，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是（）A． B． C． D．7．已知圓的圓心為C，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)M與點(diǎn)B之間，過點(diǎn)M作直線AC的平行線交直線BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分8．已知定圓：，點(diǎn)是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)9．已知橢圓，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線10．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）設(shè)是雙曲線的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題11．(2023·上?！じ叨谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)又滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．12．(2023·上海市新場(chǎng)中學(xué)高二期中）已知兩點(diǎn)，若，那么點(diǎn)的軌跡方程是______.13．(2023·上海長(zhǎng)寧·一模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長(zhǎng)為____________14．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）若將方程化簡(jiǎn)為的形式，則___________.15．(2023·上海中學(xué)高二期末）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則________.16．(2023·上海青浦·一模）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是______.(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則_______．(2023·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線r：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在r的右支上，向量是直線的一個(gè)方向向量，若，則r的焦距為______.(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．(2023·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m=_____________(2023·上海寶山·高二期末）設(shè)、為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為______22．(2023·上海·復(fù)旦附中青浦分校高二月考）已知點(diǎn)，，.設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則_____.三、解答題23．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.24．(2023·上海青浦·高二期末）如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)A，B，它們距離城市中心O的距離均為km，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M-N-P如圖所示，道路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求道路M-N-P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M-N_P上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)）？25．(2023·上海奉賢·一模）第一象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別記為，已知為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求證：；(2)若的面積為2，求點(diǎn)的坐標(biāo).26．已知橢圓.雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦距等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值；（3）設(shè)直線（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.27．(2023·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高三月考）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求面積的最大值.28．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知△OFQ的面積為2，＝m（1）設(shè)≤m≤4，求∠OFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），||＝c，m＝（﹣1）c2，當(dāng)||取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程.專題05雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程高頻考點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【詳解詳析】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x軸的距離為.2．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線與的一條漸近線相交于點(diǎn)，若以的右焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過?兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B，故，不妨設(shè)漸近線方程為，則，根據(jù)，計(jì)算得到答案.【詳解詳析】連接，，故，不妨設(shè)漸近線方程為，則.故，解得，故雙曲線方程為故選：B3．已知曲線，以下命題不正確的是（）A．若，則曲線是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則曲線是圓，其半徑為C．若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為0【標(biāo)準(zhǔn)答案】B由解析幾何的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解詳析】若，則曲線是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確若，則曲線是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤若，則曲線是雙曲線，其漸近線方程為，故C正確若，，則曲線是兩條直線，其傾斜角均為0，故D正確故選：B4．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)相離的定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心軌跡可能是①兩條雙曲線；②一條雙曲線和一條直線；③一條雙曲線和一個(gè)橢圓．以上命題正確的是--A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】試題分析：設(shè)圓與圓相離，半徑分別為，不妨設(shè)，則若圓與兩圓都外切，則，而兩圓都內(nèi)切，則有，若圓與圓一個(gè)內(nèi)切，一個(gè)外切，則有，故當(dāng)時(shí)，軌跡是兩條雙曲線，當(dāng)時(shí)，軌跡是一條雙曲線和一條直線.選C.考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系，雙曲線的定義.5．如圖，點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，，，射線交曲線于點(diǎn)，垂直于直線，垂足為點(diǎn).則下列判斷：①為定值；②為定值5.其中正確的說法是A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①都錯(cuò)誤，②正確【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】曲線的方程整理可得是雙曲線的一部分，可以判定正好是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，然后利用雙曲線的定義可以得到結(jié)論①，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為到拋物線準(zhǔn)線的距離，可以判定②正確.【詳解詳析】曲線兩邊平方，得，為雙曲線的的部分，，恰為該雙曲線的兩焦點(diǎn)，由雙曲線定義，知，又，∴，①正確；曲線即拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義，知，②正確；故選：A.【名師指路】本題考查雙曲線與拋物線的定義，方程，屬中檔題，關(guān)鍵是利用雙曲線和拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.6．(2023·上海黃浦·三模）已知、分別是雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)，且，若是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則面積的最大值是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B設(shè)，，，由雙曲線定義得，根據(jù)得，，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)，，，由題意得，，由雙曲線定義得，∴,所以，所以，所以，所以，由余弦定理得，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，故選：B.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于的函數(shù)是解題關(guān)鍵.7．已知圓的圓心為C，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)M與點(diǎn)B之間，過點(diǎn)M作直線AC的平行線交直線BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)題意找出幾何關(guān)系，得到，所以，即可得到，可求點(diǎn)的軌跡.【詳解詳析】由已知條件可知,所以三角形是等腰三角形，,因?yàn)樗詣t三角形是等腰三角形，所以所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的左支．故選：C【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)形結(jié)合解集動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，確定.8．已知定圓：，點(diǎn)是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】C首先分四種情況，點(diǎn)在圓內(nèi)，圓上，圓外，以及點(diǎn)與點(diǎn)重合，四種情況討論點(diǎn)的軌跡.【詳解詳析】當(dāng)點(diǎn)在在圓內(nèi)，∵，，則點(diǎn)的軌跡是以?為焦點(diǎn)的橢圓，當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，由于，線段的中垂線交直線于，點(diǎn)的軌跡為一個(gè)點(diǎn)；點(diǎn)在圓外時(shí)，，∵，則點(diǎn)的軌跡是以?為焦點(diǎn)的雙曲線；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，為半徑的中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，其中正確的命題序號(hào)為①②④⑥.共4個(gè).故選：C.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的關(guān)鍵是情況分類需全面，否則容易少選.9．已知橢圓，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（）的一部分A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【標(biāo)準(zhǔn)答案】C依題意畫出圖形，設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，分別將點(diǎn)A、B、C、D、P的坐標(biāo)表示出來，由建立起關(guān)于p、q的方程，最后化簡(jiǎn)即可得出軌跡方程.【詳解詳析】設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，所以點(diǎn)，，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線.故選：C.【名師指路】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：1.直接法，2.定義法，3.相關(guān)點(diǎn)法.10．(2023·上海市建平中學(xué)高三月考）設(shè)是雙曲線的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè),所求式表示,利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用距離三角不等式即可求得最小值.【詳解詳析】，設(shè),上式表示,由于雙曲線的左焦點(diǎn)為,雙曲線的實(shí)軸,,,,當(dāng)在的延長(zhǎng)線與雙曲線右支的交點(diǎn)處時(shí)取到等號(hào)，所以的最小值為.故選：B二、填空題11．(2023·上海·高二期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)又滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可知點(diǎn)為橢圓與雙曲線右支的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解詳析】由，，點(diǎn)滿足，由橢圓的定義可得點(diǎn)在橢圓上，又點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可得點(diǎn)在上，聯(lián)立橢圓方程與雙曲線方程可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：12．(2023·上海市新場(chǎng)中學(xué)高二期中）已知兩點(diǎn)，若，那么點(diǎn)的軌跡方程是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡為雙曲線.【詳解詳析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)樗渣c(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸的雙曲線且所以所以點(diǎn)的軌跡方程為：故答案為：13．(2023·上海長(zhǎng)寧·一模）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長(zhǎng)為____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解詳析】解：如圖，設(shè)的邊長(zhǎng)為，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，即，解得，.所以的邊長(zhǎng)為.故答案：.14．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）若將方程化簡(jiǎn)為的形式，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】根據(jù)雙曲線的定義即可得到答案.【詳解詳析】方程表示點(diǎn)到，兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為6，∴軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，，，∴故方程為，∴.故答案為：2.15．(2023·上海中學(xué)高二期末）已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】4【詳解詳析】試題分析：因?yàn)?，所以考點(diǎn)：雙曲線定義16．(2023·上海青浦·一模）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)差法可求得的值，再結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)可求得和的值，由此可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解詳析】設(shè)點(diǎn)、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則，，，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【名師指路】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，涉及點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.17．(2023·上海徐匯·高二期末）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則_______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】7【思路指引】利用雙曲線的漸近線方程求出，再利用雙曲線的定義，即可求解.【詳解詳析】由題意，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，可得，解得，則，又由分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由，可得點(diǎn)在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，可得.故答案為：.【名師指路】本題主要考查了雙曲線的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，合理利用雙曲線的定義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.18．(2023·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線r：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在r的右支上，向量是直線的一個(gè)方向向量，若，則r的焦距為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題意可得直線的斜率為，且，設(shè)，由雙曲線的定義可得，在三角形中，分別運(yùn)用正弦定理、余弦定理，解方程可得，進(jìn)而得到焦距．【詳解詳析】解：向量是直線的一個(gè)方向向量，可得直線的斜率為，且，設(shè)，由雙曲線的定義可得，在三角形中，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即為，解得，，則焦距．故答案為：．【名師指路】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】作出圖形，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.【詳解詳析】對(duì)于雙曲線，則，，，如下圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.20．(2023·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m=_____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)焦點(diǎn)相同，則焦距相等，建立方程求解.【詳解詳析】由可得，由可得所以焦點(diǎn)在軸上，且，解得，故答案為：21．(2023·上海寶山·高二期末）設(shè)、為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積為______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】題意可得，，，，由余弦定理可得，由，求得的面積即為所求．【詳解詳析】由題意可得雙曲線，，，，得，，，，又，，由余弦定理可得：，的面積，故答案為：．22．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知點(diǎn)，，.設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則_____.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)雙曲線的定義求出點(diǎn)的軌跡方程與聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解詳析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為的雙曲線的右支上，由，可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為：，而點(diǎn)為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，由解得：，即，所以，故答案為：.三、解答題23．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根據(jù)雙曲線的定義可知軌跡為雙曲線的右支，從而可得軌跡方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可求得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)直線方程，代入可整理得到一元二次方程；根據(jù)有兩個(gè)正實(shí)根可構(gòu)造出不等式組，求得斜率；將利用坐標(biāo)運(yùn)算表示為符合韋達(dá)定理的形式，代入整理后，結(jié)合可求得；綜合兩種情況可得所求最小值.【詳解詳析】（1）由雙曲線定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，的方程為：（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為：此時(shí)，②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：代入雙曲線方程可得：可知上式有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根解得：由得：綜上所述，的最小值為【名師指路】本題考查根據(jù)雙曲線的定義求解雙曲線方程、直線與雙曲線綜合應(yīng)用中的最值問題的求解；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略雙曲線僅為右半支的情況，導(dǎo)致求解錯(cuò)誤；求解最值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶油ㄟ^韋達(dá)定理來進(jìn)行表示，利用韋達(dá)定理代入變?yōu)殛P(guān)于斜率的函數(shù)，從而結(jié)合斜率的范圍求得最值.24．(2023·上海青浦·高二期末）如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)A，B，它們距離城市中心O的距離均為km，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為4km，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路M-N-P如圖所示，道路MN段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多16km，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為6km，線路NP段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，以O(shè)為原點(diǎn)、線段AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求道路M-N-P的曲線方程；（2）現(xiàn)要在M-N_P上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)）？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）MN段∶，NP段，；（2）.【思路指引】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得線路所在的曲線是以定點(diǎn)為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，求得其標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的定義，得到線路所在的曲線為以為圓心，為半徑的圓，求得此圓的方程，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，分點(diǎn)在線路與線路上兩種情況討論，分別求得的最小值，比較大小，得出最小值，以及點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解詳析】（1）根據(jù)題意，線路段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)的距離比到景點(diǎn)的距離都多，則線路所在的曲線是以定點(diǎn)為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，其方程為，又由線路段上的任意一點(diǎn)到的距離都相等，則線路所在的曲線為以為圓心，為半徑的圓，其方程為，故道路曲線方程為段：，段：.（2）當(dāng)點(diǎn)在線路上，設(shè)，又由，則，由（1）可得，則，可得當(dāng)時(shí)，有最小值，且，當(dāng)點(diǎn)在線路上，設(shè)，又由，則，由（1）可得，則，可得當(dāng)時(shí)，有最小值，且，因?yàn)椋杂凶钚≈禐?，此時(shí)，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)到的距離最小.25．(2023·上海奉賢·一模）第一象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別記為，已知為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求證：；(2)若的面積為2，求點(diǎn)的坐標(biāo).【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析.(2).【思路指引】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線定義及a，b，c的關(guān)系即可計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論求出雙曲線的方程，求出長(zhǎng)，由此列出方程組求解即得.(1)因是雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，于是得，而，則，，令雙曲線的半焦距為c，則，因，因此，，即，化簡(jiǎn)得，又，則有，，所以.(2)因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，則，由(1)知，于是有，則，因此，雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)，則有，又是斜邊的中點(diǎn)，則，即，聯(lián)立解得，而，則有，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.26．已知橢圓.雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線的焦距等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值；（3）設(shè)直線（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（3）存在，（1）根據(jù)橢圓方程可以得到雙曲線的焦距和頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而直接寫出雙曲線方程即可；（2）設(shè)出直線方程，將三角形面積拆分為2個(gè)三角形的面積，從而利用韋達(dá)定理進(jìn)行處理；（3）根據(jù)直線與兩個(gè)曲線相交，通過夾逼出的取值范圍，再結(jié)合向量相加為零轉(zhuǎn)化出的條件，得到之間的關(guān)系，從而利用是整數(shù)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍即可.【詳解詳析】（1）對(duì)橢圓，因?yàn)椋势浣裹c(diǎn)為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.設(shè)雙曲線方程為，由題可知：，解得.故雙曲線的方程為：.（2）因?yàn)橹本€AB的斜率顯然不為零，故設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得設(shè)交點(diǎn)，則則又故令，解得故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.故的面積的最大值為.（3）聯(lián)立直線與橢圓方程可得整理得①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為故可得②同理：聯(lián)立直線與雙曲線方程可得整理得③設(shè)直線與雙曲線的交點(diǎn)為故可得④要使得即可得故可得將②④代入可得解得.綜上所述，要滿足題意，只需使得：故當(dāng)時(shí)，可以取得滿足題意；即直線方程可以為當(dāng)時(shí)，可以取滿足題意.即直線方程可以為故存在這樣的直線有9條，能夠使得.【名師指路】本題考查橢圓方程和雙曲線方程，涉及橢圓中三角形面積的最大值，以及圓錐曲線中的直線的存在性問題，屬綜合性困難題；其中解決第三問的關(guān)鍵是要把握住“整數(shù)”