銜接點02 式與方程（解析版）-2024小升初數(shù)學暑假銜接講義

銜接點02式與方程小學階段主要學習了字母表示數(shù)（能用字母表示常見數(shù)量關系、運算定律、常見幾何體的公式等）、簡單的一元一次方程及解法，培養(yǎng)的核心數(shù)學素養(yǎng)是學生的符號意識和運算能力。初中階段較小學數(shù)學在式與方程方面主要變化有：“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，初中階段重點關注代數(shù)式的運算與規(guī)律探究，字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結論具有一般性；“方程與不等式”揭示了數(shù)學中最基本的數(shù)量關系（相等關系和不等關系），是初中應用廣泛的數(shù)學工具，初中一元一次方程的解法與小學的方法有所區(qū)別。培養(yǎng)的核心數(shù)學素養(yǎng)是學生的運算能力、抽象能力、推理能力等。其實小學數(shù)學與初中數(shù)學實際上是有很多關聯(lián)的。只要從小六到初一的過度在老師的引導下，找出“數(shù)”與“式”之間的內在聯(lián)系以及區(qū)別，在知識間架起銜接的橋梁，也為后面的更多內容打下堅實的基礎，這樣才能在初中眾多的考試面前不亂陣腳，游刃有余。題型探究題型1、字母表示數(shù) 3題型2、探究與表達規(guī)律 5題型3、等量代換 8題型4、等式與方程的概念辨析 11題型5、等式的性質及其運用 14題型6、方程的解及其運用 17題型7、解方程 19培優(yōu)精練A組（能力提升） 26B組（培優(yōu)拓展） 331．用字母表示數(shù)、數(shù)量關系、計算公式和運算定律1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關系（1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克；（3）路程＝速度×時間，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。2）用字母表示計算公式及運算定理長方形周長：C＝2（a＋b）；長方形面積：S＝ab；長方體體積：V＝abh或V＝Sh。加法交換律：a＋b＝b＋a加法結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律：ab＝ba乘法結合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時，乘號可以記作簡寫為一個點或省略不寫，但要注意，省略乘號后，數(shù)字要寫在字母的前面；②兩個相同的字母相乘時，可寫成這個字母的平方，如a×a可以寫作a2。2．等式與方程1）等式與方程的意義及關系意義關系等式表示相等關系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知數(shù)的等式叫作方程2）等式的性質（1）性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。（2）性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，所得結果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的過程叫作解方程。（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質和四則運算中各部分之間的關系解方程。（4）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。題型1、字母表示數(shù)【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡明的將數(shù)量關系表示出來。2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質特征，能使數(shù)量之間的關系更加簡明，更具有普遍意義。使思維過程簡約化，易于形成概念系統(tǒng)。例1．（2024·遼寧·小升初模擬）學校買來20個足球，每個a元，又買來b個籃球，每個58元。20a＋58b表示()；當，，則()元?！敬鸢浮抠I20個足球和個籃球一共的價錢1480【分析】根據(jù)單價數(shù)量總價，確定、分別表示的意義，再根據(jù)加法的意義，得出這個代數(shù)式表示的含義；把、的值代入代數(shù)式，求出結果即可?！驹斀狻勘硎举I20個足球的價錢；表示買個籃球的價錢；表示買20個足球和個籃球一共的價錢。當，時，表示買20個足球和個籃球一共的價錢。當，，則元。例2．（2024·浙江·小升初模擬）已知每個人做某項工作的效率相同，個人做天可以完成，若增加人，則完成工作所需的天數(shù)為（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】假設每個人做某項工作的效率為1，則這項工作總量為，若增加人，現(xiàn)在總人數(shù)是人，用工作總量除以總人數(shù)，即可求出完成工作所需的天數(shù)。【詳解】設每個人做某項工作的效率為1，則這項工作總量為，若增加人，則完成工作所需的天數(shù)為。故答案為：D例3．（2022·湖南懷化·小升初真題）小剛在測試中，語文、數(shù)學和英語三科的平均分是a分，語文和英語一共得b分，數(shù)學得（

）分。A．3a－b B．a÷3－b C．a÷3－2b【答案】A【分析】根據(jù)“平均分×科數(shù)＝總分”，用3a表示出語文、數(shù)學和英語三科的總分，用b表示出語文和英語的總分，然后用語文、數(shù)學和英語三科的總分減去語文和英語的總分，即可得出數(shù)學的分數(shù)?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得，語文、數(shù)學和英語三科的總分是3a，則數(shù)學得分是（3a－b）分。故答案為：A【點睛】此題主要考查用字母表示數(shù)，根據(jù)平均數(shù)的含義進行解答。變式1．（2023·四川成都·小升初真題）夏明今年歲了，爸爸比夏明大21歲，則6年后，爸爸比夏明大（

）歲。A． B．21 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)夏明今年歲了，爸爸比夏明大21歲，分別用含有字母的式子表示出爸爸今年的歲數(shù)、夏明6年后的歲數(shù)、爸爸6年后的歲數(shù)，用減法即可計算出爸爸6年后比夏明大的歲數(shù)。【詳解】爸爸今年：（a＋21）歲；6年后，夏明（a＋6）歲；爸爸：a＋21＋6＝（a＋27）歲；爸爸比夏明大：（a＋27）－（a＋6）＝a＋27－a－6＝21（歲）故答案為：B【點睛】本題還可以根據(jù)“年齡差不變”直接得出答案。變式2．（2023·江蘇·小升初模擬）如果把一個長、寬、高分別為a厘米、b厘米和h厘米的長方體的高增加3厘米，那么這個長方體的表面積比原來增加（

）平方厘米。A．3ab B．3（a＋b） C．6（a＋b） D．6ab【答案】C【分析】由題意知：增加的表面積實際上就是長為a厘米，寬為b厘米，高為3厘米的長方體的側面積，利用側面積＝底面周長×高，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】（a＋b）×2×3＝（a＋b）×6＝6（a＋b）平方厘米表面積增加6（a＋b）平方厘米。故答案為：C。【點睛】理解增加的表面積就是長為a厘米，寬為b厘米，高為3厘米的長方體的側面積是解答本題關鍵。題型2、探究與表達規(guī)律【解題技巧】觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論。例1．（2024·六年級·山西·期中）根據(jù)下面圖形的規(guī)律，第11個圖中有（

）個。A．33 B．36 C．39【答案】B【分析】根據(jù)題意，圖形1，有6個，可以寫成：3×1＋3；圖形2，有9個，可以寫成：3×2＋3；圖形3，有12個，可以寫成：3×3＋3；…圖形n，有（3n＋3）個，由此可知，當n＝11時，即可求出的個數(shù)?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，圖形n，有（3n＋3）個。當n＝11時：3×11＋3＝33＋3＝36（個）所以第11個圖中有36個。故答案為：B例2．（2022·浙江溫州·小升初真題）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”。從上圖中可以發(fā)現(xiàn)：任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，例如4＝1＋3。把“正方形數(shù)”36寫成兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，正確的是（

）。A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20【答案】C【分析】觀察圖形和等式，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方數(shù)；三角形數(shù)是1、3、6、10、15、21、28…；相鄰兩個數(shù)的差依次增加1；從“三角形數(shù)”中找出哪兩個相鄰的數(shù)相加，和是“正方形數(shù)”36即可?！驹斀狻繄D1：正方形數(shù)是4，4＝1＋3圖2：正方形數(shù)是9，9＝3＋6圖3：正方形數(shù)是16，16＝6＋10圖4：正方形數(shù)是25，25＝10＋15圖5：正方形數(shù)是36，36＝15＋21故答案為：C【點睛】通過數(shù)與形的結合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。變式1．（2023·江蘇·小升初模擬）用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：第七個圖案中有白色地磚塊?！敬鸢浮?0【分析】第一個圖案有白色地面磚6塊，第二個有10塊，第三個有14塊……即第n個圖案中白色地磚數(shù)有（2＋4n）塊，利用這個規(guī)律即可求解。【詳解】因為第一個圖案有白色地面磚6塊，第二個有10塊，第三個有14塊……據(jù)此總結出規(guī)律，第n個圖案中白色地磚數(shù)有（2＋4n）塊所以第7個圖案中有白色地面磚數(shù)為：2＋4×7＝2＋28＝30（塊）即第七個圖案中有白色地磚30塊。【點睛】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力。對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的。通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。變式2．（23-24六年級·陜西咸陽·期末）把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼成下列圖案，其中第1個圖中有4個黑色三角形，第2個圖中有7個黑色三角形，第3個圖中有10個黑色三角形，……，按此規(guī)律排列下去，則第6個圖中有()個黑色三角形，第()個圖中有100個黑色三角形。

【答案】1933【分析】看圖，第一個圖有4個黑色三角形，之后每幅圖都在上一幅圖的基礎上增加3個黑色三角形。第二個圖有4＋3＝7（個）黑色三角形，第三個圖有4＋3×2＝10（個）黑色三角形，那么可以推測第n個圖黑色三角形的個數(shù)為（4＋3×（n－1））個。將n＝6代入式子中，求出第一空。n未知，將整個式子等于100，列出方程解出n，求出第二空。【詳解】4＋3×（6－1）＝4＋3×5＝4＋15＝19（個）解：設第n個圖中有100個黑色三角形。4＋3×（n－1）＝1003n＋1＝1003n＋1－1＝100－13n＝993n÷3＝99÷3n＝33所以，第6個圖中有19個黑色三角形，第33個圖中有100個黑色三角形?！军c睛】本題考查了數(shù)與形、簡易方程的應用，能從圖形排列變化中找出規(guī)律是解題的關鍵。變式3．（23-24六年級·河南·期末）為慶祝亞運會的成功召開，學校舉行了“展少年英姿為亞運喝彩”的隊列隊形展示活動，淘氣發(fā)現(xiàn)隊列中也藏著數(shù)學秘密。隊形1234…圖示……(1)觀察點子圖，補充下面等式。2＝1×22＋4＝2×32＋4＋6＝3×42＋4＋6＋8＝()×()(2)照這樣，第8個隊形需要()人；第n個隊形需要()人；第()個隊形有56人?！敬鸢浮?1)45(2)72n（n＋1）7【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，第1個點子圖是用1×（1＋1），第2個點子圖是用2×（2＋1），第3個點子圖是用3×（3＋1），則第4個點子圖是用4×（4＋1），第8個點子圖是用8×（8＋1），第n個點子圖是用n×（n＋1）。也就是兩個連續(xù)的自然數(shù)相乘，小的那個數(shù)就是第幾個圖形，56＝7×8，則56人是在第7個隊形?！驹斀狻浚?）2＋4＋6＋8＝4×5（2）8×9＝72（人）56＝7×8則第8個隊形需要72人；第n個隊形需要n（n＋1）人；第7個隊形有56人。題型3、等量代換【解題技巧】等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎。．如果能應用等量代換思考問題，不僅有助于學生找到鋸決問題的便捷方法，而且有助于鍛煉學生的思維，提高學生解決實際問題的能力。例1．（2022·山西臨汾·六年級統(tǒng)考期末）根據(jù)如圖，＝（

）克。A．50 B．48 C．64【答案】C【分析】先由圖1可以得到一個較大圓＝24克，再由圖2可知，一個小圓為24×2÷3＝16（克），由圖3可知，最大圓為16×4＝64（克），據(jù)此解答即可。【詳解】圖1可以得到一個較大圓是24克由圖2可知，一個小圓是24×2÷3＝48÷3＝16（克）由圖3可知，最大圓是16×4＝64（克）故答案為：C【點睛】由圖1可以得到一個較大圓＝24克，再求出小圓的值，是解答此題的關鍵。例2．（2022·重慶沙坪壩·小升初真題）某款手機充電5分鐘，能夠通話2小時，或者玩游戲1.5小時，某人將一部完全沒電的手機充電4分鐘，之后打了20分鐘的電話。這部手機還能玩()分鐘的游戲?！敬鸢浮?7【分析】已知手機充電5分鐘，能夠通話2小時，也就是120分鐘，如果只充4分鐘，則只能通話120分鐘的，根據(jù)分數(shù)乘法的意義，用120×即可求出充電4分鐘后能通話的時間，減去20分鐘通話時間后，即可求出剩下通話的時間；1.5小時＝90分鐘，則能夠通話120分鐘相當于玩游戲90分鐘，則通話1分鐘相當于玩游戲分鐘，用剩下通話的時間×即可求出剩下通話的時間相當于玩游戲多少時間?！驹斀狻?小時＝120分鐘120×＝96（分鐘）96－20＝76（分鐘）1.5小時＝90分鐘76×＝57（分鐘）這部手機還能玩57分鐘的游戲?！军c睛】本題主要考查了等量代換以及分數(shù)乘法的應用，注意統(tǒng)一單位。例3．（2023·四川成都·小升初真題）已知，求的值。【答案】3【分析】479749這個數(shù)比較大，我們可以用暫時一個字母表示這個數(shù)。，根據(jù)分數(shù)和除法的關系，＝＝k，則＝3k，同理，。通過計算發(fā)現(xiàn)最后的結果和這個復雜的數(shù)字沒有關系。【詳解】根據(jù)分析＝＝＝＝＝3變式1．（2022·湖南長沙·小升初真題）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝()?！敬鸢浮?20【分析】首先利用第二個式子減去第一個式子得出口和△的關系，用其中一個表示另一個，再代入任何一個式子求出一個，進一步求出另一個解決問題。【詳解】△＋△＋△＋△＋□＝270①□＋△＋△＋△＋□＝290②②－①得：□－△＝290－270＝20□＝20＋△，③把③代入①得：△＋△＋△＋△＋△＋20＝270△＝50所以□＝20＋△＝70所以□＋△＝120【點睛】注意利用代換的方式把其中一個數(shù)用另一個數(shù)表示，兩個未知數(shù)就成了一個未知數(shù)，進一步解決問題即可。變式2．（2022·江蘇南京·小升初真題）1瓶水倒?jié)M7個大杯和6個小杯后，還余30克的水，或倒?jié)M9個大杯和4個小杯后，還余10克的水，這瓶水可以倒?jié)M()個大杯和()個小杯后，沒有剩余?！敬鸢浮?03【分析】把第二次倒的方法乘3，也就是說看成3瓶水，3瓶可以倒27個大杯和12個小杯還剩30克，減去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20個大杯和6個小杯，所以1瓶可以倒10個大杯和3個小杯?！驹斀狻康?jié)M9個大杯和4個小杯后，還余10克的水，所以當為3瓶水時，可以倒27個大杯和12個小杯還剩30克，減去第一次倒的除以2后可得：2瓶水可以倒20個大杯和6個小杯，所以1瓶水可以倒10個大杯和3個小杯?！军c睛】此題的關鍵是根據(jù)第二次倒完后剩的10克，乘3，也就是看成是3瓶，然后和第一次倒的進行整體相減，從而求解。變式3．（2024·山東·小升初模擬）若，則的值是()?！敬鸢浮?【分析】將先乘4，可轉化出，帶入24，求出結果再除以4即可?！驹斀狻?÷4＝1【點睛】本題考查了等量代換和含有字母的式子求值，關鍵是將所求的式子轉化出已知的算式。題型4、等式與方程的概念辨析【解題技巧】1）等式：表示相等關系的式子叫作等式。2）方程：含有未知數(shù)的等式。3）方程一定是等式，等式不一定是方程。注意：如何判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．例1．（2024六年級下·江蘇·專題練習）等式和方程的關系可以用如圖表示，下面（

）的關系也可以用這樣的圖來表示。A．質數(shù)和合數(shù) B．奇數(shù)和偶數(shù) C．四邊形和三角形 D．長方形和正方形【答案】D【分析】含有未知數(shù)的等式叫方程，等式包含方程；除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質數(shù)；除了1和它本身以外還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)，質數(shù)和合數(shù)是并列關系；整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)，奇數(shù)和偶數(shù)是并列關系；三角形和四邊形都是多邊形；正方形是特殊的長方形，長方形包含正方形，據(jù)此分析。【詳解】等式和方程的關系是包含與被包含的關系：A．質數(shù)和合數(shù)是并列關系，不是包含與被包含的關系；B．奇數(shù)和偶數(shù)是并列關系，不是包含與被包含的關系；C．三角形和四邊形都是多邊形，是并列關系，不是包含與被包含的關系；D．正方形是特殊的長方形，長方形包含正方形，是包含與被包含的關系。故答案為：D例2．（2024六年級下·遼寧·專題練習）下面的式子中，是方程的是（

）。A．3x＋5 B．3y－7＜8 C． D．81÷9＝9【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式叫做方程；據(jù)此解答?！驹斀狻緼．3x＋5，含有未知數(shù)，但不是等式，不是方程；B．3y－7＜8，含有未知數(shù)，但不是等式，不是方程；C．，含有未知數(shù)，是等式，是方程；D．81÷9＝9，是等式，但不含有未知數(shù)，不是方程；故答案為：C變式1．（2023春·浙江·六年級專題練習）下列各式中，不屬于方程的是（

）。A．21＝y(tǒng)＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式就是方程。據(jù)此判斷即可?！驹斀狻緼．21＝y(tǒng)＋5含有未知數(shù)且是等式，所以是方程；B．8＋x＝12含有未知數(shù)且是等式，所以是方程；C．13＋6－9＝10是等式，但不含未知數(shù)，所以不是方程。故答案為：C【點睛】本題考查方程，明確方程的定義是解題的關鍵。變式2．（2024·河南·六年級統(tǒng)考期中）小學階段學的很多數(shù)學知識之間有著密切聯(lián)系。下面不能正確表示他們之間關系的是（

）。A． B．C． D．【答案】A【分析】平行四邊形兩組對邊分別平行，梯形只有一組對邊平行，所以梯形不屬于平行四邊形；三角形按角分為銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形；方程是含有未知數(shù)的等式，所以方程是等式；一個非0的自然數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身?！驹斀狻緼．圖一表示錯誤，梯形不是平行四邊形；B．圖二表示的是三角形的按角分類，表示方法正確；C．方程是等式，圖示表示正確；D．a的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等，圖四表示正確。故答案為：A【點睛】本題考查了四邊形的分類、三角形的分類、方程的意義及因數(shù)倍數(shù)的意義。變式3．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考小升初真題）小學階段我們學習了很多知識，知識之間有著密切的聯(lián)系。下圖中：如果A表示長方形，那么B可以表示正方形；如果A表示等腰三角形，那么B表示()；如果B表示方程，那么A可以表示()?！敬鸢浮康冗吶切蔚仁健痉治觥块L方形和正方形的關系是長方形包括正方形，正方形是特殊的長方形；等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等邊三角形；方程是含有未知數(shù)的等式，等式是含有等號的式子。據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等邊三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式?！军c睛】此題主要考查長方形與正方形、等邊三角形與等腰三角形、方程與等式之間的關系，應熟練理解并掌握它們的意義與聯(lián)系。題型5、等式的性質及其運用【解題技巧】等式的性質（1）性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。（2）性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，所得結果仍然是等式。例1．（2023春·湖南長沙·六年級統(tǒng)考期末）如果，根據(jù)等式的性質填空。()

()()

()【答案】5m0.5【分析】等式的性質：（1）等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果還是等式；（2）等式兩邊同時乘以或除以同一個不為0點數(shù)，所得結果還是等式?！驹斀狻?

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0.5【點睛】關鍵是掌握等式的性質。例2．（2023春·北京·六年級統(tǒng)考學業(yè)考試）根據(jù)下圖天平平衡的狀態(tài)，求出一杯水的質量。【答案】1.5kg【分析】1杯水為單位“1”，由圖可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我們可以根據(jù)等式的基本性質，兩邊同時減去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。據(jù)此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水?！驹斀狻俊拢?－）＝÷＝×＝1.5（kg）答：這杯水的質量為1.5kg?！军c睛】此題需掌握等式的基本性質，通過數(shù)形結合的思想進行轉化。例3．（22-23六年級上·陜西西安·期末）（－）÷－（□－）＝，求□內應填的數(shù)?！敬鸢浮俊痉治觥浚ǎ拢ā酰剑选蹩醋魇俏粗獢?shù)，先計算出小括號里的－的差，－＝，再計算除以的商；÷＝，原式化為：－（□－）＝，根據(jù)減法性質，原式化為：－□＋＝，再根據(jù)等式的性質1，算式兩邊同時加上□，再減去，即可解答?！驹斀狻浚ǎ拢ā酰剑ǎ拢ā酰健粒ā酰剑酰健酰剑酰剑酰剑酰阶兪?．（2023春·江蘇南通·六年級專題練習）數(shù)學知識之間都有著有密切的聯(lián)系，下面（

）與眾不同。A．等式的性質 B．分數(shù)的基本性質 C．比的基本性質 D．商不變的規(guī)律【答案】A【分析】分數(shù)的分子可以看作比的前項，也可以看作除法算式的被除數(shù)；分數(shù)的分母可以看作比的后項，也可以看作除法算式的除數(shù)，所以分數(shù)的基本性質、比的基本性質、商不變的規(guī)律實質是一樣的。等式的性質指等式的兩邊同時除以一個不為0的數(shù)，等式仍然成立，據(jù)此解題?！驹斀狻糠謹?shù)的基本性質、比的基本性質、商不變的規(guī)律實質是一樣的，等式的性質與它們不同。故答案為：A【點睛】熟練掌握等式的性質、分數(shù)的基本性質、比的基本性質、商不變的規(guī)律，是解答此題的關鍵。變式2．（2023春·天津紅橋·六年級統(tǒng)考期末）若，則下列選項中錯誤的是（

）。A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質：1．在等式兩邊同時加或減去一個相同的數(shù)，等式仍然成立。2．在等式兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立。據(jù)此判斷即可?！驹斀狻緼．因為，根據(jù)等式的性質1，在等式兩邊同時加上3，等式仍然成立，所以，原題干說法正確；B．因為，根據(jù)等式的性質2，在等式兩邊同時乘5，所以5a＝5b，再根據(jù)等式的性質1，在等式的兩邊同時加上4，則5a＋4＝5b＋4，原題干說法錯誤；C．因為，根據(jù)等式的性質2，在等式兩邊同時乘，所以a＝b，原題干說法正確；D．因為，根據(jù)等式的性質2，在等式兩邊同時乘，所以a＝b，再根據(jù)等式的性質1，在等式的兩邊同時減去5，則a－5＝b－5，原題干說法正確。故答案為：B【點睛】本題考查等式的性質，熟記等式的性質是解題的關鍵。變式3．（22-23六年級下·河南鄭州·期末）如圖，兩條直線相交形成四個角。為了說明圖中的∠2＝∠4，曉曉的理由是：因為：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，也就得出：∠2＝∠4。這里運用了（

）。A．加法交換律 B．等式的性質 C．減法的性質【答案】B【分析】等式的性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果還是等式?！驹斀狻俊?＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°（平角等于180°），所以：∠1＋∠2＝∠1＋∠4，兩邊同時減去∠1，∠1＋∠2－∠1＝∠1＋∠4－∠1（運用了等式的性質1），得∠2＝∠4。這里運用了等式的性質。故答案為：B【點睛】關鍵是掌握并靈活運用等式的性質。題型6、方程的解及其運用【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值；2）解方程：求方程的解的過程；3）會利用方程的解，求字母的數(shù)值。例1．（22-23六年級下·山東·期末）x＝6是下面方程（

）的解。A．24÷x＝6 B．5x＝35 C．4x＋5＝29 D．4x÷8＝6【答案】C【分析】把x＝6代入到各個方程中，若方程的左邊等于方程的右邊，則x＝6是該方程的解，反之則不是?！驹斀狻緼．方程的左邊＝24÷x＝24÷6＝4≠方程的右邊則x＝6不是方程24÷x＝6的解；B．方程的左邊＝5x＝5×6＝30≠方程的右邊則x＝6不是方程5x＝35的解；C．方程的左邊＝4x＋5＝4×6＋5＝24＋5＝29＝方程的右邊則x＝6是方程4x＋5＝29的解；D．方程的左邊＝4x÷8＝4×6÷8＝24÷8＝3≠方程的右邊則x＝6不是方程4x÷8＝6的解。故答案為：C【點睛】本題考查方程的檢驗，明確檢驗的方法是解題的關鍵。例2．（2023春·江蘇·六年級小升初模擬）已知方程的解是，則k的值是（

）。A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】把代入到方程中，然后根據(jù)等式的性質解方程即可?！驹斀狻慨敃r解：故答案為：A【點睛】本題考查解方程，熟練運用等式的性質是解題的關鍵。變式1．（2022·四川樂山·五年級期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝6代入方程進行檢驗即可?！驹斀狻緼．把x＝6代入方程，左邊＝6，右邊＝0，左邊≠右邊，故選項錯誤；B．把x＝6代入方程，左邊＝9，右邊＝9，左邊＝右邊，故選項正確；C．把x＝6代入方程，左邊＝1.2，右邊＝3，左邊≠右邊，故選項錯誤；D．把x＝6代入方程，左邊＝0.6，右邊＝1.5，左邊≠右邊，故選項錯誤。故答案為：B【點睛】本題主要考查了方程解的定義，解答此題應注意采取代入法。變式2．（2022·江蘇徐州·五年級期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（

）。A．4 B．7 C．10【答案】A【分析】將方程的解帶入方程3x＋4a＝22，求出含a的式子，進而得出a的值?！驹斀狻繉＝2帶入方程3x＋4a＝22得：6＋4a＝22所以a＝（22－6）÷4＝16÷4＝4故答案為：A【點睛】本題主要考查學生依據(jù)等式的性質解方程的能力。題型7、解方程【解題技巧】1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質和四則運算中各部分之間的關系解方程。2）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。例1．（2024·江蘇·小升初模擬）解方程。

【答案】；；【分析】（1）根據(jù)等式的性質，方程兩邊同時加上3x，再同時減，最后同時除以3求解；（2）解比例，根據(jù)比例的性質先把比例式轉化成兩外項積等于兩內項積的形式：，然后再根據(jù)等式的性質，方程兩邊同時乘，再同時除以2.5求解。（3）先計算方程左邊的式子，然后再根據(jù)等式的性質，方程兩邊同時減去，再同時乘求解。【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：例2．（2024·重慶·小升初模擬）解方程。

【答案】；【分析】先應用乘法分配律把計算出來，方程兩邊再同時加減73.5，化簡后得到方程，對化簡后的方程兩邊再同時加12后除以6，可以解出未知數(shù)；把和分別看作整體，方程兩邊同時加和，化簡后含和的項分別在等號兩邊，再逆用分配律，分別提出和進行化簡后，方程兩邊同時乘6去掉分母后，運用等式的性質解方程?！驹斀狻拷猓航猓豪?．（2023·浙江·小升初模擬）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依據(jù)比例的基本性質，先寫成的形式，根據(jù)等式的性質1和2，兩邊同時×，再同時＋1即可。，等式左邊的部分，依據(jù)分數(shù)的基本性質，將小數(shù)化成整數(shù)，然后根據(jù)等式的形式1和2，兩邊同時×6，去分母，再將能合并的合并起來，解方程即可；【詳解】解：解：變式1．（2024·遼寧·小升初模擬）解方程。

【答案】；；【分析】①根據(jù)等式的性質解答即可；先在方程兩邊同時加，再在方程兩邊同時減2.4，最后在方程兩邊同時除以4即可解答；②根據(jù)比例的基本性質，內項積等于外項積，再在方程兩邊同時除以4即可解答；③在比例里，兩個內項之積等于兩個外項之積，再在方程兩邊同時除以，最后在方程兩邊同時加1即可解答?！驹斀狻拷猓航猓簒＝解：變式2．（2023·四川成都·小升初真題）解方程。（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)帶符號搬家，將變?yōu)椋嬎愠?，然后根?jù)根據(jù)等式的性質1和2，將方程左右兩邊同時加上0.2，再同時除以9即可；（2）先將方程左右兩邊分別化為分母是2的分數(shù)相加減，也就是，然后將左右兩邊分別合并，也就是，據(jù)此根據(jù)等式的性質2，左右兩邊同時乘2，可得，然后將左右兩邊分別合并，也就是，根據(jù)等式的性質1，將左右兩邊同時減去x，方程變?yōu)?，再根?jù)根據(jù)等式的性質1和2，將方程左右兩邊同時加上1，再同時除以4即可。【詳解】（1）解：（2）解：變式3．（2023·綿陽市·六年級小升初模擬）解方程或比例。

【答案】；【分析】，依據(jù)比例的基本性質，先寫成的形式，根據(jù)等式的性質1和2，兩邊同時×，再同時＋1即可。，等式左邊的部分，依據(jù)分數(shù)的基本性質，將小數(shù)化成整數(shù)，然后根據(jù)等式的形式1和2，兩邊同時×6，去分母，再將能合并的合并起來，解方程即可；【詳解】解：解：A組（能力提升）1．（23-24六年級下·四川·期中）下面說法正確的是（

）。A．方程5x＋5＝5的解是5B．5x＋5＜5是方程C．等式一定是方程D．方程一定是等式【答案】D【分析】根據(jù)方程的概念：含有未知數(shù)的等式。所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式?！驹斀狻緼．方程5x＋5＝5的解是x＝5，該選項的說法是錯誤的，不符合題意；B．5x＋5＜5，含有未知數(shù)，但不是等式，因此不是方程，該選項的說法是錯誤的，不符合題意；C．等式不一定含有未知數(shù)，只有含有未知數(shù)的等式才是方程，該選項的說法是錯誤的，不符合題意；D．方程必須具備兩個條件：①含有未知數(shù)；②等式，因此方程一定是等式，該選項的說法是正確的，符合題意。故答案為：D2．（23-24六年級·江蘇常州·期末）小學階段學了很多數(shù)學知識，它們之間有密切的聯(lián)系。下列不能正確表示它們之間關系的是（

）。A． B． C．【答案】A【分析】合數(shù)：除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；等腰三角形：兩條邊相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三條邊相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知數(shù)的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，據(jù)此即可逐項分析?！驹斀狻緼．偶數(shù)和合數(shù)不是包含關系，2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，所以選項A不能表示它們之間的關系。B．等腰三角形兩腰相等，兩個底角相等，當三條邊都相等時，就變成了正三角形，所以B能表示它們之間的關系。C．方程是等式，是含有未知數(shù)的等式，所以選項C能表示它們之間的關系。故答案為：A【點睛】解答本題需熟練掌握分類標準，明確分類方法。3．（2022春·廣東梅州·六年級統(tǒng)考期末）是下面方程（

）的解。A． B． C．【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質，分別計算3個選項里方程的解，即可選擇出正確的答案。【詳解】A．2x＋9＝15解：2x＋9－9＝15－92x＝62x÷2＝6÷2x＝3B．3x＝4.5解：3x÷3＝4.5÷3x＝1.5C．3x÷2＝18解：3x÷2×2＝18×23x＝363x÷3＝36÷3x＝12所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。故答案為：A【點睛】本題主要考查方程的解，關鍵是利用等式的性質解方程。4．（2022·河南三門峽·小升初真題）鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，換算關系是：b＝2a－10（b表示碼數(shù)，a表示厘米數(shù)）。37碼的鞋用厘米作單位是（

）厘米。A．64 B．23.5 C．28.5【答案】B【分析】根據(jù)題意，“b＝2a－10（b表示碼數(shù)，a表示厘米數(shù)）”，37碼的鞋，可把“b＝37”帶入“b＝2a－10”，利用等式的性質，據(jù)此可以求出a的值?！驹斀狻堪裝＝37帶入b＝2a－10中可得，37＝2a－10解：37＋10＝2a＋1047＝2a2a÷2＝47÷2a＝23.5所以37碼的鞋用厘米作單位是23.5厘米。故答案為：B【點睛】本題考查了含有字母式子的求值以及利用等式的性質解方程，關鍵是弄清楚字母所表示的意義，再解答。5．（2024·四川成都·小升初真題）（比較大小）（）是一個真分數(shù)，下面各分數(shù)中最大的一個是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母都乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。所以選項A、C的分數(shù)與原分數(shù)相等。假設真分數(shù)是，分別寫出選項B、D的分數(shù)，并比較大?。ǚ肿映苑帜富尚?shù)，從高位到低位比較每個數(shù)位的數(shù)字大?。瑩?jù)此解答。【詳解】根據(jù)分數(shù)的分子和分母都乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變，所以；假設真分數(shù)是，，；因為，所以，最大的分數(shù)是。故答案為：D【點睛】本題考查分數(shù)的基本性質，及比較分數(shù)的大小。6．（2022·山東濟寧·小升初真題）4a＋8錯寫成4×（a＋8），結果比原來（

）。A．多4 B．少4 C．多24【答案】C【分析】將算式4（a＋8）去括號，計算出結果，再求與4a＋8的差即可?！驹斀狻?（a＋8）－（4a＋8）＝4a＋32－4a－8＝32－8＝24則結果比原來多24。故答案為：C【點睛】本題考查了用乘法分配律計算含字母的算式，要熟記運算律并能靈活使用。7．（2022·陜西西安·小升初真題）某水果店運來蘋果x千克，運來梨的質量是蘋果的1.5倍，該水果店運來蘋果和梨一共()千克。如果該水果店運來的梨比蘋果多50千克，那么運來蘋果()千克，運來梨()千克?！敬鸢浮?.5x100150【分析】根據(jù)運來的梨的質量＝蘋果的質量×1.5，運來的梨和蘋果的總質量＝運來的梨的質量＋蘋果的質量；根據(jù)梨比蘋果多的質量＝運來的梨的質量－蘋果的質量，列方程，即可蘋果、梨的重量?！驹斀狻?.5x＋x＝2.5x（千克）該水果店運來蘋果和梨一共2.5x千克。如果運來的梨比蘋果多50千克，則：解：1.5x－x＝500.5x＝50x＝100100＋50＝150（千克）運來蘋果100千克，運來梨150千克?！军c睛】考查了用字母表示數(shù)，本題的關鍵是得到運來的梨的質量。8．（2023·四川成都·小升初真題）王恒出生于20世紀，他把他出生的月份乘2后加上5，把所得的結果乘50后加上出生年份再減去250，最后得到2088，則王恒出生在()年()月?！敬鸢浮?9881【分析】王恒出生于20世紀，出生的年份在1901年到2000年所有的整數(shù)，月份在1到12之間。根據(jù)題目的要求可以設王恒出生在x年y月，則。將式子進行化簡。得出當y＝1時，x＝1988符合條件?！驹斀狻吭O王恒出生在x年y月。當y＝1時，則王恒出生在1988年1月。9．（2023·四川成都·小升初真題）（圖形找規(guī)律）觀察下圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色的三角形有()個。【答案】121【分析】用n表示第幾個三角形時，當n＝1時，白色的三角形有1個；當n＝2時，白色的三角形有（1＋3＝4）個；當n＝3時，白色的三角形有（1＋3＋3×3＝13）個觀察發(fā)現(xiàn)：當n＝4時，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＝40）個；當n＝5時，白色的三角形有（1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝121）個；【詳解】據(jù)分析：1＋3＋3×3＋3×3×3＋3×3×3×3＝1＋3＋9＋27＋81＝121（個）所以第5個三角形中白色的三角形為121個。10．（2023·湖北·小升初模擬）求未知數(shù)x。（1）

（2）（3）

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）x＝1【分析】（1）先化簡方程，再根據(jù)等式的性質，方程兩邊同時減去7，再同時減去5x，最后同時除以2即可；（2）先按照比例的基本性質變?yōu)椋倩喎匠?，最后根?jù)等式的性質，方程兩邊同時除以，再同時減去2即可。（3）運用乘法分配律化為，然后根據(jù)等式的性質，在方程兩邊同時減去4，再在方程兩邊同時除以5即可；（4）根據(jù)等式的性質，在方程兩邊同時乘6，再在方程兩邊同時加12，再在方程兩邊同時減去x，最后在方程兩邊同時除以5即可?！驹斀狻浚?）解：（2）解：（3）解：（4）解：B組（培優(yōu)拓展）1．（23-24六年級上·江蘇徐州·期末）將圖①正方形做如下操作：分別連接對邊中點如圖②，得到5個正方形（1個大正方形加上4個中等正方形）；第2次，將圖②左上角的正方形按上述方法再分割如圖③，得到9個正方形…像這樣操作8次，可以得到（

）個正方形。A．29 B．30 C．32 D．33【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，將圖①操作1次得到個正方形，操作2次得到個正方形，每操作1次增加4個正方形，由此得到規(guī)律，操作次得到個正方形，據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治隹芍?，像這樣操作8次，可以得到個正方形，（個）即像這樣操作8次，可以得到33個正方形；故答案為：D2．（2023·四川成都·小升初真題）A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進行單循環(huán)比賽，當比賽到某一天時，統(tǒng)計出A，B，C，D，E五隊分別比賽了5，4，3，2，1場球，則還沒有與B隊比賽的球隊是（

）。A．C隊 B．D隊 C．E隊 D．F隊【答案】C【分析】可以畫圖分析，六個點代表六個隊，兩點之間的線段代表1場比賽。A分別和B、C、D、E、F比賽了5場，E隊只比賽了1場就是和A進行比賽的。B比賽了4場，那么除了和A比賽，分別和C、D比賽了2場，還有一場是和F賽的。這樣D就分別是A、B賽了2場。C比賽了3場，分別已經(jīng)和A、B賽了2場，還有1場是和F賽的?！驹斀狻扛鶕?jù)分析畫出圖。所以還沒有與B隊比賽的球隊是E隊。故答案為：C3．（2022·浙江寧波·小升初真題）按照下面的方式堆放小球，第5堆有()個小球，第n堆有()個小球?！敬鸢浮?5（1＋n）×n÷2【分析】第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個；根據(jù)每一堆的層數(shù)和個數(shù)，發(fā)現(xiàn)可以用梯形的面積公式來計算出個數(shù)，上底是1，下底與它的堆數(shù)相同，高與底相同，據(jù)此求出第5堆和第n堆小球的個數(shù)即可?！驹斀狻康谖宥研∏蚬灿校海?＋5）×5÷2＝6×5÷2＝15（個）第n堆小球共有：[（1＋n）×n÷2]個【點睛】本題主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。4．（2023·四川成都·小升初真題）小敏購買4種教學用品：計算器、圓規(guī)、三角板、量角器的件數(shù)和用錢總數(shù)如下表：品名件數(shù)計算器圓規(guī)三角板量角器總錢數(shù)第一次購買件數(shù)134578第二次購買件數(shù)157998則4種教學用品各買一件共需要()元?！敬鸢浮?8【分析】根據(jù)題意可知，計算器×1＋圓規(guī)×3＋三角板×4＋量角器×5＝78元；計算器×1＋圓規(guī)×5＋三角板×7＋量角器×9＝98元；據(jù)此可知，圓規(guī)×（5－3）＋三角板×（7－4）＋量角器×（9－5）＝圓規(guī)×2＋三角板×3＋量角器×4＝（98－78）元，再用78－（98－78）即可求出計算器×1＋圓規(guī)×1＋三角板×1＋量角器×1。【詳解】98－78＝20（元）78－20＝58（元）4種教學用品各買一件共需要58元?！军c睛】本題主要考查了等量代換，通過等式間數(shù)量上的加減找到對應要求的數(shù)量。5．（2023·四川成都·小升初真題）數(shù)軸上10個點所表