專題03隨機(jī)變量及其分布高二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（知識(shí)梳理熱考題型單元檢測(cè)）（知識(shí)梳理熱考題型單元檢測(cè)）（新高考人教A版專用）

專題03隨機(jī)變量及其分布（新高考人教A版專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【熱考題型】 5【考點(diǎn)1】條件概率 5【考點(diǎn)2】全概率公式 11【考點(diǎn)3】離散型隨機(jī)變量 17【考點(diǎn)4】離散型隨機(jī)變量的分布列 22【考點(diǎn)5】離散型隨機(jī)變量的均值 26【考點(diǎn)6】離散型隨機(jī)變量的方差 33【考點(diǎn)7】二項(xiàng)分布 39【考點(diǎn)8】超幾何分布 44【考點(diǎn)9】正態(tài)分布 49【單元檢測(cè)】 55【基礎(chǔ)卷】 55【能力卷】 69知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、條件概率(1)若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)與A包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(2)一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.(3)當(dāng)P(A)>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(B|A)＝P(B).(4)由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)，我們稱此式為概率的乘法公式.二、條件概率的性質(zhì)性質(zhì)：條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝1；(2)若B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)設(shè)eq\o(B,\s\up6(－))和B互為對(duì)立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A).三、全概率公式(1)全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai).(2)貝葉斯公式(選學(xué))：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Aieq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B）))＝eq\f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)),P（B）)＝，i＝1，2，…，n.四、離散型隨機(jī)變量(1)定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.五、離散型隨機(jī)變量的分布列(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.六、兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失敗”，定義X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，\o(A,\s\up6(－))發(fā)生.))如果P(A)＝p，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布.七、離散型隨機(jī)變量的均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.(3)離散型隨機(jī)變量的均值性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).八、離散型隨機(jī)變量的方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnD(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi能夠刻畫(huà)X相對(duì)于均值的離散程度(或波動(dòng)大小)，這稱為離散型隨機(jī)變量X的方差.并稱eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.(3)幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論①D(aX＋b)＝a2D(X).②若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p).九、n重伯努利試驗(yàn)(1)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.十、二項(xiàng)分布(1)二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).十一、超幾何分布(1)一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p＝eq\f(M,N)，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而eq\f(X,n)是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，則E(X)＝n·eq\f(M,N)＝np.十二、正態(tài)分布(1)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R.其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對(duì)任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.(2)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：①正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸.(4)若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(5)服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為X只取區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.熱考題型熱考題型【考點(diǎn)1】條件概率一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2023·廣東江門(mén)·一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（

）A． B． C． D．3．（2223高三·江西撫州·階段練習(xí)）一袋中有大小相同的個(gè)白球和個(gè)紅球，現(xiàn)從中任意取出個(gè)球，記事件“個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，事件“個(gè)球中至少有一個(gè)紅球”，事件“個(gè)球中有紅球也有白球”，下列結(jié)論不正確的是（

）A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨(dú)立事件C． D．二、多選題4．（2223高三上·江蘇南通·期末）一口袋中有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無(wú)放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個(gè)紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．5．（2023·廣東肇慶·二模）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫(xiě)了一個(gè)祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為三、填空題6．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件A，B，，，，則.四、解答題7．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過(guò)冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有的概率使得本次攻擊以及接下來(lái)的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來(lái)的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.參考答案：1．A【分析】先算出同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識(shí)求解.【詳解】同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件，則，所以.故選:.2．D【分析】記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，求出，，根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙”為事件A，記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B，事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩雙”，則，又，則，即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為．故選：D．3．D【分析】根據(jù)題意，取出的個(gè)球的可能情況為：個(gè)紅球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)白球，進(jìn)而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，取出的個(gè)球的可能情況為：個(gè)紅球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)白球.故事件包含：個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)白球，且；事件包含：個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球，且；事件包含：個(gè)紅球個(gè)白球；個(gè)紅球個(gè)白球，且.所以，，，因?yàn)?，則事件與事件不為互斥事件，A選項(xiàng)正確；，故事件與事件不是相互獨(dú)立事件，B正確；，故D錯(cuò)誤；，故C正確；故選：D.4．ACD【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的定義判斷AB，由組合知識(shí)求得判斷C，根據(jù)條件概率的定義求得判斷D．【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個(gè)，白球有2個(gè)，事件發(fā)生時(shí)，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯(cuò)；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個(gè)紅球1個(gè)白球，只有從中取出一個(gè)紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選：ACD．5．BC【分析】計(jì)算出四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，根據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式計(jì)算各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A,四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡為事件A,則,小張抽到小王寫(xiě)的賀卡為事件B,則已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為,B正確；對(duì)于C,恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的抽法有種，故恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為，C正確；對(duì)于D,每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的抽法共有種，故每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為，D錯(cuò)誤，故選：6．【分析】首先求出，則，則，最后利用對(duì)立事件的求法即可得到答案.【詳解】依題意得，所以故，所以.故答案為：.7．(1)；(2).【分析】（1）分析試驗(yàn)過(guò)程，分別求出和，利用條件概率的公式直接計(jì)算；（2）分析“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一；ii.第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一；iii.前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.分別求概率.即可求出.【詳解】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii.第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii.第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；所以..所以.（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.記事件D：進(jìn)行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：ii.記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：iii.記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：，則事件彼此互斥，記，所以.所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方是題意的理解，文字較多，要明白一輪攻擊中含多次攻擊，每次攻擊判斷技能的觸發(fā)，在第二問(wèn)中需要分多種情況進(jìn)行討論，然后用互斥事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解【考點(diǎn)2】全概率公式一、單選題1．（2023·福建莆田·二模）某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè)，則選到綁帶式口罩的概率為（

）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.772．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某人連續(xù)兩次對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023·廣東廣州·二模）有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該零件是第1臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的次品的概率為0.08B．該零件是次品的概率為0.03C．如果該零件是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98D．如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為5．（2024·廣東廣州·一模）甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2223高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問(wèn)題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車(chē)，騎共享單車(chē)的概率分別為，而他自駕，坐公交車(chē)，騎共享單車(chē)遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．四、解答題7．（2023·浙江杭州·二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過(guò)程如下圖的數(shù)軸所示．當(dāng)賭徒手中有n元（，）時(shí)，最終輸光的概率為，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)值．(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫(xiě)出公差d．(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．參考答案：1．D【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行分析求解即可.【詳解】由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩，則，且兩兩互斥，所以，又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件為“選到綁帶式口罩”，則所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為.故選：D.2．C【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式計(jì)算出，再利用條件概率公式計(jì)算出答案.【詳解】設(shè)第一次擊中目標(biāo)為事件A，第二次擊中目標(biāo)為事件B，則，，，所以，故，則故選：C3．C【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則，由貝葉斯公式得：，故選：C．4．BC【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判斷A，B；利用條件概率公式、對(duì)立事件即可判斷C，D．【詳解】記事件：車(chē)床加工的零件為次品，記事件：第臺(tái)車(chē)床加工的零件，則，，，，，，對(duì)于，任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，任取一個(gè)零件是次品的概率為，故B正確；對(duì)于，如果該零件是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為，故C正確；對(duì)于，如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．5．ABD【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，，，，所以，故A正確、B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD6．【分析】法1：設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車(chē)”，事件C表示“騎共享單車(chē)”，事件D“表示遲到”，，利用貝葉斯公式即可得到答案；法2：直接在遲到的前提下計(jì)算概率.【詳解】法1：由題意設(shè)事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車(chē)”，事件C表示“騎共享單車(chē)”，事件D“表示遲到”，則；，小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率，故答案為：．7．(1)，(2)證明見(jiàn)解析；(3)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，統(tǒng)計(jì)含義見(jiàn)解析【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時(shí)，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢(shì)，即可得統(tǒng)計(jì)含義.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當(dāng)時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場(chǎng)贏的事件,,即，所以，所以是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)，則，累加得，故，得，（3），由得,即,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此可知久賭無(wú)贏家，即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會(huì)的概率輸光．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識(shí)綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確，即可求解,【考點(diǎn)3】離散型隨機(jī)變量一、單選題1．（2223高三上·山東濟(jì)南·期末）已知等差數(shù)列的公差為，隨機(jī)變量滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2223高二下·貴州遵義·期中）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤(pán)每個(gè)檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開(kāi)，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2223高二下·山東濰坊·期中）圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（

）A．乙連勝三場(chǎng)的概率是B．C．D．的最大值是5．（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)盒子里放著大小、形狀完全相同的1個(gè)黑球、2個(gè)白球、2個(gè)紅球，現(xiàn)不放回地隨機(jī)從盒子中摸球，每次取一個(gè)，直到取到黑球?yàn)橹?，記摸到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2223高二·全國(guó)·課后作業(yè)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，，其中是常數(shù)，則．四、解答題7．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯(lián)合國(guó)認(rèn)定的“海上絲綢之路”起點(diǎn).著名的“泉州十八景”是游客的爭(zhēng)相打卡點(diǎn)，泉州文旅局調(diào)查打卡十八景游客，發(fā)現(xiàn)90%的人至少打卡兩個(gè)景點(diǎn).為提升城市形象，泉州文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書(shū)簽、閩南古厝徽章、開(kāi)元寺祈福香包、小關(guān)公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個(gè)景點(diǎn)，則有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若只打卡一個(gè)景點(diǎn)，則有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).每次抽獎(jiǎng)可隨機(jī)獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡十八景游客打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機(jī)抽取3人，求3人抽獎(jiǎng)總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開(kāi)元寺祈福香包的概率.參考答案：1．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和隨機(jī)變量分布列的概率之和等于1即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足，所以，也即，又因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以，則有，，，所以，則，，，因?yàn)?，所以，解得，故選：.2．A【分析】由題意，令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趥€(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，再進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】令表示前k個(gè)球?yàn)榘浊?，第個(gè)球?yàn)榧t球，此時(shí)，則．故選：A．3．A【分析】由題意可知，的所有可能取值為，，，方法一：，方法二：.【詳解】方法一：由題意可知，的所有可能取值為，，，則．方法二：由題意可知，的所有可能取值為，，，則．故選：A4．BD【分析】根據(jù)題意列出決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X的概率分布列，然后對(duì)照選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可判斷.【詳解】乙連勝三場(chǎng)時(shí)比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5，若比賽局?jǐn)?shù)為3時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為4時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為5時(shí)，乙連勝三場(chǎng)的概率是；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為，則；；故選項(xiàng)B正確；;故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，所以的最大值是，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.5．CD【分析】A選項(xiàng)，分析出所包含的情況，從而得到，BC選項(xiàng)，分析出所包含的情況，求出，D選項(xiàng)，利用的所有可能有，利用對(duì)立事件的概率公式求出．【詳解】A選項(xiàng)，，分為第一次即取到黑球，或第一次摸到紅球，第二次摸到黑球，或前兩次均摸到紅球，第三次摸到黑球，故，A錯(cuò)誤；BC選項(xiàng)，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前兩次一次摸到紅球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有兩次摸到紅球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故，B錯(cuò)誤，C正確；D選項(xiàng)，的所有可能有，故，D正確．故選：CD.6．/0.875【分析】根據(jù)所給的概率分布規(guī)律，寫(xiě)出6個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，由分布列的性質(zhì)和為1求出實(shí)數(shù)，在求出滿足條件的概率即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，故答案為?7．(1)0.999(2)【分析】（1）用間接法，先求其對(duì)立事件“3人抽獎(jiǎng)總次數(shù)低于4次”的概率即可；（2）應(yīng)用全概率公式求解.【詳解】（1）設(shè)3人抽獎(jiǎng)總次數(shù)為，則的可能取值為3，4，5，6.由題意知，每位打卡十八景游客至少打卡兩個(gè)景點(diǎn)的概率為，只打卡一個(gè)景點(diǎn)的概率為，隨機(jī)抽取3人，3人打卡景點(diǎn)情況相互獨(dú)立.表示抽獎(jiǎng)總次數(shù)為3次，即3人都只打卡一個(gè)景點(diǎn).依題意可得，，所以.（2）記事件“每位打卡十八景游客至少打卡兩個(gè)景點(diǎn)”，則“每位打卡十八景游客只打卡一個(gè)景點(diǎn)”，事件“一位打卡十八景游客抽中開(kāi)元寺祈福香包”，則，，，，由全概率公式得，.【考點(diǎn)4】離散型隨機(jī)變量的分布列一、單選題1．（2122高二下·廣東深圳·期中）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為：X1234Pm則（）A． B． C． D．2．（2324高二上·遼寧·期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．3．（2223高二下·山東臨沂·期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（

）．A． B． C． D．二、多選題4．（2223高二下·河南周口·期中）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為12460.20.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．5．（2122高二下·廣東梅州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為（

）ξ123PA．－ B． C． D．三、填空題6．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的概率分布為，則實(shí)數(shù)．四、解答題7．（2223高二上·北京·期中）有兩種投資方案，一年后投資的盈虧情況如下兩表：投資股市的盈虧情況表投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購(gòu)買(mǎi)基金的盈虧情況表投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq(1)當(dāng)時(shí)，求q的值；(2)已知甲、乙兩人都選擇了“投資股市”進(jìn)行投資，求一年后他們中恰有一人虧損的概率；(3)已知丙、丁兩人分別選擇了“投資股市”和“購(gòu)買(mǎi)基金”進(jìn)行投資，設(shè)一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求p的取值范圍．參考答案：1．C【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可.【詳解】依題意，，即事件的對(duì)立事件是的事件，所以.故選：C2．D【分析】利用分布列的性質(zhì)，列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D3．A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價(jià)于，由表可知；故選：A.4．ABD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，以及概率的定義與互斥事件概率的加法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得，則，故B正確；對(duì)于C中，由概率的定義知，所以C不正確；對(duì)于D中，由，，則，所以D正確．故選：ABD.5．BC【分析】由題可知，即得.【詳解】由題可得，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故選：BC.6．【分析】根據(jù)給定條件利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，由分布列的性質(zhì)得，解得，所以實(shí)數(shù).故答案為：7．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量概率之和為1即可求解；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式即可計(jì)算；（3）根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算方法求出概率，列出不等式求解即可.【詳解】（1）∵購(gòu)買(mǎi)基金后，投資結(jié)果只有獲利、不賠不賺、虧損三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，∴，又因?yàn)?，所以；?）記事件A表示一年后他們中恰有一人虧損，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式，有；（3）記事件B為一年后丙、丁兩人中至少有一人投資獲利，它的對(duì)立事件為都沒(méi)盈利，則，∴，又∵，∴，∴，即p的取值范圍為．【考點(diǎn)5】離散型隨機(jī)變量的均值一、單選題1．（2021·浙江杭州·二模）體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)院對(duì)10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用10合一混管檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn)．記10合一混管檢驗(yàn)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，10名人員均為陰性的概率為（

）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.23．（2023·江西·二模）李華在研究化學(xué)反應(yīng)時(shí)，把反應(yīng)抽象為小球之間的碰撞，而碰撞又分為有效碰撞和無(wú)效碰撞，李華有3個(gè)小球和3個(gè)小球，當(dāng)發(fā)生有效碰撞時(shí)，，上的計(jì)數(shù)器分別增加2計(jì)數(shù)和1計(jì)數(shù)，，球兩兩發(fā)生有效碰撞的概率均為，現(xiàn)在李華取三個(gè)球讓他們之間兩兩碰撞，結(jié)束后從中隨機(jī)取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)其上計(jì)數(shù)為2，則李華一開(kāi)始取出的三個(gè)球里，小球個(gè)數(shù)的期望是（

）個(gè)A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2二、多選題4．（2223高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）乒乓球，被稱為中國(guó)的“國(guó)球”.某次比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽甲?乙兩位中有一位贏得三局比賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項(xiàng)為3C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．5．（2122高三上·河北唐山·期末）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)．現(xiàn)有兩種檢測(cè)方式：（1）逐份檢測(cè)：（2）混合檢測(cè)：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測(cè)一次就夠了，如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份核酸樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就需要對(duì)這k份核酸再逐份檢測(cè)，此時(shí)，這k份核酸的檢測(cè)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測(cè)的核酸樣本中，每份樣本的檢測(cè)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，并且每份樣本是陽(yáng)性的概率都為，若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷下列哪些p值能使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式．（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1三、填空題6．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．四、解答題7．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．參考答案：1．C【分析】計(jì)算學(xué)生每次發(fā)球的概率，求出期望的表達(dá)式，求解，可解出值.【詳解】根據(jù)題意，學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，即，發(fā)球次數(shù)為2即二次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為3的概率為，則期望，依題意有，即，解得或，結(jié)合p的實(shí)際意義，可得.故選：C．2．C【分析】依據(jù)題意寫(xiě)出隨機(jī)變量的的分布列，利用期望的公式即可求解.【詳解】設(shè)10人全部為陰性的概率為，混有陽(yáng)性的概率為，若全部為陰性，需要檢測(cè)1次，若混有陽(yáng)性，需要檢測(cè)11次，則隨機(jī)變量的分布列，解得，故選：C.3．B【分析】由題意可得兩球發(fā)生有效碰撞和無(wú)效碰撞的可能性相等，根據(jù)種不同的取法，每種取法里三個(gè)球兩兩碰撞之后共有種等可能的情況發(fā)生，其中可產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況有種，再算出其中不同取法里球個(gè)數(shù)各自的概率，即可計(jì)算出期望.【詳解】由，球兩兩發(fā)生有效碰撞的概率均為，可得兩球發(fā)生有效碰撞和無(wú)效碰撞的可能性相等.取出三個(gè)球后，每?jī)蓚€(gè)球之間碰撞一次，則需碰撞次，每次碰撞均有有效碰撞和無(wú)效碰撞兩種情況發(fā)生，且可能性相等，所以三個(gè)球兩兩碰撞之后共有種等可能的情況發(fā)生.①若取出的三個(gè)球均為球，有種取法，碰撞之后產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況有：每個(gè)球之間有效碰撞次，無(wú)效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，1個(gè)球計(jì)數(shù)為2；每個(gè)球之間有效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，有三個(gè)球計(jì)數(shù)為2；則符合條件的情況數(shù)為.②若取出的三個(gè)球?yàn)閭€(gè)球，個(gè)球，有種取法，碰撞之后產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況有：，球之間有效碰撞次，無(wú)效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為或，有種1，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)分別為1和2；每個(gè)球之間有效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為2；則符合條件的情況數(shù)為.③若取出的三個(gè)球?yàn)閭€(gè)球，個(gè)球，有種取法，碰撞之后產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況有：a，a碰撞有效，a，b碰撞無(wú)效，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為2；a，a碰撞無(wú)效，a，b碰撞1次有效1次無(wú)效，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為1；a，a碰撞無(wú)效，a，b碰撞均有效，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為3；a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次無(wú)效，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有2種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為1；a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有1種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為1；所以符合條件的情況數(shù)為.④若取出的三個(gè)球均為球，有種取法，碰撞之后產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況有：每個(gè)球之間有效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為2；每個(gè)球之間有效碰撞次，計(jì)數(shù)結(jié)果為，有種，計(jì)數(shù)為2的球個(gè)數(shù)為2；符合條件的情況數(shù)為.所以碰撞之后產(chǎn)生計(jì)數(shù)為的球的情況總數(shù)為，設(shè)李華一開(kāi)始取出的三個(gè)球里，球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量所有可能取值的集合是，，，，，故的分布列如下表：數(shù)學(xué)期望，所以李華一開(kāi)始取出的三個(gè)球里，球個(gè)數(shù)的期望是個(gè).故選：.4．ABD【分析】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，先計(jì)算出可能取值的概率，即可判斷A選項(xiàng)；進(jìn)而求出期望值，即可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為，所以，，，因此三局就結(jié)束比賽的概率為，則A正確；故，由知常數(shù)項(xiàng)為3，故B正確；由，故D正確；由，，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則C不正確.故選：ABD.5．CD【分析】計(jì)算混合檢測(cè)分式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)的期望，又逐份檢測(cè)方式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)，知，利用求解可得p的范圍，即可得出選項(xiàng).【詳解】設(shè)混合檢測(cè)分式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)可能取值為，故的分布列為：111設(shè)逐份檢測(cè)方式，樣本需要檢測(cè)的總次數(shù)，則要使得混合檢測(cè)方式優(yōu)于逐份檢測(cè)方式，需即，即，即又，，故選：CD6．，/【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫(xiě)有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案為：，.7．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．【考點(diǎn)6】離散型隨機(jī)變量的方差一、單選題1．（2023·山東煙臺(tái)·二模）口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個(gè)球，記取出的球的最大編號(hào)為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）已知某離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：x012Pabc若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~50甲的頻率0.10.40.20.3乙的頻率00.30.60.1某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則的數(shù)學(xué)期望和方差分別是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2021高二·全國(guó)·單元測(cè)試）一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列4個(gè)結(jié)論，其中正確的有（

）A．從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為C．現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）高考數(shù)學(xué)試題的第二部分為多選題，共三個(gè)題每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)者得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)選項(xiàng)正確的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分．則A． B．C． D．三、填空題6．（2223高三·全國(guó)·對(duì)口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab四、解答題7．（2023·北京石景山·一模）某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）參考答案：1．A【分析】先求隨機(jī)變量的分布列，再運(yùn)用公式求【詳解】由題意，可能取值為2，3包含事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?，2所以包含事件為取出的兩個(gè)球?yàn)?，3或2，3所以，.故選：A.2．C【分析】運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差計(jì)算即可.【詳解】由題意，得，所以①．因?yàn)?，所以②．由，得，代入①②解得：，．所以．故選:C.3．D【分析】設(shè)事件表示甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，表示乙在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，由題求出事件的概率，分析的值，求出對(duì)應(yīng)值的概率，然后求出數(shù)學(xué)期望及方差即可.【詳解】設(shè)事件表示甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，表示乙在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，，相互獨(dú)立，，，，．故選：D.4．ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判斷；B.根據(jù)取到紅球次數(shù)X～B，再利用方差公式求解判斷；C．設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．由P(B|A)＝求解判斷；D．易得每次取到紅球的概率P＝，然后再利用對(duì)立事件求解判斷.【詳解】A.恰有一個(gè)白球的概率，故A正確；B.每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～B，其方差為，故B正確；C．設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．則P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C錯(cuò)誤；D．每次取到紅球的概率P＝，所以至少有一次取到紅球的概率為，故D正確．故選：ABD.5．BC【分析】先求出的分布列，可判斷A，B；再由數(shù)學(xué)期望和方差公式求出，可判斷C，D.【詳解】為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，所以，，，則的分布列為：02由此可得，為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分，所以，,,,則的分布列026由此可得．所以,，，.故選：BC．6．5【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.7．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得厘米的總數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）首先估計(jì)各組雞冠花增量為厘米的概率，然后可確定所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；（3）由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得，，的值，由此可得大小關(guān)系．【詳解】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計(jì)為；（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為，估計(jì)為，根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.3，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.【考點(diǎn)7】二項(xiàng)分布一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）“錦里開(kāi)芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節(jié)是中國(guó)非常重要的傳統(tǒng)節(jié)日，某班級(jí)準(zhǔn)備進(jìn)行“元宵福氣到”抽獎(jiǎng)活動(dòng)福袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)相同小球，從袋中一次性摸出三個(gè)小球，若號(hào)碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有5名同學(xué)參與此次活動(dòng)，則恰好3人獲獎(jiǎng)的概率是（

）A． B． C． D．3．（2324高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則概率最大時(shí)，的取值為（

）A． B． C．或 D．或二、多選題4．（2023·全國(guó)·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率5．（2023·湖南·一模）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差B．?dāng)?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8D．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是三、填空題6．（2021·湖北武漢·一模）在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，立德中學(xué)高三某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)的一致好評(píng).設(shè)隨機(jī)變量，記，.在研究的最大值時(shí)，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.四、解答題7．（2018·全國(guó)·高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？參考答案：1．D【分析】由題意當(dāng)時(shí)，的可能取值為1,3,5，且，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．2．C【分析】先求出抽一次獲獎(jiǎng)的概率，設(shè)5人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為，則，然后由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算概率．【詳解】每次抽獎(jiǎng)中，總情況數(shù)為種，獲獎(jiǎng)的共有這4種，所以，設(shè)5人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為，則，所以，故選：C.3．C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值的概率公式建立不等關(guān)系，可得最大值時(shí)的．【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.4．ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.5．BC【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式、百分位數(shù)、平均數(shù)、古典概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，易知，而，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，共有7個(gè)數(shù)據(jù)，而，故第60百分位數(shù)為9，B正確；對(duì)于C，若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為，C正確；對(duì)于D，由古典概型可知：從51個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，錯(cuò)誤.故選：BC6．18【分析】直接根據(jù)服從二項(xiàng)分布，結(jié)合取整數(shù)部分可得后面80次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的次數(shù)為13概率最大，從而得解.【詳解】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出現(xiàn)18次的概率最大.故答案為：18.7．（1）；（2）（i）；（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【分析】（1）方法一：利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注意的條件；（2）方法一：先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出，在解（i）的時(shí)候,先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解（ii）的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)期望的大小，得到結(jié)果.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導(dǎo)數(shù)求最值件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為；［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式由題可知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．，當(dāng)且僅當(dāng)，即可得所求．（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用導(dǎo)數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解．【考點(diǎn)8】超幾何分布一、單選題1．（2223高二下·山東青島·期中）從裝有個(gè)白球，個(gè)紅球的密閉容器中逐個(gè)不放回地摸取小球.若每取出個(gè)紅球得分，每取出個(gè)白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（

）A． B． C． D．2．（2122高二下·河南三門(mén)峽·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．3．（2122高二下·廣東廣州·期末）在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．二、多選題4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．5．（2223高二上·江西上饒·期末）2022年冬奧會(huì)在北京舉辦，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，上饒市多所中小學(xué)開(kāi)展了冬奧會(huì)項(xiàng)目科普活動(dòng).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)冬奧會(huì)項(xiàng)目的了解情況，在本市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校中的部分同學(xué)，10所學(xué)校中了解冬奧會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校進(jìn)行冬奧會(huì)項(xiàng)目的宣講活動(dòng)，記為被選中的學(xué)校中了解冬奧會(huì)項(xiàng)目的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的可能取值為0，1，2，3 B．C． D．三、填空題6．（2122高二下·上海徐匯·期中）某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知恰全為黑球的概率為，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則．四、解答題7．（2324高三下·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng).(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來(lái)自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.參考答案：1．A【分析】根據(jù)取出小球的所有情況寫(xiě)出得分的所有可能，根據(jù)超幾何公式求得各個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到其分布列，求出期望.【詳解】解：設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，.則，，，則分布列為：432所以得分期望為.故選：.2．D【分析】由超幾何分布的概率公式結(jié)合排列組合即可求得．【詳解】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．故選：D．3．C【分析】由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用超幾何分布的性質(zhì)直接判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】解：由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，，故A，D錯(cuò)誤．故選：C．4．ACD【分析】利用超幾何分布的性質(zhì)，及超幾何分布的期望求解公式逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，故；從而，故選項(xiàng)A正確；，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.5．ACD【分析】根據(jù)題意分析服從參數(shù)為10，4，3的超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的性質(zhì)運(yùn)算即可對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證得出答案.【詳解】由題意可得的可能取值為0，1，2，3，故A正確；分析可得服從參數(shù)為10，4，3的超幾何分布，其分布列為，則，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確；故選：ACD.6．/0.36【分析】黑球的個(gè)數(shù)為，通過(guò)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，求出，然后求解記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的概率得到分布列，然后求解期望與方差即可．【詳解】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為，由得，記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的取值可以為1，2，3；，，，則分布列如下：123所以，則．故答案為：.7．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布，求出分布列和期望，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)甲、乙答對(duì)題數(shù)為二項(xiàng)分布及獨(dú)立事件的概率求出每輪答題中取得勝利的概率，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對(duì)題數(shù)為，則，設(shè)乙答對(duì)題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時(shí)取最大值，所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.【考點(diǎn)9】正態(tài)分布一、單選題1．（2021·全國(guó)·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等2．（2223高三下·山東·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90二、多選題4．（2023·浙江溫州·三模）近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)消費(fèi)新業(yè)態(tài)?新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)，消費(fèi)場(chǎng)景也隨之加速拓展，某報(bào)社開(kāi)展了網(wǎng)絡(luò)交易消費(fèi)者滿意度調(diào)查，某縣人口約為萬(wàn)人，從該縣隨機(jī)選取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)滿意度得分分成以下組：、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示.由頻率分布直方圖可認(rèn)為滿意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，且，，，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.則（

）A．由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)約為B．由直方圖可估計(jì)樣本的中位數(shù)約為C．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人D．由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人5．（2023·福建廈門(mén)·二模）李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)．他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車(chē)平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車(chē)平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)X和騎自行車(chē)用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（

）A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明計(jì)劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車(chē)D．李明計(jì)劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車(chē)三、填空題6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．四、解答題7．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）2023年，全國(guó)政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開(kāi)幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天半；十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議于3月5日上午開(kāi)幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某高中學(xué)校開(kāi)展了兩會(huì)知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們的得分（滿分100分）的頻率分布折線圖如下.(1)若此次知識(shí)問(wèn)答的得分，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)，分別為被抽取的320名學(xué)生得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求的值；(2)學(xué)校對(duì)這些被抽取的320名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：用頻率估計(jì)概率，得分小于或等于55的學(xué)生獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分高于55的學(xué)生獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)抽到價(jià)值10元的學(xué)習(xí)用品的概率為，抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示），并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額.參考數(shù)據(jù)：，，，，.參考答案：1．D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.2．A【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)椋?，所以，根?jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，.故選：A3．B【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，可求得.則，，設(shè)，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.又，所以，，.設(shè)，則，所以，，所以.，所以，，所以.所以，以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由正態(tài)分布求出概率，然后根據(jù)已知，可得，得出，利用函數(shù)求出的最大值.4．ABD【分析】利用頻率分布直方圖計(jì)算出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)，可判斷AB選項(xiàng)；利用正態(tài)分布原則可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由直方圖可估計(jì)樣本的平均數(shù)為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，由中位數(shù)的定義可得，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，所以，由正態(tài)分布可估計(jì)全縣的人數(shù)約為萬(wàn)人，D對(duì).故選：ABD.5．BCD【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，和的原則，即可求解.【詳解】A.由條件可知，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故A錯(cuò)誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD6．/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：?．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，，元【分析】（1）先根據(jù)頻率分布折線圖求平均值及方差，再根據(jù)正態(tài)分布公式計(jì)算概率即可；（2）先分析獲獎(jiǎng)金額的情況，再列出相關(guān)分布列計(jì)算即可.【詳解】（1）由折線圖可知：，，所以，，所以.（2）由題意可知的可能取值為10，20，30，40，則，，，，，，所以的分布列為10203040P，故此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額約為元.單元檢測(cè)單元檢測(cè)【基礎(chǔ)卷】一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2324高二下·河北滄州·階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）對(duì)甲，乙兩地小學(xué)生假期一天中讀書(shū)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知小學(xué)生的讀書(shū)時(shí)間均符合正態(tài)分布，其中甲地小學(xué)生讀書(shū)的時(shí)間為（單位：小時(shí)），，對(duì)應(yīng)的曲線為，乙地小學(xué)生讀書(shū)的時(shí)間為（單位：小時(shí)），，對(duì)應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（）A． B． C． D．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在含有4件次品的100件產(chǎn)品中，任取2件，則至多取到1件次品的概率為（）A． B． C． D．5．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過(guò)一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．6．（2122高二下·北京·期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．（2024·廣東·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C． D．二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2324高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則下列選項(xiàng)正確的是（參考數(shù)值：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

），，）A． B．C． D．10．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其中，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．時(shí)，C．時(shí)，隨著的增大而增大 D．時(shí)，隨著的增大而減小11．（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎录嗀，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若，則A與B相互獨(dú)立三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)12．（2324高三上·湖北·期末）已知紅箱內(nèi)有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、5個(gè)白球.第一次從紅箱內(nèi)取出一球，觀察顏色后放回原處；第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)再取出一球，則第二次取到紅球的概率為.13．（2023高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則.14．（2023·浙江·二模）袋中有形狀大小相同的球5個(gè)，其中紅色3個(gè)，黃色2個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)連續(xù)摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)有兩種顏色的球被摸到時(shí)停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，則.四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)15.(13分)（2021·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路.該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機(jī)動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)