高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習專題題組訓練18古代建筑教師版

專題18古代建筑一、單選題1．攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉軸的截面)是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫让娣e約為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意作出圓錐軸截面圖像，依據(jù)圖像求出圓錐底面半徑r和母線l，依據(jù)側面積公式πrl即可求解.【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，由題意，底面圓半徑為，母線，側面積πrl＝π×3×＝6﹒故選：B.2．被喻為“世界古代八大奇跡”之一的古埃及胡夫金字塔，約建于公元前2580年，完工于前2560年.它的規(guī)模是在埃及發(fā)覺的110座金字塔中最大的.它是一種方底尖頂?shù)氖鼋ㄖ?，其形態(tài)可視為一個正四棱錐，是一座由一塊塊大小不等的石料堆砌而成的幾乎實心的巨石體，塔底邊緣正方形的邊長的230米，塔高約147米.每塊石料的體積平均約為1.12立方米，則建立胡夫金字塔一共大約須要多少塊石料（

）A．23萬 B．69萬 C．230萬 D．690萬【答案】C【解析】【分析】先求出金字塔的體積，然后依據(jù)石塊的體積可數(shù)所須要的石塊的塊數(shù).【詳解】金字塔的體積為立方米建立胡夫金字塔一共須要的石料所以大約須要230萬塊石料故選：C3．扇子最早稱“翣”，其功能并不是納涼，而是禮儀器具，后用于納涼?消遣?觀賞等.扇文化是中國傳統(tǒng)文化的重要門類，扇子的美學也隨之融人到建筑等藝術審美之中.圖1為一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半徑（圖2），圓心角為，且為的中點，則該扇形窗子的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式進行求解即可.【詳解】因為為的中點，所以化成弧度為，所以此扇形窗子的面積為故選：B4．江西南昌的滕王閣，位于南昌沿江路贛江東岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，流芳后世，被譽為“江南三大名樓”之首（另外兩大名樓分別為岳陽的岳陽樓與武漢的黃鶴樓）.小張同學為測量滕王閣的高度，選取了與底部水平的直線，將自制測量儀器分別放置于，兩處進行測量.如圖，測量儀器高m，點與滕王閣頂部平齊，并測得，m，則小張同學測得滕王閣的高度約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．50m B．55.5mC．57.4m D．60m【答案】C【解析】【分析】先推斷出，解直角三角形求得，由此求得滕王閣的高.【詳解】在中，，則，在中，，則，，故滕王閣的高度為.故選：C5．鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質樸宏偉，原有十三級，抗日斗爭中被日軍飛機炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2，則此近似圓形墻面內部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設為內切圓的圓心，為內切圓的半徑，依據(jù)正多邊形的性質，可得，再依據(jù)銳角三角函數(shù)計算可得；【詳解】解：如圖，設為內切圓的圓心，為內切圓的半徑．正十邊形的每個外角為，內角為，所以，所以，，，得，解得．故選：B．6．古代典籍《周易》中的“八卦”思想對我國的建筑有確定影響.如圖是受“八卦”啟示設計的正八邊形的八角窗.在正八邊形中，若，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】如圖，連接，作于點，作于點，由正八邊形的特征可得，從而可將用表示出來，再結合已知即可得解.【詳解】解：如圖，連接，作于點，作于點，由正八邊形的特征可得，，故，所以，則，又因，所以，所以.故選：C.7．攢（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由軸截面三角形，依據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側面積.故選：B8．花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結構，這是中國古代建筑中常見的美化形式，既具備好用功能，又帶有裝飾效果．如圖所示是一個花窗圖案，大圓為兩個等腰直角三角形的外接圓，陰影部分是兩個等腰直角三角形的內切圓．若在大圓內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設大圓的半徑為，等腰直角三角形的內切圓的半徑為，進而得出等腰直角三角形的邊長，利用三角形面積公式列出方程，解出r的值，依據(jù)圓的面積公式求出陰影部分和大圓的面積，結合幾何概型的概率公式計算即可.【詳解】設大圓的半徑為，則等腰直角三角形的邊長分別為，，，設等腰直角三角形的內切圓的半徑為，則，解得，則陰影部分的面積為，大圓的面積為，則該點取自陰影部分的概率為．故選：D9．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計算即可得解.【詳解】因為軸截面的頂角為，所以底角，在中，依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B.10．攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，常見的有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，若這個正四棱錐的棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，結合正四棱錐的性質，即可求得、的長，依據(jù)椎體體積公式，即可得答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐棱長均為2，連接AC、BD交于點O，連接PO依據(jù)正四棱錐的性質，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱錐的體積.故選：C11．《九章算術》是中國古代人民才智的結晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個圓臺形態(tài)的建筑物，下底面周長為三丈，上底面周長為二丈，高為一丈”，則該圓臺的側面積（單位：平方丈）為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，由已知周長求得和，代入圓臺的側面積公式，即可求解.【詳解】設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，可得，可得，又由圓臺的高為1丈，可得圓臺的母線長為，所以圓臺的側面積為.故選：B.12．攢尖頂是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，通常有圓形、三角、四角、六角、八角等結構，多見于亭閣式建筑．如圖所示，某園林的亭閣建筑為六角攢尖頂，它的屋頂輪廓可近似看作一個正六棱錐，設正六棱錐的側面等腰三角形的頂角為，則該正六棱錐底面內切圓半徑與側棱長之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用正六邊形的幾何性質確定其外接圓的半徑，再利用等腰三角形中的邊角關系求出側棱長，計算比值即可．【詳解】解：如圖，正六邊形是正六棱錐的底面，等腰三角形是正六棱錐的側面，設側棱，底面邊長，底面內切圓半徑，，則是等邊三角形，，側面中，，∴，即．故選：A13．攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑．某園林建筑為六角攢尖，如圖所示，它主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐．設這個正六棱錐的側面等腰三角形的頂角為，則側棱與底面外接圓半徑的比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設邊長為，得到正六邊形的外接圓半徑為，求得側棱長為，即可得到側棱與底面外接圓半徑的比．【詳解】由題意，底面是正六邊形，分為六個等邊三角形，設邊長為，依據(jù)正六邊形的性質，則正六邊形的外接圓半徑為，在側面等腰三角形中，頂角為，兩腰為側棱，底邊為，所以側棱長為，故側棱與底面外接圓半徑的比為．故選：C.14．魯班鎖起源于中國古代建筑的榨卯結構．這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，特殊奇異，魯班鎖類玩具比較多，形態(tài)和內部的構造各不相同，一般都是易拆難裝，如圖（1），這是一種常見的魯班鎖玩具，圖（2）是該魯班鎖玩具的直觀圖．已知該魯班鎖玩具每條棱的長均為1，則該魯班鎖玩具的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出正八邊形的面積，再由該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和計算表面積即可.【詳解】由圖可知：該魯班鎖玩具的表面積為6個邊長為1的正八邊形和8個邊長為1的正三角形的面積和，如圖為正八邊形的平面圖，易得，作，垂足為，則，則八邊形的面積為，則該魯班鎖玩具的表面積為.故選：A.15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其底面正方形的邊長與其側面三角形底邊上的高的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知，畫出正四棱錐的圖像，依據(jù)題意條件，找到正四棱錐的高，側面三角形的斜高，底面邊長a之間的等量關系，然后帶入中，借助勾股定理列出等量關系，即可求解出的值.【詳解】由已知，可畫出正四棱錐的圖像，底面是邊長為的正方形，頂點在底面的投影為，，為中點，為側面的高，設，由已知可得：，，即，則，即，解得或（舍去）.故選：B.16．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖1，它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐，其中底面邊長和攢尖高的比值為，若點是棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接，設為的中點，則異面直線與所成角為或其補角，再依據(jù)幾何關系求解即可.【詳解】解：如圖，連接，設為的中點，，異面直線與所成角為或其補角．連接，所以，在正四棱錐中，，，平面，，設，則由題意得，在中，．故選：C．17．攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑．如圖所示，某園林建筑的屋頂為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，若此正六棱錐的側棱長為2，且與底面所成的角為，則此正六棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意分別求得錐體的底面積和高度，然后計算其體積即可．【詳解】解：將原問題抽象為如圖所示的正六棱錐，設底面的中心為，連結，，由題意可得，則，即六棱錐的高，六棱錐的底面是由6個邊長為的等邊三角形組成的，從而其體積．故選：A．18．廡殿是古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，其可近似看作由兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形組成，如圖所示.若在等腰梯形與等腰三角形側面中需鋪瓦層，等腰梯形中下一層鋪的瓦數(shù)比上一層鋪的瓦數(shù)多等腰三角形中下一層鋪的瓦數(shù)是上一層鋪的瓦數(shù)的倍.兩個等腰梯形與兩個等腰三角形側面同一層全部鋪上瓦，其瓦數(shù)視作同一層的總瓦數(shù).若頂層需鋪瓦塊，整個屋頂需鋪瓦塊，則最底層需鋪瓦塊數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意得等腰梯形中鋪的瓦數(shù)自上而下構成一個公差為的等差數(shù)列，等腰三角形中鋪的瓦數(shù)自上而下構成一個公比為的等比數(shù)列，故得到，進而可求得兩個數(shù)列的通項公式，再分別求每個數(shù)列的第6項，可得到最終結果.【詳解】由題意等腰梯形中鋪的瓦數(shù)自上而下構成一個公差為的等差數(shù)列，等腰三角形中鋪的瓦數(shù)自上而下構成一個公比為的等比數(shù)列，由條件可知，解之得，所以，所以，故最底層需鋪瓦塊數(shù)為，故選：C.19．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，假如只有5種顏色可供運用，則不同的染色方法總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分兩步,先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用乘法原理可求解.【詳解】分兩步,先將四棱錐一側面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用乘法原理可求解，由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；當染好時，不妨設所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當S,A,B染好時，C,D還有7種染法.故不同的染色方法有種.故選：C20．攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．攢尖建筑的屋面在頂部交匯為一點，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．遼寧省試驗中學校內內的明心亭，為一個八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正八棱錐，設正八棱錐的側面等腰三角形的頂角為，它的側棱與底面內切圓半徑的長度之比為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分別用和表示出的一半，得出側棱與底面邊長的比，再依據(jù)正八邊形的結構特征求出底面內切圓的半徑與邊長的關系，即可求出結果．【詳解】設為正八棱錐底面內切圓的圓心，連接，，取的中點，連接、，則是底面內切圓半徑，如圖所示：設側棱長為，底面邊長為，由題意知，，則，解得；由底面為正八邊形，其內切圓半徑是底面中心到各邊的距離，中，，所以，由，解得，所以，所以，解得，即側棱與底面內切圓半徑的長度之比為．故選:A．21．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐，現(xiàn)已知該四棱錐的高與斜高的比值為，則該四棱錐的底面面積與側面面積的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，設四棱錐底面的邊長為，高為，斜高為.由四棱錐的高與斜高的比值為，找出與的關系式，結合面積公式，即可得到該四棱錐的底面面積與側面面積的比值.【詳解】設該四棱錐底面的邊長為，高為，斜高為，依據(jù)題意得，即，從而該四棱錐底面面積為，側面面積為，故該四棱錐的底面面積與側面面積的比值是.故選：B.二、多選題22．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為，側棱長為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長為米 B．側棱與底面所成角的余弦值為C．側面積為平方米 D．體積為立方米【答案】ACD【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，結合已知條件求得棱錐的底面邊長，逐項求解，即可得到答案.【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，為正方形的中心，且，設底面邊長為，正四棱錐的側面與底面所成的二面角為，所以，則，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱錐的底面邊長為，所以A正確；因為平面，所以為側棱與底面所成的角，在直角中，可得，所以B錯誤；正四棱錐的側面積為平方米，所以C正確；正四棱錐的側體積為立方米，所以D正確.故選：ACD.23．古代典籍《周易》中的“八卦”思想對我國建筑中有確定影響．下圖是受“八卦”的啟示，設計的正八邊形的八角窗，若是正八邊形的中心，且，則（

）A．與能構成一組基底 B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】連接BG，CF，由正八邊形的性質可知，，，可推斷選項A；從而可得，可推斷選項B；連結交于點，可推斷選項C；先推斷出，結合向量的加法和數(shù)量積的運算性質可推斷選項D.【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質可知，，，所以，所以AH與CF是共線向量，所以與不能構成一組基底，A項錯誤；又，所以．所以，B項正確；由上過程可知，連結交于點,在直角三角形中，為的中點，則,又，所以，C項錯誤；又正八邊形的每一個內角為：，延長,相交于點，則所以，故，所以，D項正確．故選:BD.24．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，六角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以六角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐.已知此正六棱錐的側面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ=30°，側棱長為米，則（

）A．正六棱錐的底面邊長為2米B．正六棱錐的側棱與底面所成角的正切值為C．正六棱錐的側面積為48平方米D．正六棱錐的體積為16立方米【答案】BCD【解析】【分析】如圖，設正六邊形的中心為，的中點為，連接，，設，依據(jù)題設條件可得，從而可求，再逐項計算并推斷各項的正誤，從而可得正確的選項．【詳解】如圖，設正六邊形的中心為，的中點為，連接，，則平面，故為側棱與底面所成的角．設，由正六棱錐的性質可得，，由等邊三角形可得，故為二面角的平面角，故，所以，而，故，在中，有，故，故，故A錯．又在，，故，故B正確．正六棱錐的側面積為（平方米），故C正確．正六棱錐的體積為（立方米），故D正確．故選：BCD．三、雙空題25．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐．古希臘歷史學家希羅多德記載：胡夫金字塔的每一個側面三角形的面積等于金字塔高的平方，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為________；側面與底面所成二面角的余弦值為________．【答案】

【解析】【分析】畫出圖形，設正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點，可得，求出，從而可求出答案【詳解】解：如圖，設正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點，則由題意得，得，解得或（舍去），所以，所以側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為，因為，所以是側面與底面所成二面角的平面角，因為所以側面與底面所成二面角的余弦值為，故答案為：，四、填空題26．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含很多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第圈有9塊石板，從其次圈起先，每一圈比前一圈多9塊共有9圈，則第六圈的石板塊數(shù)是________．【答案】54【解析】【分析】由題可知從第1圈到第9圈石板數(shù)形成首項為9，公差為9的等差數(shù)列，即可得出所求.【詳解】由題可知從第1圈到第9圈石板數(shù)形成等差數(shù)列，且首項，公差，則第圈的石板數(shù)為，故答案為：5427．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，特殊奇異，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下?左右?前后完全對稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為___________.（容器壁的厚度忽視不計）【答案】【解析】【分析】轉化為幾何體的外接球問題，求出外接球的半徑和表面積即可.【詳解】由題可知，當魯班鎖的頂點與球面相接時，球的體積最小，此時，所以，.故答案為：.28．魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的榫卯結構，其內部的凹凸部分嚙合特殊精致．圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖．它的表面由八個正三角形和六個正八邊形構成，其中每條棱長均為．若該玩具可以在一個正方體內隨意轉動（忽視摩擦），則此正方體表面積的最小值為______