人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)題17.3 勾股定理（分層練習(xí)）（提升練）

專(zhuān)題17.3勾股定理（分層練習(xí)）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為，則面積為（

）A． B． C． D．2．（2024上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）公園有一塊長(zhǎng)方形草坪，芳芳同學(xué)發(fā)現(xiàn)有極少數(shù)人為了走捷徑，踐踏草坪走出了一條路，為了倡導(dǎo)人們愛(ài)護(hù)花草，建議公園管理人員在處立一個(gè)標(biāo)牌：“小草青青，腳下留情”．經(jīng)過(guò)測(cè)量得知：兩處的距離為兩處的距離為則踐踏草坪少走的距離是（

）A． B． C． D．3．（2023下·重慶銅梁·八年級(jí)重慶市巴川中學(xué)校?？计谀┤鐖D，露在水面上的魚(yú)線長(zhǎng)為．釣魚(yú)者想看看魚(yú)鉤上的情況把魚(yú)竿提起到的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線長(zhǎng)為4m，若的長(zhǎng)為，試問(wèn)的魚(yú)竿有多長(zhǎng)？設(shè)長(zhǎng)，則下所列方程正確的是（）.A． B．C． D．4．（2022下·北京海淀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地0.5米，將它往前推3米時(shí)，踏板離地1.5米，此時(shí)秋千的繩索是拉直的，則秋千的長(zhǎng)度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米5．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的面積為（

）

A．4 B．8 C．16 D．326．（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，平分，平分，且，交于點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．7．（2024上·甘肅蘭州·九年級(jí)蘭州十一中?？计谀┤鐖D，在等邊中，是邊上的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，若，則（）A． B．6 C．8 D．8．（2024上·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）因班級(jí)文化建設(shè)需要，小方需要在一張的矩形卡紙中裁剪出若干張半徑為，圓心角是的扇形紙片，若采取如圖所示進(jìn)行裁剪，則最多可以裁剪出扇形紙片（

）

A．20張 B．21張 C．40張 D．41張9．（2023上·貴州畢節(jié)·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，則斜邊的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．10．（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，于，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C．4 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，x=．12．（2024上·四川成都·九年級(jí)四川省成都市玉林中學(xué)校考期末）如圖，在射線上取，在射線上取，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則．13．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀﹫D中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)．開(kāi)始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．問(wèn)：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了厘米．

14．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，以A點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧與數(shù)軸交于點(diǎn)P．若點(diǎn)A表示的數(shù)為0，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則點(diǎn)P表示的數(shù)為．15．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（1）；（2）若，則的長(zhǎng)為．16．（2024上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處．則螞蟻到達(dá)蜂蜜點(diǎn)的最短距離為．17．（2024上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：對(duì)于以為底邊的等腰及外一點(diǎn)C，若，直線中，其中一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，另一條與的腰垂直，則稱(chēng)點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．如圖，已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)就是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．若點(diǎn)是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則線段的長(zhǎng)是．

18．（2024上·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在直角三角形紙片中，，折疊紙片使得點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，折痕是（如圖1），將紙片復(fù)原，再次折疊紙片，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕是（如圖2），繼續(xù)折疊紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕是，得到多邊形（如圖3），將若干個(gè)全等的多邊形交叉重疊便可得到棒棒糖的糖果部分（如圖4）．

（1）圖1中的長(zhǎng)為．（2）圖3中的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024上·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．（1）求作點(diǎn)D；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)過(guò)程）（2）連接，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求的長(zhǎng)度．20．（8分）（2023上·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是和，E為C點(diǎn)左側(cè)x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在y軸上時(shí)，求的長(zhǎng)（提示：點(diǎn)E可能在x軸正半軸上，也可能在x軸負(fù)半軸上）21．（10分）（2024上·福建福州·八年級(jí)福建師大附中?？计谀┤鐖D，中，，點(diǎn)在的邊上，，以為直角邊在同側(cè)作等腰，使，過(guò)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，則為多少；（3）若，求的值．22．（10分）（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有一架救火飛機(jī)沿東西方向，由點(diǎn)飛向點(diǎn)，在直線的正下方有一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離分別為和，又兩點(diǎn)距離為，飛機(jī)與著火點(diǎn)距離在以?xún)?nèi)可以受到灑水影響．

（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，著火點(diǎn)是否受灑水影響；（2）若救火飛機(jī)的速度為，要想撲滅著火點(diǎn)估計(jì)需要13秒，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在救火飛機(jī)從點(diǎn)飛到點(diǎn)的過(guò)程中，著火點(diǎn)能否被撲滅．23．（10分）（2024上·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，（1）如圖①，為邊上一點(diǎn)，連接，以為邊作，，，連接．求證：，（2）如圖②，為外一點(diǎn)．若，，．則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．24．（12分）（2024上·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，為的邊上的高，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在中，，平分交于點(diǎn)D，若，，求的長(zhǎng)；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，直線l是一條小路，是李叔叔家的一塊花園的平面示意圖，其中邊在小路l上，邊上的點(diǎn)D處有一口灌溉水井，經(jīng)測(cè)量，，米，米．李叔叔計(jì)劃對(duì)該花園進(jìn)行擴(kuò)建，在點(diǎn)C右側(cè)的小路l上取點(diǎn)E，并在、、內(nèi)分別種植不同的花卉，根據(jù)李叔叔的規(guī)劃要求，，請(qǐng)你計(jì)算區(qū)域的面積．參考答案：1．A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得該等腰直角三角形的直角邊為，再利用三角形的面積公式即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解：依題意得：該等腰直角三角形的直角邊為：，面積為：，故選A．2．D【分析】本題考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．解：由題意知，，由勾股定理得，，∵，∴則踐踏草坪少走的距離為，故選：D．3．A【分析】如圖：設(shè)長(zhǎng)，則，分別在和可得、，再根據(jù)可得，然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答．解：設(shè)長(zhǎng)，則，在中，，在中，，∵，∴，即．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的基本形式以及的隱含條件是解答本題的關(guān)鍵.4．C【分析】設(shè)米，用表示出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則秋千的長(zhǎng)度是5米．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．5．C【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)C作于D，交于E，先證明，設(shè)，則，再證明，得到，則，利用勾股定理得到，解得，則．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于D，交于E，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．

6．C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得和是等腰三角形，可得，從而可得，然后再利用角平分線的定義以及平角定義可得，從而在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：平分平分，在中，故選：C．7．C【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．先由等邊三角形的性質(zhì)，得，，，再根據(jù)，得，進(jìn)而得，則，然后在中，由勾股定理求出即可．解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．故選：C．8．C【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，二次根式除法，在中，，則，再由即可得到答案．解：如圖所示，在中，，∴，∵，∴最多可以裁剪出扇形紙張，故選：C．

9．B【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，用含a，b的式子表示各個(gè)線段是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，則，求得，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．10．C【分析】本題考查了勾股定理及等面積法，連接，設(shè)，通過(guò)勾股定理得出ｋ的值，再求出，再利用等面積法求解即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵，∴設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得（負(fù)舍），∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．11．15【分析】本題考查了直角三角形三邊之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理可求得的值，正確計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．解：∵三角形是直角三角形，∴，解得：，故答案為：．12．【分析】本題考查作圖-基本作圖、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．由題意得，，，由勾股定理得，則，，即可得出答案．解：由題意得，，，，，，．故答案為：．13．9【分析】根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動(dòng)的距離．解：依題意得：，設(shè)滑動(dòng)后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)位置是，由勾股定理得，（厘米），當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，（厘米），∴（厘米），∴滑塊B滑動(dòng)的距離為：（厘米），故答案為：9．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用勾股定理求出，則可得，再利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸關(guān)系即可得出答案．解：點(diǎn)A表示的數(shù)為0，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，∴，∵，∴由勾股定理，得，，∴，∵點(diǎn)P在數(shù)軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理和用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．45【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．（1）設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）連接，則易得，；由勾股定理求出，再由等腰三角形性質(zhì)及勾股定理求得，即可得結(jié)果．（1）解：設(shè)，，，．，，∴，．（2）解：如圖，連接．

∵，∴；∵，∴，∴；，；，，由勾股定理得：，．16．10【分析】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．解：如圖，將杯子側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則即為最短距離，圓柱形玻璃杯底面周長(zhǎng)為，杯底的點(diǎn)處，沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，，，，，故答案為：10．17．/【分析】此題考查了勾股定理，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)A，利用勾股定理求出，利用面積法求出的長(zhǎng)，勾股定理求出，得到，再根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)A，

∵是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．18．3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）在直角三角形紙片中，，勾股定理求得，如圖1中，設(shè)，則，，在中，勾股定理即可求解；（2）設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)折疊可得，證明，在中，勾股定理求得，進(jìn)而證明，即可求解．解：（1）在直角三角形紙片中，，∴，如圖1中，設(shè)，則，，根據(jù)折疊可得，，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．（2）∵折疊，∴，，∴；在圖2中，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)折疊可得，

∴，又∵，∴，∴，∴；∴設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴；在圖3中，∵，∴，∴；在中，，∴，∴，∴，∴；∵，∴；故答案為：．19．（1）見(jiàn)分析；（2）6【分析】本題考查了作圖，平行線的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握基本作圖以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）在的上方作，在射線上截取，使，點(diǎn)D即為所求；（2）過(guò)A作于H，設(shè)交直線于G，分別求出，可得結(jié)論解：（1）如圖所示（2）過(guò)A作于H，設(shè)交直線于G，，，，，由，，解得，，點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，，，，是線段的垂直平分線，在中，，，，，20．或【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對(duì)稱(chēng)，勾股定理．分點(diǎn)在軸正半軸上和點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，兩種情況，進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解．解：當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，如圖：設(shè)交軸于點(diǎn)，則：四邊形均為長(zhǎng)方形，∵長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是和，∴，，，∵翻折，∴，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，即：，∴，即：；當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)：如圖同法可得，∴，設(shè)，則，在中，，即：，∴，即：，綜上：或．21．（1）見(jiàn)分析；（2）2；（3）【分析】（1）首先證得，利用全等三角形的判定定理即可得解；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可得，可得，由勾股定理可得，進(jìn)一步計(jì)算可得結(jié)果；（3）由（1）得，可得，利用勾股定理得到，可得，進(jìn)一步計(jì)算可得結(jié)果；解：（1）證明：∵，∴，∵，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，在和中，∴；（2）解：由（1）得，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得；（3）解：由（1）得，，，整理得，即，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，，解得，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和全等三角形的性質(zhì)與判定，結(jié)合勾股定理計(jì)算是解題的的關(guān)鍵．22．（1）著火點(diǎn)灑水影響，見(jiàn)分析；（2）著火點(diǎn)能被撲滅，見(jiàn)分析【分析】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而等面積法求得長(zhǎng)度，與500進(jìn)行比較即可求得答案；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)飛機(jī)的速度得到飛行時(shí)間，再根據(jù)題意求得滅火時(shí)間，即可解決問(wèn)題