2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線(xiàn)的方程3.3.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.3.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.(多選題)對(duì)拋物線(xiàn)y=18x2,下列描述正確的是 (A.開(kāi)口向上,焦點(diǎn)為(0,2)B.開(kāi)口向右,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1C.開(kāi)口向右,焦點(diǎn)為1D.開(kāi)口向上,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-22.已知拋物線(xiàn)C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0等于(A.4 B.2 C.1 D.83.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到直線(xiàn)BC與直線(xiàn)C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 ()A.直線(xiàn) B.圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)4.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),M32,3是C上一點(diǎn),則線(xiàn)段OF的長(zhǎng)度為()A.9 B.92 C.3 D.5.已知拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線(xiàn)PF與拋物線(xiàn)C的一個(gè)交點(diǎn),若FP=4FQ,則|QF|等于()A.72 B.5C.3 D.26.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,雙曲線(xiàn)C:x23-y2=1的焦距為;若雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,則實(shí)數(shù)p的值為7.已知拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1,到直線(xiàn)l:4x-3y+11=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為.

8.若拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是x軸,點(diǎn)P(-5,25)到焦點(diǎn)的距離是6,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,且|MF|=6,FM的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N.若M為線(xiàn)段FN的中點(diǎn),則p=()A.22 B.4 C.6 D.810.拋物線(xiàn)y2=16x的焦點(diǎn)到圓C:x2+(y-3)2=1上的點(diǎn)的距離的最小值為()A.0 B.4 C.5 D.611.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,圓M:(x-1)2+y2=1,點(diǎn)A(3,1),P為拋物線(xiàn)y2=2x上隨意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線(xiàn)PB,B為切點(diǎn),則|PA|+|PB|的最小值是.

12.設(shè)P是拋物線(xiàn)y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-1的距離為d,點(diǎn)A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若點(diǎn)B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.13.已知拋物線(xiàn)C:x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)F作斜率不為0的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于M,N兩點(diǎn),直線(xiàn)y=-1分別交直線(xiàn)OM,ON于A,B兩點(diǎn),求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).參考答案學(xué)習(xí)單元3拋物線(xiàn)3.3.1拋物線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.AD拋物線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式為x2=8y,可得其開(kāi)口向上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-2.2.C如圖,易知點(diǎn)F14,0,準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-14.過(guò)點(diǎn)A作AA'⊥l,垂足為A',則|AF|=|AA'|,即54x0=x0+14,解得x0=3.D由題意,知直線(xiàn)C1D1⊥平面BB1C1C,則C1D1⊥PC1,即|PC1|就是點(diǎn)P到直線(xiàn)C1D1的距離,那么點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離等于它到點(diǎn)C1的距離,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn).4.D由M32,3是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn),得32=3p,解得p=3,所以|OF|=p2=325.C過(guò)點(diǎn)Q作QQ'⊥l于點(diǎn)Q',如圖.∵FP=4FQ,∴|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為4,∴|QF|=|QQ'|=3.6.44在雙曲線(xiàn)C:x23-y2=1中,a2=3,b2∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.∵雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合,∴在拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)中,p2=c,即p=47.3拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于到焦點(diǎn)F的距離,所以過(guò)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)4x-3y+11=0的垂線(xiàn),則點(diǎn)F到直線(xiàn)4x-3y+11=0的距離為d1+d2的最小值,如圖所示,故(d1+d2)min=|4-0+118.解設(shè)焦點(diǎn)為F(a,0),依題意有|PF|=(a+5)2+20=6,即a2+10a+9=0,解得當(dāng)焦點(diǎn)為F(-1,0)時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向左,其方程為y2=-4x;當(dāng)焦點(diǎn)為F(-9,0)時(shí),拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向左,其方程為y2=-36x.綜上,拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4x或y2=-36x.9.D如圖,過(guò)點(diǎn)M作MA⊥y軸于點(diǎn)A,交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)B,由題意得Fp2,0,設(shè)Mn22p,n,由拋物線(xiàn)的定義可知,|MF|=|MB|=n22p因?yàn)镸為線(xiàn)段FN的中點(diǎn),所以|AM|=12|OF|,所以n22p=p4,將其代入n2故選D.10.B拋物線(xiàn)y2=16x的焦點(diǎn)為F(4,0),圓C:x2+(y-3)2=1的圓心C(0,3),半徑為r=1,|FC|=42+32=5,則拋物線(xiàn)y2=16x的焦點(diǎn)F到圓C上的點(diǎn)的距離的最小值為|FC|-r=5-故選B.11.3設(shè)點(diǎn)P(x,y),可得y2=2x,圓M:(x-1)2+y2=1的圓心M(1,0),半徑為1,連接PM,如圖所示,|PB|=|PM(x-即|PB|等于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離.過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線(xiàn),垂足為K,可得A,P,K三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),|PA|+|PB|取得最小值|AK|=3,故|PA|+|PB|的最小值為3.12.解(1)依題意,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1.由已知及拋物線(xiàn)的定義,可知|PF|=d,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值.由平面幾何學(xué)問(wèn),知當(dāng)F,P,A三點(diǎn)共線(xiàn)且P位于A,F中間時(shí),|PA|+|PF|取得最小值,最小值為|AF|=5,即|PA|+d的最小值為5.(2)把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2=4x中,得y=±23,因?yàn)?3>2,所以點(diǎn)B在拋物線(xiàn)的右側(cè).過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1(如圖所示).由拋物線(xiàn)的定義,可知|P1Q|=|P1F|,則|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值為4.13.(1)解因?yàn)辄c(diǎn)(2,-1)在拋物線(xiàn)C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=1.(2)證明易知直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-1(k≠0),聯(lián)立y=kx-1,x2=-4y,得x2+4設(shè)點(diǎn)Mx1,-x124,Nx2,-x224,則x1+x2=-4k,x1x2=-直線(xiàn)OM的方程為y=-x124x1x,令y=-1,得x=