滬教版6年級(jí)數(shù)學(xué)1.1：整數(shù)與整除的意義(講義)

第1講：整數(shù)與整除【講義】主講內(nèi)容：〔1〕整數(shù)：整數(shù)及其分類〔正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、自然數(shù)等〕；〔2〕整除的概念：整除及其判斷方法；一：整數(shù)首先我們來(lái)復(fù)習(xí)回憶一下小學(xué)學(xué)過(guò)的有關(guān)整數(shù)的相關(guān)知識(shí)。如以下圖所示，是某超市貨架上擺放的商品，你能數(shù)出玉米和蘋果的個(gè)數(shù)各是多少嗎？從圖中，我們不難看出，玉米的個(gè)數(shù)為7個(gè)，蘋果的個(gè)數(shù)是4個(gè)。在這里我們得到的數(shù)字7和4都屬于整數(shù)，嚴(yán)格來(lái)講它們應(yīng)該叫作正整數(shù)。那么什么是正整數(shù)呢？正整數(shù)：我們用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3，4，5…叫做正整數(shù)。生活中，我們都會(huì)用到正整數(shù)。比方日歷表中的日期都是用正整數(shù)表示的〔如以下圖所示〕；月份、星期等也都是用正整數(shù)表示的。有正整數(shù)就有負(fù)整數(shù)，那么什么是負(fù)整數(shù)呢？負(fù)整數(shù)：如果我們?cè)谡麛?shù)1，2，3，4，5…的前面添加符號(hào)“－”，得到的數(shù)－1，－2，－3，－4，－5…叫做負(fù)整數(shù)。其中符號(hào)“－”叫做負(fù)號(hào)。比照正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是相互對(duì)應(yīng)的，不同的只是符號(hào)。負(fù)整數(shù)是在對(duì)應(yīng)的正整數(shù)前面添加“－”得到的。仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中都不包含零。這說(shuō)明，零既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是一個(gè)特殊的整數(shù)。零通常用來(lái)表示沒(méi)有物體，比方我們說(shuō)“教室有0個(gè)同學(xué)”，意思就是“教室每人”；零還可以表示描述事物中某種量的基準(zhǔn)數(shù)，例如我們?cè)谟?jì)算溫度時(shí)，都是將0攝氏度作為溫度的基準(zhǔn)點(diǎn)，其他溫度都是相對(duì)于這個(gè)溫度來(lái)說(shuō)的。零的意義：〔1〕表示沒(méi)有物體；〔2〕表示計(jì)量過(guò)程中某種量的基準(zhǔn)數(shù)；這樣我們就把整數(shù)分成了三類數(shù)，分別是：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零。因此，我們把正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)。用圖可以表示為：另外，數(shù)學(xué)中把零和正整數(shù)合在一起，統(tǒng)稱為自然數(shù)。自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)〔為什么將它們稱為自然數(shù)呢？是因?yàn)檫@些數(shù)是我們?cè)跀?shù)數(shù)時(shí)自然產(chǎn)生的，因此才叫做自然數(shù)〕。所以整數(shù)又可以用以下圖來(lái)表示：*注意：正整數(shù)和負(fù)整數(shù)是相互對(duì)應(yīng)的，負(fù)整數(shù)是在正整數(shù)的前面加上“－”得到的。為了和負(fù)整數(shù)相區(qū)別，正整數(shù)前面也可以加上正好“＋”，但一般可以省略不寫。如果我們從0開(kāi)始，逐次加1，就能得到一列以0為首的自然數(shù)，并且如果我們這樣一直加下去，就會(huì)不斷得到下一個(gè)自然數(shù)、下下一個(gè)自然數(shù)，這個(gè)過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，得到的自然數(shù)是沒(méi)有盡頭的，可見(jiàn)自然數(shù)是無(wú)窮無(wú)盡的，也就是說(shuō)沒(méi)有最大的自然數(shù)。如以下圖所示：同樣，如果我們從0開(kāi)始，逐次減1，便能依次得到所有的負(fù)整數(shù)，并且這樣一直進(jìn)行下去，我們得到的負(fù)整數(shù)也是沒(méi)有盡頭的，可見(jiàn)負(fù)整數(shù)也是無(wú)窮無(wú)盡的，也就是說(shuō)根本沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù)。如以下圖所示：通過(guò)上面的分析，我們也不難看出，任意兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間相差1.思考題：1.是否有最小的自然數(shù)？2.是否有最大的正整數(shù)和最小的正整數(shù)？最大的負(fù)整數(shù)和最小的負(fù)整數(shù)呢？3.有多少個(gè)自然數(shù)？正整數(shù)？負(fù)整數(shù)？練習(xí)1：將以下各數(shù)進(jìn)行歸類。12，－7，0，0.4，－23，91，－8.75正整數(shù)：______________________________________________________；負(fù)整數(shù)：______________________________________________________；整數(shù)：______________________________________________________；練習(xí)2：判斷對(duì)錯(cuò)?！?〕自然數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的?！病场?〕0既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)。〔〕最小的整數(shù)是1.〔〕練習(xí)3：在以下各組數(shù)中，4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是：A.，0，1，2B.0，1，2，3C.10，12，14，16D.3，5，7，9二：整除〔一〕整除例題1：下面兩組算式中的被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)，算一算它們的運(yùn)算結(jié)果有什么不同？〔1〕〔2〕通過(guò)計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)，第一組中的算式，所得到的商都是整數(shù)，余數(shù)都為0；第二組中的算式，所得到的商要么是小數(shù)，要么除不盡。整除：在數(shù)學(xué)中，如果整數(shù)a除以整數(shù)b，除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說(shuō)a能被b整除；或者說(shuō)b能整除a。例如：24÷2＝12，我們就說(shuō)24能被2整除，或者說(shuō)2能整除24；21÷3=7，我們就說(shuō)21能被3整除，或者說(shuō)3能整除21；6÷5=1…1，我們就說(shuō)6不能被5整除，或者說(shuō)5不能整除6；在整除的概念中，我們要注意區(qū)別“除以”和“除”，“能”和“能被”的區(qū)別：〔1〕“除以”和“除”含義不同：a除以b，a是被除數(shù)，b是除數(shù)；a除b，這時(shí)b是被除數(shù)，a是除數(shù)；〔2〕“能”和“能被”含義不同：a能整除b，b是被除數(shù)，a是除數(shù)；a能被b整除，a是被除數(shù)，b是除數(shù)；練習(xí)：判斷以下哪一個(gè)算式的被除數(shù)能被除數(shù)整除？〔1〕10÷3〔2〕48÷8〔3〕6÷4注意：整除必須滿足以下兩個(gè)條件：〔1〕除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；〔2〕被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)且余數(shù)為零；以上兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，否那么就不是整除。我們可以記作一句話，即：三整余零，才整除。練習(xí)1：以下算式屬于整除的是：A.2.6÷1.3=2B.26÷13=2C.23÷13=1…10D.26÷130=0.2練習(xí)2：在以下各組數(shù)中，如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，請(qǐng)?jiān)诤竺娲颉啊獭?，不能整除的打“×”?！?〕72和36〔2〕17和34〔3〕20和5〔4〕0.5和5〔5〕18和3〔6〕19和38〔7〕0.2和4〔8〕17和3除盡與整除在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，除了有“整除”還有“除盡”，那么二者又怎樣的區(qū)別呢？“整除”指的是被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，余數(shù)為零。例如：4÷2=2“除盡”指的是被除數(shù)、除數(shù)和商不一定為整數(shù)，但余數(shù)為零。例如：2.5÷5=0.5可見(jiàn)整除是除盡的一種特殊情況，它要求被除數(shù)、除數(shù)和商都為整數(shù)，而除盡那么沒(méi)有這種要求。也就是說(shuō)：但凡整除的一定能除盡，但除盡的不一定能整除。練習(xí)1：從以下算式中選擇適當(dāng)?shù)乃闶教钊胂鄳?yīng)的圈內(nèi)。練習(xí)2：以下算式屬于整除的是：A.B.C.D.三：本堂總結(jié)1、整數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱整數(shù)；2、正整數(shù)：用來(lái)表示事物個(gè)數(shù)的1、2、3....等叫做正整數(shù)；3、負(fù)整數(shù)：在正整數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“—”所得到的數(shù)叫做負(fù)整數(shù)；4、自然數(shù)：0和正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)；5、整數(shù)的分類，可用以下兩個(gè)圖來(lái)表示：整除：在數(shù)學(xué)中，如果整數(shù)a除以整數(shù)b，得到的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說(shuō)a能被b整除；或者說(shuō)b能整除a。整除必須滿足的條件〔三整余零，才整除〕：〔1〕除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；〔2〕被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)且余數(shù)為零；8、“除以”和“除”，“能”和“能被”的區(qū)別：〔1〕“除以”和“除”含義不同：a除以b，a是被除數(shù)，b是除數(shù)；a除b，這時(shí)b是被除數(shù)，a是除數(shù)；〔2〕“能”和“能被”含義不同：a能整除b，b是被除數(shù)，a是除數(shù)；a能被b整除，a是被除數(shù)，b是除數(shù)；9、“整除”和“除盡”的關(guān)系和區(qū)別：“整除”指的是被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，余數(shù)為零。例如：4÷2=2“除盡”指的是被除數(shù)、除數(shù)和商不一定為整數(shù)，但余數(shù)為零。例如：2.5÷5=0.5可見(jiàn)整除是除盡的一種特殊情況，它要求被除數(shù)、除數(shù)和商都為整數(shù)，而除盡那么沒(méi)有這種要求。也就是說(shuō)：但凡整除的一定能除盡，但除盡的不一定能整除。規(guī)律總結(jié)：〔1〕0既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)；〔2〕0是最小的自然數(shù)；1是最小的正整數(shù)；是最大的負(fù)整數(shù)；〔3〕沒(méi)有最大的整數(shù)，也沒(méi)有最小的整數(shù)；沒(méi)有最大的正整數(shù)，也沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù)；〔4〕我們所講的整除在初中階段限定在正整數(shù)范圍內(nèi)考慮；達(dá)標(biāo)訓(xùn)練一：根底穩(wěn)固判斷題〔對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”〕〔1〕0是最小的自然數(shù)?！病痴麛?shù)是自然數(shù)?！病痴麛?shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)?！病痴麛?shù)包括自然數(shù)和負(fù)整數(shù)。〔〕對(duì)于12÷4=3，我們可以說(shuō)____________能被___________整除；也可以說(shuō)________能整除_________；__________、__________和__________都是整數(shù)。在以下除法算式中，被除數(shù)能被除數(shù)整除的是：A.B.C.D.在以下各組數(shù)中，第一個(gè)數(shù)不能被第二個(gè)數(shù)整除的是：A.51和3B.21和7C.18和1D.4和0.5以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是：A.小數(shù)一定比整數(shù)小B.1是最小的整數(shù)C.a÷b的商是整數(shù)，那么a能被b整除D.負(fù)整數(shù)和自然數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)以下各組數(shù)中，如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，請(qǐng)?jiān)诤竺娴睦ㄌ?hào)內(nèi)打“√”?！?〕50和25〔〕〔2〕16和32〔〕〔3〕2.1和0.3〔〕〔4〕15和4〔〕〔5〕13和3〔〕〔6〕18和6〔〕二：綜合應(yīng)用從以下數(shù)中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)填入相應(yīng)的橫線上：1025%270.356自然數(shù)：__________________________________________________；負(fù)整數(shù)：__________________________________________________；整數(shù)：__________________________________________________；把下面的算式填入相應(yīng)的橫線上：整除：________________________________________________________；