六年級(jí)奧數(shù)工程問(wèn)題含答案

工程問(wèn)題

夏便倒我

一'基本概念

(1)工作總量

完成某一項(xiàng)工程所需的所有工作的數(shù)量和，常用“1”來(lái)表示.

(2)工作時(shí)間

(3)工作效率

單位時(shí)間內(nèi)所完成的工作量

二、基本關(guān)系

工作量=工作效率X工作時(shí)間

【提示】三者之間的關(guān)系，可以類比路程、速度和時(shí)間的關(guān)系.

三、常用工具和方法

(1)基本關(guān)系

(2)整體化歸思想

(3)對(duì)比分析的方法

S3咫盛

(D重點(diǎn)：利用整體化歸思想和對(duì)比分析方法解決較為復(fù)雜的工程問(wèn)題

(2)難點(diǎn)：復(fù)雜問(wèn)題中整體化歸思想、比例思想、方程思想與對(duì)比分析方法的綜合運(yùn)用

一、根據(jù)基本關(guān)系解題

【例1】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要28天時(shí)間，乙單獨(dú)做需要21天時(shí)間，如果甲、乙合作需要多

少時(shí)間？

【考點(diǎn)】工程應(yīng)用題【難度】1星【題型】解答

【解析】將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的工，乙每天完成總量的工，兩

2821

人合作每天能完成總量的上+,=工，所以兩人合作的話，需要1+工=12天能夠完成.

28211212

【答案】12

【鞏固】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要21天時(shí)間，甲、乙合作需要12天時(shí)間，如果乙單獨(dú)做需要多少時(shí)間？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】1星【題型】解答

【解析】將整個(gè)工程的工作量看“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的工，甲、乙合作每天完成總量的工，

2112

乙單獨(dú)做每天能完成總量的所以乙單獨(dú)做28天能完成.

122128

【答案】—

28

【例2】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成需40天。若乙隊(duì)先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作，又需20

天可完成.如果乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程，則需天.

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，六年級(jí)，一試

【解析】甲每天完成甲乙合作中，甲一共完成衛(wèi)=工，所以乙也一共完成工，乙每天完成1乙單

40402260

獨(dú)做要60天.

【答案】60天

【鞏固】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單

獨(dú)做15天完成.問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答

110

【解析】方法一：甲的工作效率為一，甲隊(duì)8天的工作量為--x8=*,所以乙隊(duì)15天的工作量為

20205

9331

1--=—,乙的工作效率為一+15=—，所以乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要25天

55525

方法二：此題可以運(yùn)用化歸思想解決，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲的

44

—,乙獨(dú)做的時(shí)間為20+—=25（天）。

55

【答案】25天

二、運(yùn)用整體化歸思想解題

【例3】有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)，搬運(yùn)完一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需6小時(shí)，乙需7小時(shí)，丙需14小時(shí)。甲、乙

同時(shí)開(kāi)始各搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物。開(kāi)始時(shí)，丙先幫甲搬運(yùn)，后來(lái)又去幫乙搬運(yùn)，最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)

的貨物同時(shí)搬完。則丙幫甲小時(shí)，幫乙小時(shí)。

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，六年級(jí)，二試

【解析】整個(gè)搬運(yùn)的過(guò)程，就是甲、乙、丙三人同時(shí)開(kāi)始同時(shí)結(jié)束，共搬運(yùn)了兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，所以它們

完成工作的總時(shí)間為2+工一+—小時(shí)

67

在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙各自在某一個(gè)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)搬運(yùn)，丙則在兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)都搬運(yùn)過(guò).

甲完成的工作量是±1xQ3i='7，所以丙幫甲搬了i—7」=1上的貨物，丙幫甲做的時(shí)間為1J_+-1L=i1±小

648888144

時(shí)，那么丙幫乙做的時(shí)間為371一1三3=3七1小時(shí).

442

【答案】3工小時(shí)

2

【鞏固】一池水，甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)，5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)灌滿.現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小

時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能灌滿.乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以灌滿？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同

時(shí)開(kāi)2小時(shí)灌滿“，我們可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí)，第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開(kāi)，第二

個(gè)2小時(shí)和丙同時(shí)開(kāi)，第三個(gè)2小時(shí)乙管單獨(dú)開(kāi).這樣就變成了甲、乙同時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙、丙同

時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙單獨(dú)開(kāi)2小時(shí)，正好灌滿一池水.可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為

1--X2--X2=—,所以乙的工作效率為：工+（6-2-2）=工，所以整池水由乙管單獨(dú)灌水，

54101020

需要1+,=20（小時(shí)）.

20

【答案】20小時(shí)

【例4】一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍.上午去

2

甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有」7的人去甲工地.其他工人到乙工

12

地.到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天，那么這批工人有多

少人？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意，這批工人的人數(shù)是12的倍數(shù)，設(shè)這批工人有12x人.

那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7尤人在甲工地，有5x人在乙工地.所以甲

工地相當(dāng)于（9x+7尤）+2=8無(wú)人做了一整天；乙工地相當(dāng)于（3x+5尤）+2=4x人做了一整天.

3

由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的—倍，假設(shè)甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作

2

331

量是2份.8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成二份，所以乙工地還剩下2-及=±

222

份.這;份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4x13-gj=24人做一整天，即8x=24,

可得x=3,那么這批工人有12義3=36（人）.

【答案】36人

【鞏固】甲、乙、丙三隊(duì)要完成A,8兩項(xiàng)工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加!，如果讓甲、

4

乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成A工程所需要的時(shí)間分別是20天，24天，30天.現(xiàn)在讓甲隊(duì)做4工

程，乙隊(duì)做8工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做8工程若干天，然后再與甲

隊(duì)合做A工程若干天?問(wèn)丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中有兩個(gè)不同的工程，三個(gè)不同的人，因此顯得很難解決，數(shù)學(xué)中化歸的思想很重要，

即以一個(gè)為基準(zhǔn)，把其他的量轉(zhuǎn)化為這個(gè)量，然后進(jìn)行計(jì)算，我們不妨設(shè)A工程的工作總量為單

位“1”，那么3工程的工作量就是“*"，那么這個(gè)問(wèn)題就和例5聯(lián)系到了一起了。

4

三隊(duì)合作完成兩項(xiàng)工程所用的天數(shù)為：。+口/工+1-+，］=18天。18天里，乙隊(duì)一直在完

14）（202430J

13

成B工作，因此乙的工作量為一xl8=—,8剩下的工作量應(yīng)該是由丙完成，因此丙在8工程上

244

用了=15天也就是說(shuō)兩隊(duì)合作了15天。

（44）30

解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率x工作時(shí)間=工作總量，表示出

各個(gè)工程隊(duì)（人員）或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率.

【答案】15天

【例5】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成.若甲先做1小時(shí)，然后乙接

替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，......，兩人如此交替工作，請(qǐng)問(wèn)：完成任務(wù)時(shí)，共

用了多少小時(shí)？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】①若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？

1+=14--=7-（小時(shí)）.

365

②甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？

11=1-乏1

l-7x------1------

12183636

③余下的1-由甲獨(dú)做需要多少小時(shí)？

36

111

---2----（-小時(shí)）.

3612-3

④共用了多少小時(shí)？

7x2+-=14-（小時(shí)）.

33

在工程問(wèn)題中，轉(zhuǎn)換條件是常用手法.本題中，甲做1小時(shí)，乙做1小時(shí)，相當(dāng)于他們合作1小

時(shí)，也就是每2小時(shí)，相當(dāng)于兩人合做1小時(shí).這樣先算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小時(shí)，

余下部分問(wèn)題就好解決了.

【答案】14^小時(shí)

3

【鞏固】蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需3小時(shí)，單開(kāi)丙管

需要5小時(shí)，要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需要6小時(shí)，現(xiàn)在池內(nèi)有！的水，

6

若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁......的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】5星【題型】解答

11117171

【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開(kāi)1小時(shí)可進(jìn)水：----+----=—，循環(huán)5次后水池還空：1--------x5=—,

3456606604

111333

-的工作量由甲管注水需要：一千—=—（小時(shí)），所以經(jīng)過(guò)4x5+—=20—小時(shí)后水開(kāi)始溢出水池.

443444

【答案】20-

4

三、運(yùn)用對(duì)比分析方法解題

【例6】一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨(dú)做需要30天完成,

那么如果甲、乙、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答

【解析】如果將整個(gè)工程的工作量看做單位“1”,從條件中我們很容易看出：甲+乙=2，乙+丙=工，

2015

乙=,因此不難得到丙的工作效率為工-2=-L,因此三個(gè)人的工作效率之和為,

30153030203012

也就是說(shuō)，三個(gè)人合作需要12天可以完成。

本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效.但

是這樣做比較麻煩，事實(shí)上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了.

【答案】12天

【鞏固】一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨(dú)做需要36天完成，那么

如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天?

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】2星【題型】解答

【解析】法一：和上題類似，我們可以有：甲+乙=!,乙+丙='丙=」不難求得，乙的工作效率

91236

為分?因此甲的工作效率為工--1-—,從而甲丙合作的工作效率為二-+1=工,

91818361812

即甲丙合作12天能完成。

法二：仍然觀察上面那三個(gè)等式，我們能否不求出每個(gè)人的工作效率，而通過(guò)整體的運(yùn)算直接得

至I“甲+丙”的值呢？

不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：（甲+乙+丙x2）-（乙+丙）=甲+丙，也就

是說(shuō)：甲+丙=」+」-*2-,二工，所以甲丙合作12天能完成。

9361212

【答案】12天

【例7】一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：

甲5天乙20天

-----------------------------------------人-----------------------------------------

??---------乙12天--------->

O$-0

**---------甲15天---------*

1___________________人J

Yy

甲20天乙8天

從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4

天的工作量.于是可用“乙工作4天”等量替換題中"甲工作5天”這一條件，通過(guò)此替換可知乙單

獨(dú)做這一工程需要20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是.

24

4

又因?yàn)橐夜ぷ?天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的1,為

—x-=—,那么甲、乙合作完成這一工程需要的時(shí)間為1+（」-+,）=132（天）.

2453024303

【答案】13^天

3

【鞏固】一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成；甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完

成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，甲做8-6=2小時(shí)的工作量等于乙做12-6=6小時(shí)的工作量，

可見(jiàn)甲做1小時(shí)的工作量等于乙做3小時(shí)的工作量.

那么可以用乙做3小時(shí)來(lái)代換甲做1小時(shí)，可知乙完成全部工作需要6x3+12=30小時(shí)，

甲先做的3小時(shí)相當(dāng)于乙做了9小時(shí)，所以乙還需要30-9=21小時(shí).

【答案】21小時(shí)

【例8】一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、

乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2（倍），甲、乙合

作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3

倍.乙做13天，甲只要上天，丙做13天，乙要26天，而甲只要竺天他們共同做13天的工作量，

33

由甲單獨(dú)完成，甲需要13+上+生=26天

33

【答案】26天

【鞏固】抄一份書(shū)稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙

每天工作效率和的L如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨(dú)抄需要多少天才能完成？

5

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成書(shū)稿的工，又已知甲每天抄寫(xiě)量等于乙、丙兩人每天抄寫(xiě)量之和，

8

因此甲兩天抄寫(xiě)書(shū)稿的工，即甲每天抄寫(xiě)書(shū)稿的工；由于丙抄寫(xiě)5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從

816

而丙6天抄寫(xiě)書(shū)稿的1,即丙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的」于是可知乙每天抄寫(xiě)書(shū)稿的1--1---1-=」-.

8488164824

所以乙一人單獨(dú)抄寫(xiě)需要1--=24天才能完成.

24

【答案】24天

【例9】放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3號(hào)閥門，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)2,3,4

閥門，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)1,3,4號(hào)閥門，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)

打開(kāi)1,2,4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成.問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3,4號(hào)閥門，那么多

少分鐘可以完成？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)條件，列表如下（畫(huà)。表示閥門打開(kāi)，畫(huà)x表示閥門關(guān)閉）：

1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)工作效率

1

OOOX

20

1

XOOO

21

1

OXOO

28

1

OOXO

30

從表中可以看出，每個(gè)閥門都打開(kāi)了三次，所以這4個(gè)閥門的工作效率之和為：

f—+—+—+—^4-3=—,那么同時(shí)打開(kāi)這4個(gè)閥門，需要1+工=18（分鐘）.

<20212830J1818

【答案】18分鐘

【例10】某工程如果由第一、二、三小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊(duì)合干需要7

天才能完成；如果由第二、四、五小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊(duì)合干

需要42天才能完成.那么這五個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】首先將各個(gè)小隊(duì)之間的組合列成表：

一隊(duì)二隊(duì)三隊(duì)四隊(duì)五隊(duì)工作效率

1

OOOXX

12

]_

OXOXO

7

]_

XOXOO

8

1

OXOOX

42

從表中可以看出，一隊(duì)、三隊(duì)在表中各出現(xiàn)3次，二隊(duì)、四隊(duì)、五隊(duì)各出現(xiàn)2次，那么，如果將

第二、四、五小隊(duì)的組合計(jì)算兩次，那么各種組隊(duì)的工作效率和中5個(gè)小隊(duì)都被計(jì)算了3次.所

以五個(gè)小隊(duì)的工作效率之和為：I—+-+-X2+—|-3=-,五個(gè)小隊(duì)一起合干需要1+工=6天.

(127842)66

【答案】6天

【例11】規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由

第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止.如果甲、乙輪流

做一個(gè)工程需要9.8小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需

要多少小時(shí)？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

甲乙甲乙甲1小時(shí)+乙08小時(shí)

【解析】根據(jù)題意，有：,可知，甲做1—0.6=04小時(shí)與乙做1-0.8=02小

乙甲乙甲乙1小時(shí)+甲0.6小時(shí)

時(shí)的工作量相等，故甲工作2小時(shí)，相當(dāng)于乙1小時(shí)的工作量.

所以，乙單獨(dú)工作需要9.8—5+5+2=73小時(shí).

【答案】7.3小時(shí)

【鞏固】公園水池每周需換一次水.水池有甲、乙、丙三根進(jìn)水管.第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、

丙.....的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，恰好在打開(kāi)水管整數(shù)小時(shí)后灌滿空水池.第二周他按乙、丙、

甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，灌滿一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、

乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，比第一周多用了15分鐘.第四周他三個(gè)管同時(shí)

打開(kāi)，灌滿一池水用了2小時(shí)20分，第五周他只打開(kāi)甲管，那么灌滿一池水需用小時(shí).

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

［解析】考慮水池減去甲乙丙兩小時(shí)總和后的容積，則此部分按照甲乙丙的順序灌剛好在整數(shù)小時(shí)后灌

滿，按照乙丙甲的順序灌少用15分鐘，按照丙乙甲的順序灌多用15分鐘，三個(gè)一起灌用20分

鐘.所以速度應(yīng)該是乙最快，甲居中，丙最慢.也就是說(shuō)，此部分是甲灌1個(gè)小時(shí)后灌滿.甲灌

1個(gè)小時(shí)的水=乙灌45分鐘的水=丙灌1個(gè)小時(shí)的水+乙灌15分鐘的水.所以灌水速度甲：乙：丙

=3：4：2,也就是甲剛好是平均數(shù).所以只用甲管灌滿需要7小時(shí).

【答案】7小時(shí)

【例12】一項(xiàng)工程，甲、乙合作12。小時(shí)可以完成，若第1小時(shí)甲做，第2小時(shí)乙做，這樣交替輪流做，

5

恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第1小時(shí)乙做，第2小時(shí)甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多!小

3

時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

【解析】若第一種做法的最后一小時(shí)是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個(gè)小時(shí)，那么第二種做法中甲、乙

用的時(shí)間應(yīng)與第一種做法相同，不會(huì)多!小時(shí)，與題意不符.所以第一種做法的最后一小時(shí)是甲

3

做的，第二種做法中最后!小時(shí)是甲做的，而這1小時(shí)之前的一小時(shí)是乙做的，所以乙+1甲=甲，

333

得乙二一甲.甲、乙工作效率之和為：1+12±二2,甲的工作效率為：--(1+-)=—,

35636336321

所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為1+1-=21(小時(shí)).

21

【答案】21小時(shí)

【鞏固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，

若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用工天；若按丙、甲、乙的順序每人輪

2

流工作一天，則比原計(jì)劃多用■天.己知甲單獨(dú)完成這件工作需10.75天.問(wèn)：甲、乙、丙一起

3

做這件工作，完成工作要用多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】5星【題型】解答

【解析】以甲、乙、丙各工作一天為一個(gè)周期，即3天一個(gè)周期.容易知道，第一種情況下一定不是完整

周期內(nèi)完成，但是在本題中，有兩種可能，第一種可能是完整周期+1天，第二種可能是完整周期

117

+2天.如果是第一種可能，有甲=乙+—丙=丙+—甲，得乙=丙=一甲.然而此時(shí)甲、乙、丙的

233

斗玄4a1f122、28〃大、4A人田廿口匕*28112.,-.11217k

效率和為----xId-----F—=----,經(jīng)過(guò)4個(gè)周期后元成---x4=-----,正剩下1--------=-----,而

10.75I33J129129129129129

141917

甲每天完成」一二上=上，所以剩下的士-不可能由甲1天完成，即所得到的結(jié)果與假設(shè)不符,

10.7543129129

所以假設(shè)不成立.

再看第二種可能：

完整周期不完整周期完成總工程量

〃〃

第一種情況n個(gè)周期甲1天，乙1天1

乙1天，丙1天，甲4天

第二種情況W個(gè)周期

2

丙1天，甲1天，乙,天〃1〃

第三種情況W個(gè)周期

3

1113

可得甲+乙=乙+丙+上甲=丙+甲+上乙，所以丙=士甲，乙甲.因?yàn)榧讍为?dú)做需10.75天，所

2324

443341?

以工作效率為上，于是乙的工作效率為上x(chóng)2=±,丙的工作效率為上x(chóng)±二已.

434344343243

43?9「9一

于是，一個(gè)周期內(nèi)他們完成的工程量為：+2+/=二.則需1?3=4個(gè)完整周期，剩下

4343434343」

o7

1-二x4=」的工程量；正好甲、乙各一天完成.所以第二種可能是符合題意的.于是，根據(jù)第

4343

9

二種可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是二，所以三人合作完成工作需

43

岳19433工

要1+——=——=4一天.

4399

7

【答案】4’天

9

四、綜合運(yùn)用多種思想解題

【例13】一批零件平均分給甲、乙兩人同時(shí)加工，兩人工作5小時(shí)，共完成這批零件的三。已知甲與乙

3

的工作效率之比是5:3,那么乙還要幾小時(shí)才能完成分配的任務(wù)？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

23111

【解析】乙5小時(shí)完成總工作量的』＞＜上=上;乙每小時(shí)完成總工作量的上+5=」-;乙需要完成的總工

35+34420

作量為工；乙要完成這個(gè)任務(wù)還需要的時(shí)間：-^—-5-5（小時(shí)）

2220

【答案】5小時(shí)

【鞏固】一項(xiàng)工程，甲15天做了，后，乙加入進(jìn)來(lái)，甲、乙一起又做了!，這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、乙、丙

44

一起做完.已知乙、丙的工作效率的比為3：5,整個(gè)過(guò)程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1,

問(wèn)題中情形下做完整個(gè)工程需多少天？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：I、n、m；且易知甲的工作效率為上.又乙、丙工作的

60

天數(shù)之比為（n+m）：m=2：1,所以有n階段和m階段所需的時(shí)間相等.即甲、乙合作完成的，的

4

工程與甲、乙、丙合作完成1-工-的工程所需的時(shí)間相等.所以對(duì)于工作效率有：（甲+

442

乙）x2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=二一.又有乙、丙的工作效率的比為3:5.易知乙的

60

35

工作效率為二丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為:

120120

,「1,13、1,1一

15+—+(——+——)+—+(—+——)=15+6+6=27天.

460120260120

方法二：顯然甲的工作效率為」-，設(shè)乙的工作效率為3元，那么丙的工作效率為5尤.所以有乙工

60

作的天數(shù)為-^（—+3x）+--（—+8%）,丙工作的天數(shù)為工+（」-+8元）.且有

460260260

-4-(—+.3)-+1―x+8—)=—2xvRl7—4-(―+3x)=—4-(―+8%),解得尤=^—.所以乙

4602602460260120

35

的工作效率為—,丙的工作效率為高—.那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：

120120

15+—十(——+2)+—+(——+2)=15+6+6=27天.

460120260120

【答案】27天

【例14】甲、乙、丙三村準(zhǔn)備合作修筑一條公路，他們?cè)?jì)劃按9:8:3派工，后因丙村不出工，將他承

擔(dān)的任務(wù)由甲、乙兩村分擔(dān)，由丙村出工資360元，結(jié)果甲村共派出45人，乙村共派出35人,

完成了修路任務(wù)，問(wèn)甲、乙兩村各應(yīng)分得丙村所付工資的多少元？

【考點(diǎn)】工程問(wèn)題【難度】4星【題型】解答

［解析］丙村出的360元錢是不是應(yīng)該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即45:35=9:7來(lái)進(jìn)行分配呢？我們仔

細(xì)思考一下，發(fā)現(xiàn)丙村所出的錢應(yīng)該是其他兩個(gè)村幫他完成的工作量，換句話說(shuō)，我們應(yīng)該考慮

的是甲乙兩村各幫丙村出了多少人，然后再計(jì)算如何分配。

9

甲、乙兩村共派出了45+35=80人，而這80人，按照原計(jì)劃應(yīng)是甲村派出80x---=36人，

9+8+3

乙村派出32人，丙村派出12人，所以，實(shí)際上甲村幫丙村派出了45-36=9人，乙村幫丙村派

出了35—32=3人，所以丙村拿出的360元錢，也應(yīng)該按9:3=3:1