新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2 .3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

第一課時(shí)一元二次不等式的解法

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不

等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)

從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)

實(shí)意義.

之間的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要性，重點(diǎn)

2.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不

提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

等式，并能用集合表示一元二次不等式

的解集.

課前預(yù)習(xí)■—，知識(shí)探究

教材知識(shí)探究

A情境引入

1.某雜志以每本2元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為10萬(wàn)冊(cè).經(jīng)過(guò)調(diào)查，若價(jià)格每提高

0.2元，發(fā)行量就減少5000冊(cè).要使雜志社的銷(xiāo)售收入大于22.4萬(wàn)元，每本雜志

的價(jià)格應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？

2.①已知三個(gè)方程：x2—4x+3=0;x2—4x+4=0;/—以+5=0.②已知三個(gè)函

數(shù)丁1=f一4x+3,券=%2—4X+4,y3=f—4x+5及三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象.

問(wèn)題1.觀察實(shí)例1中的不等式，指出其含未知數(shù)個(gè)數(shù)及未知數(shù)的次數(shù)？

2.觀察實(shí)例2,①中三個(gè)方程的解分別為xi=l,您=3；XI=%2=2；無(wú)解，②中

三個(gè)函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1,3；2；無(wú)交點(diǎn).由圖象觀察可知在②中三個(gè)

函數(shù)中，x分別取何值函數(shù)值為正、負(fù)？

提示設(shè)每本雜志價(jià)格提高x元，則發(fā)行量減少2.5x萬(wàn)冊(cè)，雜志社的銷(xiāo)售收入

為(2+x)(10—2.5x)萬(wàn)元.根據(jù)題意，得(2+力(10—2.5x)>22.4,即Sx2-10x+4.8<0,

解此不等式，最終得每本雜志的價(jià)格范圍.

1.只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2.對(duì)于第=%2—4x+3,當(dāng)x<l或x>3時(shí)，ji=x2—4x+3>0,當(dāng)l<x<3時(shí)，

—4x+3<0；對(duì)于第=%2—4%+4,當(dāng)xW2時(shí)，y2=x2—4x+4>0；對(duì)于2二％2一?

2

+5,當(dāng)x?R時(shí)，y3=x-4x+5>0.

A新知梳理

1.一元二次不等式的概念當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)要注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討

論

一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是爰的不等式，稱(chēng)為一元

定義

二次不等式

一般形式of+bx+c,。或其中Q,b,c均為常數(shù)，

ax2+Z?x+解集是使丁=。/+笈+c的函數(shù)值為正數(shù)的自變量X的

c>0(〃W0)取值集合

ax1-\-bx+解集是使丁二^^十法+。的函數(shù)值為負(fù)數(shù)的自變量X的

c<0(〃W0)取值集合

解集

ax2+/?x+解集是使y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于或等于0的自變

C20(QW0)量X的取值集合

ax2+/?x+解集是使y=依2+法+c的函數(shù)值小于或等于0的自變

CWO(QWO)量X的取值集合

2.“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、一元二次方程'一元二次不等式)的美系

“三個(gè)二次”之間的關(guān)系非常重要，它是研究函數(shù)、方程及不等式的關(guān)系的重栗

依據(jù)

4=廿一4〃c/>0J=0/<0

y=QX2+bx+二

3

C(Q>0)的圖象

ax1+bx-\-c=有兩個(gè)不相等的實(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)根

0(a>0)的根木艮XI,X2,且％1<X2根X1=X2=—若

QX2+Z?x+C>0(^>0)

或%>%2}［工』卻R

的解集

ax1-\~bx~\-c<0(〃>0)

——

的解集——

，教材拓展補(bǔ)遺

［微判斷］

1.不等式af+x—1<0是一元二次不等式.(X)

提示當(dāng)。W0時(shí)，以2+兀一1<0是一元二次不等式.

2.不等式/一5y<0是一元二次不等式.(X)

提示――5><o含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次不等式.

3.不等式X2-2X+3>0的解集為R.(V)

［微訓(xùn)練］

1.下面所給關(guān)于x的幾個(gè)不等式：①3x+4<0；②/+如；-1>0；@ax2+4x—7>0；

④f<0.其中一定為一元二次不等式的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析②④一定是一元二次不等式.

答案B

2.不等式(x+2)(x—3)>0的解集是.

答案{小>3或x<—2}

3.不等式一<2的解集是.

答案{x|—V2<X<A/2}

［微思考］

1.片。+2加+9>0(q0W0)可看作一元二次不等式嗎？

提示可以，把人看作常數(shù)，則是關(guān)于。的一元二次不等式；把?？醋鞒?shù)，則

是關(guān)于6的一元二次不等式.

2.一元二次不等式有哪些形式？

提示任意一個(gè)一元二次不等式都可以利用不等式的性質(zhì)變成二次項(xiàng)系數(shù)大于

。的形式，并且可以化為下列形式中的一種：

⑴。%2-\~bx~\-c>0(6z>0)；

(2)加-\~bx-\-c<0(〃>0)；

(3)加+/zx+C20(Q>0)；

(4)加+Z?x+cW0(Q>0).

3.一元二次不等式與一元二次函數(shù)有什么關(guān)系？

提示一元二次不等式。冗2+加；+0>0(〃>0)的解集就是一元二次函數(shù)y=a^+bx

+C(Q>0)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合；加+法+”0(〃>0)的解集就

是一元二次函數(shù)丁=加+6:+以〃〉。)的圖象在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)工的集合.

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一解不含參數(shù)的一元二次不等式

【例1】解下列不等式：

(1W—5x—6>0；(2)(2—x)(x+3)<0；

(3)4(2爐―2x+l)>x(4—x).

①先將系數(shù)化為正；②先對(duì)不等式變形，化為一端為零且二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形

式.

解(1)方程X2—5x—6=0的兩根為xi=—1,X2=6.

結(jié)合二次函數(shù)y=%2—5x—6的圖象知，原不等式的解集為｛x|x<—1或x>6｝.

(2)原不等式可化為(%—2)(x+3)>0.

方程(x—2)(x+3)=0的兩根為xi=2,X2=-3.

結(jié)合二次函數(shù)y=(x—2)(x+3)的圖象知，原不等式的解集為｛x|x<—3或x>2].

(3)由原不等式得Sx2—8x+4>4x—%2.

...原不等式等價(jià)于9^-12x+4>0.

2

解方程gr—izx+duo,得xi=x2=].

2

結(jié)合二次函數(shù)y=9f—12x+4的圖象知，原不等式的解集為｛小若｝.

規(guī)律方法解一元二次不等式的一般步驟

(1)把一元二次不等式化為基本形式(二次項(xiàng)系數(shù)為正，右邊為0的形式)；(2)計(jì)算

/=〃-4ac,以確定一元二次方程ax2+bx+c=O是否有解；(3)有根求根；(4)

根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.

【訓(xùn)練1】解下列不等式：

(1)2X2+5X-3<0；(2)—3f+6xW2；

(3)4X2-4X+1>0；(4)-X2+6X-10>0.

解(1)方程Zf+Sx—3=0的兩實(shí)根為xi=—3,X2=2，作出函數(shù)y=2f+5x—3

的圖象，如圖①.由圖可得原不等式的解集為kI—3<%<三.

(2)原不等式等價(jià)于3f—6x+220./=36—4X3X2=12>0,解方程3f—6x+2

=0,得xi=3',冗2=3、*.作出函數(shù)y=3f—6x+2的圖象,如圖②，由圖

可得原不等式的解集為'lxw't8或％三上號(hào)q.

(3).??方程4x2—4x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根xi=X2=f.作出函數(shù)y=4x2—4x+1

的圖象如圖③.由圖可得原不等式的解集為卜xWm.

(4)原不等式可化為%2—6x+10<0,

Vzl=36-40=-4<0,

方程%2—6x+10=0無(wú)實(shí)根，

???原不等式的解集為

題型二解含參數(shù)的一元二次不等式

考查分類(lèi)討論思想，找到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)做到不重不漏

[例2]解關(guān)于x的不等式(aCR)：

(1)2X2+GX+2>0；

(2)f—(tz+a2)x+tz3>0.

解(1)/=4—16,下面分情況討論：

①當(dāng)/<0,即一4<a<4時(shí)，方程Zf+ax+Z：。無(wú)實(shí)根，所以原不等式的解集為

R.

②當(dāng)/三0,即。三4或oW—4時(shí)，方程2g+依+2=0的兩個(gè)根為

當(dāng)a=—4時(shí)，原不等式的解集為｛x|xGR,且xWl｝；

當(dāng)a>4或a<—4時(shí)，原不等式的解集為

卜(-a-7a2—16)或(-a-\-yja2—16)j；

當(dāng)a=4時(shí)，原不等式的解集為｛x|x?R,且xW—1｝.

2

(2)將不等式%—((2+a2)x-\~(23>0變形為(X—Q)。：一/),。.

當(dāng)〃<0時(shí)，有a<a2,所以不等式的解集為｛x|x<〃或%>/｝；

當(dāng)〃=0時(shí)，〃=屋=0,所以不等式的解集為｛RxWO｝；

當(dāng)0<〃<1時(shí)，有a>a2,所以不等式的解集為｛x[x<〃2或x>〃｝；

2

當(dāng)。=1時(shí)，a=a=l9所以不等式的解集為｛RxWl｝；

當(dāng)a>l時(shí),有a<a2,所以不等式的解集為｛x|x<4或%>/｝.

規(guī)律方法解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

【訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式ax2—22x~ax(xR).

解原不等式可化為。r+m—2)x—2三0.

①當(dāng)〃=0時(shí)，原不等式化為％+lWO,解得—1.

②當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為Q—'|卜+1)三0,

2

解得尤2,或xW—l.

③當(dāng)a<Q時(shí)，原不等式化為(L，+l)W0.

22

當(dāng)今>—1,即〃<—2時(shí)，解得一14奇;

2

當(dāng)>—1,即a=—2時(shí)，解得x=—1滿(mǎn)足題意；

22

當(dāng)上T，即一2<a<0,解得々WxW—1.

綜上所述，當(dāng)。=0時(shí)，不等式的解集為｛x|xW―1｝；

當(dāng)a>Q時(shí)，不等式的解集為卜或xW—1]；

當(dāng)一2<a<0時(shí)，不等式的解集為卜太后一11；

當(dāng)a=—2時(shí)，不等式的解集為｛—1｝；

2

當(dāng)a<一2時(shí)，不等式的解集為｛x|一lWxW/｝.

題型三三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

[例3]已知關(guān)于x的不等式ax2+5x+c>0的解集為

g與3為原不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根，用根與系數(shù)的關(guān)系式求解

⑴求a,c的值；

(2)解關(guān)于x的不等式加+(〃。+2)%+2020.

解⑴由題意知不等式對(duì)應(yīng)的方程加+5》+。=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為g和/且。<°，

r——5——1-4,——1

a3十2’

由根與系數(shù)的關(guān)系，得〈?,

2y

解得a=—6,c=—1.

(2)由a——6,c=—1知不等式ax2~\~(ac-\~2)x~\~2c^0可化為一6x2+8x—220,

即3f—4x+lW0,解得gwxWl,所以不等式的解集為[xlgwxWl].

規(guī)律方法應(yīng)用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解題的思想

一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)、方程之間存在著密切的聯(lián)系，即給出了一元二

次不等式的解集，則可知不等式二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和相應(yīng)一元二次方程的根.在

解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

【訓(xùn)練3]已知關(guān)于%的不等式/十以+從。的解集為｛x[l<x<2｝,求關(guān)于％的

不等式1>0的解集.

解,.”2+4％+6<0的解集為{x[l<%<2},

方程―+依+人=。的兩根為1,2.

—<7=1+2,a=一3

由根與系數(shù)的關(guān)系得<得

力=1X2,[b=2,

代入所求不等式，得2x?—3尤+1>0.

解得或x>L

Z?x2+ax+1>0的解集為{x|x<g或%>1}.

核心素養(yǎng)全面提升；

一、素養(yǎng)落地

1.(1)通過(guò)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

⑵借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，

培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

(3)通過(guò)會(huì)解一元二次不等式培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.對(duì)字母系數(shù)分類(lèi)討論時(shí)，要注意確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，而且分類(lèi)時(shí)要不重不漏.一般

方法是：

(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí)，按二次項(xiàng)系數(shù)等于零、大于零、小于零三種情況進(jìn)

行分類(lèi).

(2)判別式大于零時(shí)，還需要討論兩根的大小.

(3)判別式不確定時(shí)，按判別式大于零、等于零、小于零三種情況討論.

3.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

⑴三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元

二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究.

⑵討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通

過(guò)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

二、素養(yǎng)訓(xùn)練

1.若不等式af+gox+ZlvO的解集是{》|一7<%<—1},那么a的值是()

A.lB.2

C.3D.4

解析由題意可知一7和一1為方程<7x2+8tzx+21=0的兩個(gè)根且a>Q,

—7X(—1)=—,故a=3.

答案C

2.不等式3x—10<0的解集是.

解析由于x2—3x—10=0的兩根為一2,5,故％2—3尤-10<0的解集為

｛x|—2<x<5｝.

答案｛x|—2<x<5｝

3.一元二次不等式?x2+2x-l<0的解集為R,則a的取值范圍是.

fa<0,a<0,

解析由題意知V,八a<—1.

IzKO,4+4tz<0,

答案{a\a<-l}

4.已知x=1在不等式Rx2—6依+820的解集內(nèi)，則k的取值范圍是

解析x=\在不等式6日+820的解集內(nèi)，把x=l代入不等式得諾一6k

+820,解得Z24或ZW2.

答案｛砥24或ZW2｝

5.解關(guān)于x的不等式％2—辦一2/<0.

解原不等式變形為(x—2a)(x+a)<0.

①若a>0,則一a<x<2a,此時(shí)不等式的解集為｛x[—a<x<2a｝；②若a<0,則2a<%<

—a,此時(shí)不等式的解集為｛x|2a<x<—a｝；③若a=0,則原不等式即為一<0,此

時(shí)解集為.

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.不等式9X2+6X+1W0的解集是()

A/jxxW一mB.卜一

C.D.jxx=—

解析原不等式可化為(3x+l)2W0,

SxH-1=0)**?x=—

答案D

2.若集合4={尤|(21+1)。一3)<0},2={x|x￡N*,無(wú)W5},則APB等于()

A.{1,2,3}B.{1,2}

C.{4,5}D.{1,2,3,4,5}

解析(2x+l)(x—3)<0,

-2Vx<3,

又x?N*且xW5,則x=l,2.

答案B

3.如果關(guān)于x的不等式》2<依+6的解集是{x[l<x<3},那么小等于()

A.-81B.81

C.-64D.64

解析不等式/<以十方可化為

[l+3=a,

x2—ax—b<0,其解集是{x[l<x<3},由根與系數(shù)的關(guān)系得，八。

〔1X3=一。，

解得a=4,b=—3；所以"=（一3）4=81.故選B.

答案B

4.若使+以+1有意義的x取值為實(shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.{Q|—2<Q<2}B.{a\a<-2或a>2}

C.{a\a^~2或〃22}D.{〃|—2W〃W2}

解析由題意知，12+〃冗+1三0的解集為R,「./WO,

即4—4W0,—2WoW2.

答案D

5.在R上定義運(yùn)算“?！保簞t滿(mǎn)足無(wú)。（%—2）<0的實(shí)數(shù)元的取

值范圍為（）

A.{x|0<x<2}B.{x|—2<x<1}

C.{x\x<-2或x>l}D.{x|—l<x<2}

解析根據(jù)給出的定義得，xO（x—2）=x（x—2）+2x+（x—2）=x2+x—2=（x+2）（x

一1）,又尤。（工一2）<o,則（％+2）a—i）<o,

故不等式的解集是3—2<x<l｝.

答案B

二'填空題

6.不等式一f+Sx*的解集是.

解析不等式一%2+5%>6變形為一―5X+6<0,

因式分解為(x—2)(x—3)<0,解得2<x<3.

不等式一f+5x>6的解集為｛尤12a<3｝.

答案｛x|2<x<3｝

7.不等式M》一。+1)>。的解集是｛木<—1或x>a｝其中a^—l,則a的取值范圍

為.

解析%(%—a+1)>?x+l)(x—a)>0.

,解集是或x>a｝,tz>—1.

答案｛a\a>—\]

8.關(guān)于尤的不等式(如一1)(九-2)>0,若此不等式的解集為卜|而令<2]，則機(jī)的取

值范圍是.

解析,不等式(s—l)(x—2)〉0的解集為H藐4<2、

.,.方程(如一l)(x—2)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、和2,

m<0,

且’1解得加<0,.,.加的取值范圍是｛加防<0｝.

g

答案｛m|m<0｝

三、解答題

9.求下列不等式的解集：

(1)2%2+7尤+3〉0；(2)—f+8x—3>0；

Q1

(3)x2-4x-5^0;(4)-4x2+18x-^0.

解(1)對(duì)于方程2f+7x+3=0,因?yàn)?=72—4X2X3=25>0,

所以方程2X2+7X+3=0有兩個(gè)不等實(shí)根XI=-3,%2=—

又二次函數(shù)y=2x2+7x+3的圖象開(kāi)口向上，

所以原不等式的解集為bX>—3或x<—

(2)對(duì)于方程一%2+8x—3=0,因?yàn)?=82—4X(—1)X(—3)=52>0,

所以方程-N+8x—3=0有兩個(gè)不等實(shí)根xi=4—^/13,%2=4+A/13.

又二次函數(shù)y=—f+8x—3的圖象開(kāi)口向下，

所以原不等式的解集為｛x|4—折<以4十回｝.

(3)原不等式可化為(x—5)(x+l)W0,

所以原不等式的解集為｛x|一1WXW5｝.

(4)原不等式可化為(2x—|jwo,

所以原不等式的解集為im

10.已知不等式x2+x—6<0的解集為A,不等式x2—2x~3<0