2025屆江西省九江市外國語學校數(shù)學九上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆江西省九江市外國語學校數(shù)學九上期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．方程的根是（）A．-1 B．0 C．-1和2 D．1和22．二次函數(shù)的圖象可以由二次函數(shù)的圖象平移而得到，下列平移正確的是（）A．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位B．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位C．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位D．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位3．如圖1，一個扇形紙片的圓心角為90°，半徑為1．如圖2，將這張扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，圖中陰影為重合部分，則陰影部分的面積為()A．1π﹣ B．1π﹣9 C．12π﹣ D．4．計算的值為()A．1 B．C． D．5．方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣1＝0中，當m取什么范圍內(nèi)的值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？（）A．m＞ B．m＞且m≠1 C．m＜ D．m≠16．如圖，的直徑垂直于弦，垂足是點，，，則的長為()A． B． C．6 D．127．方程x2﹣2x+3=0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根8．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過D點的切線PD與直線AB交于點P，則∠ADP的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．45°9．如圖，為的直徑，，為上的兩點.若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．10．.以3、4為兩邊長的三角形的第三邊長是方程x2-13x+40=0的根，則這個三角形的周長為（）A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不對二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則∠CAD＝_____．12．已知a、b、c滿足，a、b、c都不為0，則=_____．13．如圖，，分別是邊，上的點，，若，，，則______.14．如圖，將繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，若，則的度數(shù)是____．15．已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點P是BC上的一點，若∠APD=90°，則AP=_____．16．如圖，在菱形中，,,點,,分別為線段，，上的任意一點，則的最小值為__________．17．已知線段a=4，b=9，則a，b的比例中項線段長等于________．18．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，己知是的直徑，切于點，過點作于點，交于點，連接、.（1）求證：是的切線：（2）若，，求陰影部分面積.20．（6分）如圖，在△ABC中，點O為BC邊上一點，⊙O經(jīng)過A、B兩點，與BC邊交于點E，點F為BE下方半圓弧上一點，F(xiàn)E⊥AC，垂足為D，∠BEF＝2∠F．（1）求證：AC為⊙O切線．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半徑長．21．（6分）定義：點P在△ABC的邊上，且與△ABC的頂點不重合．若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（但不全等），則稱點P為△ABC的自相似點．如圖①，已知點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．（1）若點P的坐標為（2，0），求證點P是△ABC的自相似點；（2）求除點（2，0）外△ABC所有自相似點的坐標；（3）如圖②，過點B作DB⊥BC交直線AC于點D，在直線AC上是否存在點G，使△GBD與△GBC有公共的自相似點？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．22．（8分）我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為40元，若銷售價為60元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件設每件童裝降價x元時，平均每天可盈利y元．寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；當該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利400元？該專賣店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請說明理由．23．（8分）某軟件開發(fā)公司開發(fā)了A、B兩種軟件，每種軟件成本均為1400元，售價分別為2000元、1800元，這兩種軟件每天的銷售額共為112000元，總利潤為28000元．（1）該店每天銷售這兩種軟件共多少個？（2）根據(jù)市場行情，公司擬對A種軟件降價銷售，同時提高B種軟件價格．此時發(fā)現(xiàn)，A種軟件每降50元可多賣1件，B種軟件每提高50元就少賣1件．如果這兩種軟件每天銷售總件數(shù)不變，那么這兩種軟件一天的總利潤最多是多少？24．（8分）如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進30海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，求海島C到航線AB的距離CD的長（結(jié)果保留根號）．25．（10分）已知＝，求的值．26．（10分）已知：如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的A．B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（2,m)，點B的坐標為（n，－2），tan∠BOC＝．（l）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上有一點E（O點除外），使得△BCE與△BCO的面積相等，求出點E的坐標．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】用因式分解法課求得【詳解】解:,,解得故選C【點睛】本題考查了用因式分解求一元二次方程.2、C【解析】二次函數(shù)平移都是通過頂點式體現(xiàn)，將轉(zhuǎn)化為頂點式，與原式對比，利用口訣左加右減，上加下減，即可得到答案【詳解】解：∵，∴的圖形是由的圖形，向左平移2個單位，然后向上平移1個單位【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖形的平移問題，學生熟練掌握左加右減，上加下減即可解決這類題目3、A【分析】連接OD，如圖，利用折疊性質(zhì)得由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積等于陰影部分的面積，AC=OC，則OD=2OC=1，CD=3，從而得到∠CDO=30°，∠COD=10°，然后根據(jù)扇形面積公式，利用由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積=S扇形AOD-S△COD，進行計算即可．【詳解】解：連接OD，如圖，∵扇形紙片折疊，使點A與點O恰好重合，折痕為CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝1，∴CD＝，∴∠CDO＝30°，∠COD＝10°，∴由弧AD、線段AC和CD所圍成的圖形的面積＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣＝1π﹣，∴陰影部分的面積為1π﹣.故選A．【點睛】本題考查了扇形面積的計算：陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．記住扇形面積的計算公式．也考查了折疊性質(zhì)．4、B【解析】逆用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方將式子變形，再運用平方差公式計算即可.【詳解】解：故選B.【點睛】本題考查二次根式的運算，高次冪因式相乘往往是先設法將底數(shù)化為積為1或0的形式，然后再靈活選用冪的運算法則進行化簡求值.5、B【分析】由題意可知原方程的根的判別式△>0，由此可得關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集后再結(jié)合方程的二次項系數(shù)不為0即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＞0，解得：∴m＞，∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的范圍是：m＞且m≠1．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式和一元一次不等式的解法等知識，屬于基本題型，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與方程根的個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6、A【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)圓周角定理得到，可得為等腰直角三角形，所以，從而得到的長．【詳解】∵，AB為直徑，∴，∵∠BOC和∠A分別為所對的圓心角和圓周角，∠A=22.5°，∴，∴為等腰直角三角形，∵OC=6，∴，∴.故選A．【點睛】本題考查了垂徑定理及圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；垂直于弦的直徑，平分這條弦且平分這條弦所對的兩條弧．7、C【解析】試題分析：利用根的判別式進行判斷.解：∵∴此方程無實數(shù)根.故選C.8、C【分析】連接，即，又，故，所以；又因為為切線，利用切線與圓的關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切線，∴∠ADP=∠ABD=30°，故選C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑對圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角求解．9、B【分析】先連接OC，根據(jù)三條邊都相等可證明△OCB是等邊三角形，再利用圓周角定理即可求出角度.【詳解】解：如圖，連接OC．∵AB=2，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=∠COB=30°.故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)等知識，作半徑是圓中常用到的輔助線需熟練掌握.10、B【解析】試題分析：將方程進行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：這個三角形的第三邊長為5，則周長為：3+4+5=1．考點：（1）解一元二次方程；（2）三角形三邊關(guān)系二、填空題(每小題3分,共24分)11、36°．【分析】由正五邊形的性質(zhì)得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出==，由圓周角定理即可得出答案．【詳解】∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，∴∠BAE=(n﹣2)×180°=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴==，∴∠CAD=×108°=36°；故答案為：36°．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓的關(guān)系，以及圓周角定理的應用；熟練掌握正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12、【解析】設則所以,故答案為:.13、1【分析】證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得，AE=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14、【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后得出，進而求出的度數(shù)，再利用即可求出答案．【詳解】∵繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，得到∵故答案為：70°．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15、2或4【解析】設BP的長為x，則CP的長為(10-x)，分別在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出AP的長．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，設BP的長為x，則CP的長為(10-x)，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AB2+BP2=42+x2，在Rt△DCP中，由勾股定理得：DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2，又∵∠APD=90°，在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，∴42+x2+42+(10-x)2=102，整理得：x2-10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，當BP=2時，AP==；當BP=8時，AP==．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理及一元二次方程，學會利用方程的思想求線段的長是關(guān)鍵．16、【分析】根據(jù)菱形的對稱性，在AB上找到點P關(guān)于BD的對稱點，過點作Q⊥CD于Q，交BD于點K，連接PK，過點A作AE⊥CD于E，根據(jù)垂線段最短和平行線之間的距離處處相等，可得此時最小，且最小值為的長，，然后利用銳角三角函數(shù)求AE即可．【詳解】解：根據(jù)菱形的對稱性，在AB上找到點P關(guān)于BD的對稱點，過點作Q⊥CD于Q，交BD于點K，連接PK，過點A作AE⊥CD于E根據(jù)對稱性可知：PK=K，∴此時=，根據(jù)垂線段最短和平行線之間的距離處處相等，∴此時最小，且最小值為的長，∵在菱形中，,∴，∠ADE=180°－∠A=60°在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=∴即的最小值為故答案為．【點睛】此題考查的是菱形的性質(zhì)、求兩線段之和的最值問題和銳角三角函數(shù)，掌握菱形的性質(zhì)、垂線段最短、平行線之間的距離處處相等和用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．17、1【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可求解．【詳解】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積，

∴，即，解得，（不合題意，舍去）

故答案為：1．【點睛】此題考查了比例線段；理解比例中項的概念，注意線段不能是負數(shù)．18、-1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可求出m的值．【詳解】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)∴解得，．故答案為：-1．【點睛】本題考查的知識點是反比例函數(shù)的定義，比較基礎(chǔ)，易于掌握．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)，由半徑相等得到∠OBC=∠OCB，由垂徑定理可知是的垂直平分線，得到PB=PC，因此∠PBC=∠PCB，從而可以得到∠PCO=90°，即可得證；（2）陰影部分的面積即為扇形OAC的面積減去△OAC的面積，通過，，利用扇形面積公式和三角形計算公式計算即可.【詳解】（1）證明：連結(jié)，如圖∵∴又∵為圓的直徑，切圓于點∴，又∵∴∴是的垂直平分線∴，，即∴是圓的切線（2）由（1）知、為圓的切線∴∵，∴，又∵為圓的直徑∴∴，∴，∴【點睛】本題考查了切線的判定和扇形面積公式的應用，理解弓形面積為扇形面積與三角形面積之差是解題的關(guān)鍵.20、（1）見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)OA，根據(jù)已知條件得到∠AOE＝∠BEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OA⊥AC，于是得到結(jié)論；（2）連接OF，設∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝＝3，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解（1）證明：連結(jié)OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC為⊙O切線；（2）解：連接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴設∠AFE＝α，則∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半徑＝．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21、（1）見解析；（2）△CPA∽△CAB，此時P（，）；△BPA∽△BAC，此時P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點，見解析【分析】（1）利用：兩邊對應成比例且夾角相等,證明△APC∽△CAB即可；（2）分類討論：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分別求得P點的坐標；（3）先求得點D的坐標，說明點G（5，）、S（3，-2）在直線AC：上，證得△ABC△SGB，再證得△GBS∽△GCB，說明點S是△GBC的自相似點；又證得△DBG△DSB，說明點S是△GBD的自相似點．從而說明S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點.【詳解】（1）如圖，∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），∴AP=2－1＝1，AC=，AB=3-1=2，∴，，∴=，∵∠PAC=∠CAB，∴△APC∽△CAB，故點P是△ABC的自相似點；（2）點P只能在BC上，①△CPA∽△CAB，如圖，由(1)得：AC，AB，又，∵△CPA∽△CAB，∴，∴，∴，過點P作PD∥y軸交軸于D，∴，，∴，，∴，，P點的坐標為(，)②△BPA∽△BAC，如圖，由前面獲得的數(shù)據(jù)：AB，，∵△BPA∽△BAC，∴，∴，∴，過點P作PE∥y軸交軸于E，∴，∴，∴，，∴，P點的坐標為(，)；（3）存在．當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．理由如下：如圖：設直線AC的解析式為：，

∴，解得：，∴直線AC的解析式為：，過點D作DE⊥x軸于點E，

∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，∴∠CBO=∠EDB，∴，∴，設BE=a，則DE=3a，∴OE=3-a，∴點D的坐標為(3-a，-3a)，∵點D在直線AC上，∴，解得：，∴點D的坐標為(，)；如下圖：當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．直線AC的解析式為：，

∵，，∴點G、點S在直線AC上，過點G作GH⊥x軸于點H，∵，∴，由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x軸，∴△AED、△ABS、△AHG為等腰直角三角形，∵D(，)，S，G(，∴，，B，，，，，，，，在△ABC和△SGB中∵，，∴，∵∴∴△ABC△SGB∴∠SBG=∠BCA，又∠SGB=∠BGC，∴△GBS∽△GCB，∴點S是△GBC的自相似點；在△DBG和△DSB中，∵，，∴，且，∴△DBG△DSB；∴點S是△GBD的自相似點．∴S（3，）是△GBD與△GBC公共的自相似點．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，涉及的知識有：平面內(nèi)點的特征、待定系數(shù)法求直線的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，讀懂題意，理清“自相似點”的概念是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）10元：（3）不可能，理由見解析【解析】根據(jù)總利潤每件利潤銷售數(shù)量，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系列方程，解方程即可求解；根據(jù)中相等關(guān)系列方程，判斷方程有無實數(shù)根即可得．【詳解】解：根據(jù)題意得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；當時，，解得，不合題意舍去．答：當該專賣店每件童裝降價10元時，平均每天盈利400元；該專賣店不可能平均每天盈利600元．當時，，整理得，，方程沒有實數(shù)根，答：該專賣店不可能平均每天盈利600元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用、一元二次方程的實際應用，理解題意找到題目蘊含的等量關(guān)系是列方程求解的關(guān)鍵．23、（1）60；（2）1【分析】（1）設每天銷售A種軟件個，B種軟件個，分別根據(jù)每天的銷售額共為112000元，總利潤為28000元，列方程組即可解得；（2）由這兩種軟件每天銷售總件數(shù)不變，則設A種軟件每天多銷售個，則B種軟件每天少銷售個，總利潤為，根據(jù)：每種軟件的總利潤＝每個利潤銷量，得到二次函數(shù)求最值即可．【詳解】（1）設每天銷售A種軟件個，B種軟件個．由題意得：，解得：，．∴該公司每天銷售這兩種軟件共60個．（2）設這兩種軟件一天的總利潤為，A種軟件每天多銷售個，則B種軟件每天少銷售個．W＝＝（0≤m