新教材同步備課2024春高中數(shù)學第6章平面向量及其應用6.4平面向量的應用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例教師用書新人教A版必修第二冊

6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應用舉例學習任務駕馭用向量方法解決簡潔的幾何問題、力學問題等一些實際問題，體會向量是處理幾何問題、物理問題的重要工具．(數(shù)學建模)物理中的共點力平衡，用兩個力F1和F2拉的效果和用一個力問題：(1)F能不能稱為F1和F(2)它們之間有什么關(guān)系？學問點向量法解決平面幾何問題的“三步曲”思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可依據(jù)向量加法的平行四邊形法則來解決．()(2)若△ABC為直角三角形，則有AB·BC＝0． ()(3)物理學中的功是一個向量． ()[答案](1)√(2)×(3)×類型1向量在平面幾何中的應用長度問題【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．[解]設AD＝a，AB＝b，則BD＝a－b，AC＝a＋b，而|BD|＝|a－b|＝a＝1+4-2a·b所以5－2a·b＝4，所以a·b＝12又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝6，即AC＝6．共線問題【例2】(源自北師大版教材)如圖，點O是?ABCD兩條對角線的交點，點E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12．求證：點E，[證明]設AB＝m，AD＝n，由CEED＝AFFB＝12，知E，F(xiàn)所以FO＝FA+AO＝1＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋OE＝OC+CE＝12AC＋13CD＝12(m＋n)－13所以FO＝OE．又O為FO和OE的公共點，故點E，O，F(xiàn)在同始終線上．垂直問題【例3】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE．[證明]法一：設AD＝a，AB＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12故AF⊥DE，即AF⊥DE．法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．因為AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE．用向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)幾何法：選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算．(2)坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．[跟進訓練]1．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點D在線段BC上，且BD＝12DC．(1)AD的長；(2)∠DAC的大?。甗解](1)設AB＝a，AC＝b，則AD＝AB+BD＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-AB)＝2∴|AD|2＝AD2＝23a+13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×2∴AD＝3．(2)設∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，則θ為AD與AC的夾角．∴cosθ＝AD·AC＝2＝23×∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．類型2平面對量在物理中的應用【例4】如圖所示，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1．(1)求|F1|，|F2|隨角θ的變更而變更的狀況；(2)當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍．[解](1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得－G＝F1＋F2，|F1|＝Gcosθ，|F2|＝|G|tan當θ從0°趨向于90°時，|F1|，|F2|都漸漸增大．(2)由|F1|＝Gcosθ，|F1|≤2|G|，得cosθ≥又因為0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．用向量方法解決物理問題的四個步驟[跟進訓練]2．一條寬為3km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝3km，船在水中最大航速為4km/h．怎樣支配航行速度，可使該船從A碼頭最快到達彼岸B碼頭？用時多少？[解]如圖所示，設AC為水流速度，AD為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，當AE與AB重合時能最快到達彼岸．依據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|DE|＝|AC|＝2，|AD|＝4，∠AED＝90°，∴|AE|＝AD2-DE23÷23＝0.5(h)，sin∠EAD＝12∴∠EAD＝30°，∴船實際航行速度大小為4km/h，與水流成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5小時．1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為|s|＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為()A．7 B．10C．14 D．70D[F做的功為F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×12＝2．某人在靜水中游泳的速度為3km/h，水流的速度為1km/h，他沿著垂直于對岸的方向前進，那么他實際前進的方向與水流方向的夾角為()A．90° B．60°C．45° D．30°B[如圖，OA表示水速，用OB表示某人沿著垂直于岸的方向前進的速度，則他的實際前進的方向與水流方向的夾角為∠AOC．因為tan∠AOC＝31＝3，所以∠AOC＝故選B．]3．在四邊形ABCD中，若AB+CD＝0，AC·BD＝0，則四邊形為(A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形D[由AB+CD＝0，得AB＝－CD＝DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又AC·BD＝04．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝5，AC·AB＝5，則AC的長為________．2[因為BD＝AD-AB＝所以BD2＝12AC-AB2＝14AC所以|AC|＝2，即AC＝2．]回顧本節(jié)學問，自主完成以下問題：1．利用向量方法可以解決平面幾何中哪些問題？并說出其大體的求解思路．[提示]利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一是選擇一組基底，利用基底表示涉及的向量；另一種是建立直角坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標．2．用向量解決物理中的力學、速度、位移、功等問題的步驟大體有哪些？[提示]首先：問題的轉(zhuǎn)化，把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題；其次：模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學模型；再次：參數(shù)的獲得，求出數(shù)學模型的相關(guān)解；最終：回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲得的數(shù)值去說明一些物理現(xiàn)象．課時分層作業(yè)(十一)平面幾何中的向量方法向量在物理中的應用舉例一、選擇題1．某人在無風條件下騎自行車的速度為v1，風速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風行駛的速度的大小為()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D．vC[題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實數(shù)．故逆風行駛的速度的大小為|v1|－|v2|．]2．一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成90°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A．6 B．2C．25 D．27C[由題意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F12+F22＋＝4＋16＝20，∴|F3|＝25．]3．在直角三角形ABC中，斜邊BC長為2，O是平面ABC內(nèi)一點，點P滿意OP＝OA＋12(AB+AC)，則|APA．2 B．1C．12B[設BC邊的中點為M，則12(AB+∴OP＝OA+AM＝∴P與M重合，∴|AP|＝12|BC|＝4．在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)＝0，則△A．是正三角形 B．是直角三角形C．是等腰三角形 D．形態(tài)無法確定C[由條件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC5．(多選)關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間，正確的是()A．船垂直到達對岸所用時間最少B．當船速v的方向與河岸垂直時用時最少C．沿隨意直線航行到達對岸的時間都一樣D．船垂直到達對岸時航行的距離最短BD[依據(jù)向量將船速v分解，當v垂直河岸時，用時最少．船垂直到達對岸時航行的距離最短．]二、填空題6．用兩條成120°角的等長繩子懸掛一個燈具，已知燈具重量為10N，則每根繩子的拉力大小為________N．10[如圖，由題意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|OC|＝10，則|OA|＝|OB|＝10，即每根繩子的拉力大小為10N．]7．點P在平面上做勻速直線運動，速度v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設起先時點P0的坐標為(－10，10)，則5s后點P的坐標為________．(10，－5)[由題意知，P0P＝5v＝(20，－設點P的坐標為(x，y)，則x+10=20解得點P的坐標為(10，－5)．]8．在四邊形ABCD中，若AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，則向量AC與BD的夾角為________，四邊形ABCD的面積為________．π25[由AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0知AC⊥BD，故向量AC與BD的夾角為π又∵|AC|＝5，|BD|＝-42+2∴S＝12|AC||BD|＝12×5×三、解答題9．如圖所示，在傾斜角為37°(sin37°≈0.6)，高為2m的斜面上，質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對斜面壓力的0.5倍．(1)求斜面對物體m的支持力所做的功；(2)重力對物體m所做的功．(g＝9.8m/s2)[解](1)物體m的位移大小為|s|＝2sin37°＝103(m)，則支持力對物體m所做的功為W1＝F·s＝|F||s(2)重力對物體m所做的功為W2＝G·s＝|G||s|·cos53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)10．在△ABC中，AB＝4，AC＝22，∠BAC＝135°，D為邊BC的中點，且AM＝MD，則向量BM的模為()A．262 B．C．262或52 D．26B[因為AB＝4，AC＝22，∠BAC＝135°，所以AB·AC＝－8．因為BM＝AM-AB＝14AB+AC-所以BM＝-＝916AB2故選B．]11．長江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A動身航行到北岸．假設游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小為|v2|＝4km/h．設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°)，北岸的點A′在A的正北方向，若游船正好到達A′處，則cosθ等于()A．215 B．－C．25 D．－D[設船的實際速度為v，v1與南岸上游的夾角為α，如圖所示．要使得游船正好到達A′處，則|v1|cosα＝|v2|，即cosα＝v2v1又θ＝π－α，所以cosθ＝cos(π－α)＝－cosα＝－2512．若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿意3AM-AB-AC＝0，則△ABM與△ABCA．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．2∶5B[如圖，設D為BC邊的中點，則AD＝12(因為3AM-AB-所以3AM＝2AD，所以AM＝23所以S△ABM＝23S△ABD＝13S△13．已知△ABC的三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為AB邊上隨意一點，則CP·(BA-BC)的最大值為9[法一(坐標法)：由題意可知AC⊥BC，所以以C為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，設P點坐標為(x，y)且0≤y≤3，0≤x≤4，則CP·(BA-BC)＝CP·CA＝(x，y)·(0，3)＝3y，當y＝3時，CP·(BA-法二(基向量法)：∵CP＝CA+AP，∴CP·(BA-BC)＝(CA+＝CA2＋AP·CA＝9－AP·＝9－|AP||AC|cos∠BAC＝9－3|AP|cos∠BAC．∵cos∠BAC為正且為定值，∴當|AP|最小即|AP|＝0時，CP·(BA-BC)14．如圖，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P．求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[解]如圖建立平面直角坐標系xOy，其中A為原點，不妨設AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1)．(1)BE＝OE-OB＝(1，2)－(2，0)＝(－1，CF＝OF-OC＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－∵BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE⊥CF，即BE⊥CF．(2)設P(x，y)，則FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)．∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2．同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，解得x＝65，∴y＝85，即P∴AP2＝652＋852∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB．15．(2024·上海市延安中學月考)如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CD＝mCA，CE＝nCB，其中m，n