新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)分冊一專題六解析幾何第三講圓錐曲線-大題備考微專題2定點問題

微專題2定點問題2.[2024·河北石家莊一模]已知點P(4，3)在雙曲線C：＝1(a>0，b>0)上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，|PM|·|PN|＝4.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，從下面兩個條件中選一個(多選只按先做給分)，證明：直線l過定點．①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.技法領(lǐng)悟直線過定點問題的解題策略(1)用參數(shù)表示出直線的方程，依據(jù)直線方程的特征確定定點的位置．(2)從特別點入手，先確定定點，再證明該定點符合題目條件．[鞏固訓(xùn)練2][2024·全國乙卷]已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率是，點A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)過點(－2，3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．微專題2定點問題提分題[例2](1)解析：由題意可知：點P(4，3)在雙曲線上，所以＝1；過P做x軸的平行線y＝3，與y＝±x相交于M，N兩點，那么M，N兩點可求：M(，3)，N(－，3)；所以|4－|·|4＋|＝|16－|＝a2||＝a2＝4，所以a＝2；代入＝1，可知b＝，所以雙曲線的方程為＝1.(2)解析：選①：由題意可知，直線l與雙曲線C交于不同的兩點A,B，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程：，得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；x1＋x2＝，x1x2＝，由條件k1＋k2＝1，所以＝1，所以(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝(x1－4)(x2－4)，整理可得2kx1x2＋(m－3－4k)(x1＋x2)－8(m－3)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，代入韋達定理得m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0，即(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，解得m＝2k＋3或m＝－4k＋3；當(dāng)m＝2k＋3時，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，則直線l過定點(－2，3)；當(dāng)m＝－4k＋3時，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，則直線l過定點P(4，3)，不合題意；綜上可得，直線l過定點(－2，3)．選②：由題意可知，直線l與雙曲線C交于不同的兩點A,B，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程：，得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；x1＋x2＝，x1x2＝，由條件k1k2＝1得·＝1，即＝1，整理可得＝1.代入韋達定理，整理可得7m2＋32km＋16k2－18m－9＝0，即(7m＋4k＋3)(m＋4k－3)＝0，解得m＝－或m＝－4k＋3，當(dāng)m＝－時，y＝kx＋m＝kx－＝k(x－)－，則直線l過定點(，－)；當(dāng)m＝－4k＋3時，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，則直線l過定點P(4，3)，不合題意；綜上可得，直線l過定點(，－)．[鞏固訓(xùn)練2](1)解析：因為點A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.因為橢圓的離心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，故橢圓C的方程為＝1.(2)解析：由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，則Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝