湖北剩門市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page19一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求集合A中函數(shù)的值域，得到集合A，解集合B中的不等式，得到集合B，再求兩個集合的交集.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則，不等式解得，則，所以．故選：C2.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再依據(jù)特殊值推斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?，故解除A、B，又，故解除D；故選：C3.若，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡函數(shù)，利用基本不等式求出最值，并驗(yàn)證取等條件．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號則的最大值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生計算實(shí)力，屬于中檔題．4.已知函數(shù)，則滿意的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分狀況探討，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，最終取并集得到.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，兩者取交集得到；當(dāng)時，，兩者取交集得到綜上，得到.故選：D.5.函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的性質(zhì)，結(jié)合二次根式的性質(zhì)，分母不為零的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，可得函?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域?yàn)椋蔬x：D．6.若正實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝1，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是錯誤的是（）A.m<－3或m> B.－3<m<C.m≤－3或m≥ D.－3≤m≤【答案】BCD【解析】【分析】使不等式有解，大于的最小值，依據(jù)題意先利用基本不等式求的最小值，再解不等式求m的取值范圍.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿意，所以，則=，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，即，，解得?故選：BCD.7.已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定的解集求出，再代入解一元二次不等式即得.【詳解】依題意，是方程的二實(shí)根，且，于是，且，解得，不等式化為：，解得，所以所求不等式的解集為.故選：A8.高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿意，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由得當(dāng)是的值域的倍，然后利用分段函數(shù)值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.【詳解】解：由，可知，，，，所以當(dāng)，對應(yīng)就是的值域的倍，由分段函數(shù)可以得，在，值域?yàn)椋?，值域?yàn)榭芍?dāng)時，的值域?yàn)?，故對?yīng)值域?yàn)閷τ诤愠闪?，可得，解得，，故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下面命題正確是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“，”是真命題，則C.設(shè)，則“且”是“”的必要而不充分條件D.設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)充分、必要條件和命題的真假依次推斷即可.【詳解】選項A，由，能推出，但是由，不能推出，例如當(dāng)時，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；選項B，“，”是真命題可知，時不成立，當(dāng)時，只需滿意，解得，故B正確；選項C，依據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由且能推出，充分性成立，故C錯誤；選項D，因?yàn)榭梢缘扔诹?，所以由不能推出，由等價于且，可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ABD.10.已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是或【答案】ACD【解析】【分析】由不等式與方程之間的關(guān)系及題設(shè)條件得到之間的關(guān)系，然后逐項分析即可得出正確選項.【詳解】由題意不等式的解集為或，則可知，即A正確；易知，和是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得，則；所以不等式即為，解得，所以B錯誤；易知，所以C正確；不等式即為，也即，解得或，所以D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，若最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)推斷上單調(diào)性、值域，再探討、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)推斷上的單調(diào)性和值域，最終依據(jù)題設(shè)求a的范圍，即可確定正確選項.【詳解】由題設(shè)，，依據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)?，?dāng)時，在上遞減且值域?yàn)?，在上遞增且值域?yàn)椋啻藭r，，明顯不是最小值，不合題設(shè)；當(dāng)時，在上遞減且值域?yàn)?，∴此時，要使是最小值，則，可得.∴B、C、D符合要求.故選：BCD12.已知，，且，則（）A B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A,消元利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)推斷；對于選項B,C,D都利用基本不等式推斷.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，所以，二次函?shù)的拋物線的對稱軸為，所以當(dāng)時，的最小值為，所以，所以選項A正確；成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號），故選項B錯誤；，成立，（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號），故選項C正確；∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號），故選項D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)開平方時被開方數(shù)要大于等于0及分式中分母不能為0列不等式解得答案.【詳解】使有意義的滿意且，解得．故答案為：14.已知函數(shù)與分別由下表給出，則滿意的x的值為________.x123131x123321【答案】2【解析】【分析】對于的任一取值，分別計算和的值，若，可得正確值.【詳解】當(dāng)時，，不合題意.當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，，不合題意.故答案為：215.若函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】計算出的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，因此?故答案為：.16.為滿意人民對奇異生活的憧憬，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理實(shí)力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理實(shí)力最強(qiáng)．其中全部正確結(jié)論的序號是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】依據(jù)定義逐一推斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理實(shí)力最強(qiáng)．④錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理實(shí)力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識別實(shí)力，屬中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.設(shè)A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．（1）求a的值及集合A、B；（2）設(shè)集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的全部子集．【答案】（1）a=﹣5，A={2，}，B={2，﹣5}；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意得2∈A，2∈B，代入方程后可得，然后解方程可得集合A、B；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論得到（CuA）∪（CuB），然后寫出它的全部子集即可．【詳解】（1）依據(jù)題意得2∈A，2∈B，將x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，解得a=﹣5，∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．（2）由題意得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，∴（CuA）∪（CuB）=?U（A∩B）={，﹣5}，∴（CuA）∪（CuB）的全部子集為，{﹣5}，{}，{﹣5，}．【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確地得到相關(guān)集合，再依據(jù)要求求解，屬于基礎(chǔ)題．18.設(shè).（1）用分段函數(shù)的形式表達(dá)；（2）在直角坐標(biāo)系中畫出的圖象；（3）寫出函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）作圖見解析（3）【解析】【分析】（1）分、兩種狀況化簡函數(shù)的解析式，即可得解；（2）依據(jù)函數(shù)的解析式可作出函數(shù)的圖象；（3）依據(jù)函數(shù)的圖象可寫出函數(shù)的值域.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以，.【小問2詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：（留意端點(diǎn)處的開閉）【小問3詳解】由（1）（2）知，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，在上值域?yàn)?9.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于x的不等式；（2）若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.（2）【解析】【分析】（1）首先依據(jù)題意得到，再分類探討解不等式即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為，再利用換元法結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】，即，當(dāng)時，即，解集為；當(dāng)時，當(dāng)，即時，，因?yàn)?，所以解集為?當(dāng)，即時，，因?yàn)椋越饧癁椋C上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.【小問2詳解】，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，．即.20.近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷.特殊是美國對我國華為的限制.盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步.華為在2024年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強(qiáng)勁.今年，我國華為某一企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，支配在2024年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過市場分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)x（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每部手機(jī)售價0.7萬元，且全年生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2024年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式，（利潤=銷售額—成本）；（2）2024年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）；（2）2024年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定的函數(shù)模型，干脆計算作答.（2）利用（1）中函數(shù)，借助二次函數(shù)最值及均值不等式求出最大值，再比較大小作答.【小問1詳解】依題意，銷售收入萬元，固定成本250萬元，另投入成本萬元，因此，所以2024年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式是.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，因此當(dāng)時，，所以2024年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.21.如圖，為梯形，其中，，設(shè)O為對角線的交點(diǎn).表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線），表示平行于兩底且使梯形與梯形相像的線段，表示平行于兩底且過點(diǎn)O的線段，表示平行于兩底且將梯形分為面積相等的兩個梯形的線段.摸索討線段，，，與代數(shù)式，，，之間的關(guān)系，并據(jù)此推想它們之間的一個大小關(guān)系.你能用基本不等式證明所得到的揣測嗎？【答案】答案見解析【解析】【分析】依據(jù)題中所給的梯形模型，結(jié)合平行線分線段成比例定理，相像，面積相等等方式，建立得到幾個平均數(shù)，再利用基本不等式和作差法比較大小即可【詳解】因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以；因?yàn)樘菪闻c梯形相像，所以，所以；因?yàn)椋裕?，所以，所以，設(shè)梯形，的面積分別為，高分別為，則，，所以，所以，所以；由圖可知，，即；證明：明顯，，因?yàn)?，所以，所以，所?2.已知二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)）（1）若時，且對，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）若時，且對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對，時，恒成立，求的最小值