【三角視域下三角形理論建構(gòu)與實踐探究8700字（論文）】

三角視域下三角形理論建構(gòu)與實踐研究TOC\o"1-2"\h\u16640摘要： 3193341緒論 5237471.1研究背景 5208171.2研究的意義及目的 527651.3文獻(xiàn)綜述 6105182張景中院士的三角新體系 7321152.1正弦的定義 711222.2平行四邊形和三角形的面積 7282753重建三角視域下三角形理論的實踐探索 7212073.1面積法定義正弦教學(xué)設(shè)計 782813.2教學(xué)效果調(diào)查結(jié)果 14246954對三角新體系的一點看法 157197參考文獻(xiàn) 1721334附錄1 18摘要：在初中階段，涉及到三角知識的有銳角三角函數(shù)和解直角三角形及其應(yīng)用，所學(xué)習(xí)的內(nèi)容較少，但涉及到的概念是比較抽象的，定義方式過于生硬，學(xué)生只能對概念進(jìn)行識記而并不能真正的理解這個概念的推導(dǎo)過程.知其然而不知其所以然.因此要對數(shù)學(xué)現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)進(jìn)行改革.本文以三角形面積為線索，將三角下放到初中，用單位菱形面積與單位正方形面積作比來定義正弦，然后又以正弦為前提推導(dǎo)出平行四邊形面積公式和三角形面積公式，用面積來建立三角，用三角幾何進(jìn)行推導(dǎo)，對三角新體系的數(shù)學(xué)課程進(jìn)行教學(xué)實踐探索，并表達(dá)自己對三角新體系的一些認(rèn)識。關(guān)鍵詞:新體系；正弦；改革1緒論1.1研究背景在這個電子計算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的智能時代背景下，數(shù)學(xué)思想方法滲透到各個學(xué)科，科技的進(jìn)步和社會的發(fā)展對人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求，同時也對數(shù)學(xué)教育提出了新挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)面臨新任務(wù).數(shù)學(xué)是一門有血有肉的學(xué)科，不但要將知識傳授給學(xué)生，還要在培養(yǎng)學(xué)生能力、科學(xué)素質(zhì)方面等發(fā)揮重要作用.隨著時代的加速發(fā)展，數(shù)學(xué)課程所承擔(dān)的責(zé)任在不斷增加，其內(nèi)容和重點也在發(fā)生改變.同時，在中學(xué)數(shù)學(xué)大綱改革的過程中，三角、代數(shù)、幾何的教學(xué)內(nèi)容也在不斷調(diào)整、不斷更新.[1]張景中院士指出：“三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁，溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一條通道.函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要的數(shù)學(xué)知識與三角有關(guān)，大量的實際問題的解決要用到三角知識”.在整個初中階段，三角的教學(xué)分成了兩段:初中階段和高中階段.在初中階段涉及到三角的內(nèi)容僅僅只有銳角三角函數(shù)，是用直角三角形邊長與邊長的比值來進(jìn)行定義的.而對于解任意三角形知識的內(nèi)容則是安排在高中階段,學(xué)生在經(jīng)歷初中銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后通常認(rèn)為三角函數(shù)難學(xué),，特別是對有關(guān)公式和定理的推導(dǎo)過程是教學(xué)中的一大難點.基于這些問題，張景中院士通過探討面積解題的規(guī)律，提出“重建三角”的初中數(shù)學(xué)新體系，為三角函數(shù)找到一種更直觀嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x方式，將三角、幾何、代數(shù)彼此滲透.用單位等腰三角形（單位菱形）的面積對正弦進(jìn)行定義，將三角重新下放到初中階段，并發(fā)展出與之相對應(yīng)的一套適用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯體系（新定義體系）..這種定義方式與傳統(tǒng)定義方式相比,所需要的預(yù)備知識不多，新定義可以在小學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上建立三角,用三角的知識引出代數(shù)工具,并探索幾何,新定義體系更直觀、更嚴(yán)謹(jǐn)、更具有一般性，將三角、幾何、代數(shù)串在一起，三者的聯(lián)系更加緊密，并交互影響.1.2研究的意義及目的1.2.1研究的意義《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.從學(xué)生學(xué)習(xí)過的三角形面積公式入手，對所需預(yù)備知識要求較低，符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.傳統(tǒng)的定義以相似三角形的概念和知識為基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)了相似三角形之后才引入銳角三角函數(shù)，新定義則以直角三角形面積為基礎(chǔ)，用單位等腰三角形(菱形面積)定義正弦，并將其與現(xiàn)實生活中的“折扣”聯(lián)系起來，在激發(fā)了學(xué)生的求知欲的同時，還調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性對學(xué)生來說更好接受很理解.并且新定義的推導(dǎo)過程是較為直觀簡便的計算性推理，對學(xué)生來說難度并不大.在縮減課時的同時學(xué)生還能夠?qū)W習(xí)更多的內(nèi)容,并給學(xué)生留下更大的思考討論的空間.提高了學(xué)習(xí)效率的同時還能“減負(fù)”.首先，對學(xué)生來說，學(xué)生能夠有更充足的時間品味數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué).其次，對老師來說，老師也能有足夠的的時間復(fù)習(xí)和整理其他課程內(nèi)容.三角、幾何、代數(shù)緊密聯(lián)系相互滲透，各部分知識串到一起，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和思維能力.對正弦進(jìn)行重新定義之后，更加嚴(yán)謹(jǐn)，使三角內(nèi)容的學(xué)習(xí)門檻降低，學(xué)生能夠更為輕松的學(xué)習(xí)有關(guān)內(nèi)容.1.2.2研究目的“三角”在數(shù)學(xué)課程中具有很重要的地位，是數(shù)學(xué)中十分重要的一個部分.它作為連接三角和代數(shù)的一個橋梁，在數(shù)學(xué)中是不可或缺.因此，學(xué)習(xí)好三角對于數(shù)學(xué)這門課程來說是十分有必要的，用新的定義方式代替?zhèn)鹘y(tǒng)定義方式，其根本目的便是解決學(xué)生對抽象概念理解困難的問題，用更少的時間學(xué)習(xí)更多、更系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識.利用這樣一種新的定義方式降低三角的學(xué)習(xí)難度，學(xué)生不再害怕三角，甚至?xí)酉聛淼膬?nèi)容產(chǎn)生期待，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)始終保持濃厚的興趣.1.3文獻(xiàn)綜述“重建三角”一詞源自張景中院士于2006年在“數(shù)學(xué)教學(xué)”上發(fā)表的《三角下放全局皆活—初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個建議》[1]他還在《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》[3]中提出教育數(shù)學(xué)的觀點：為了數(shù)學(xué)教育的需要，對數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造，是“教育數(shù)學(xué)”的任務(wù).在《三角下放全局皆活—初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個建議》和《三角下放全局皆活—初中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)性改革的一個方案》[4]中他提出將三角下放，請三角早出茅廬，讓學(xué)生更早地學(xué)習(xí)三角，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)高等數(shù)學(xué)知識和用數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)方法解決實際問題.并在《一線串通的初等數(shù)學(xué)》[5]中為“重構(gòu)三角”提供了系統(tǒng)性的可操作方案.該書從三角形內(nèi)角和的知識以及三角形面積公式出發(fā)，直觀且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟o出了正弦的新定義，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一條新思路.張奠宙在《讓我們來重新認(rèn)識“三角”—兼談數(shù)學(xué)教學(xué)要在數(shù)學(xué)上下工夫》[6]中十分贊同張景中院士所提出的“重建三角”這一想法，對“一線串初等新體系”表示了肯定，他認(rèn)為數(shù)學(xué)課程改革要在數(shù)學(xué)上下工夫,僅僅依靠一些教育理念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.沈健也在《關(guān)于“重建三角”初等新體系的研究》[7]中表示初等新體系對初中數(shù)學(xué)的改革提供了參考.初等新體系對于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力是很有幫助的.近年來有很多老師針對“重建三角”初中數(shù)學(xué)新體系做了教學(xué)實驗，實驗結(jié)果表明初中三角新體系是對學(xué)生的成績有一定影響的.崔雪芳老師“角的正弦”[8]的實驗課.實驗得出相較于傳統(tǒng)的‘對邊比斜邊’定義來說面積法定義正弦更為直觀,更易掌握.全新的課程體系更有利于學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展,拓展后續(xù)學(xué)習(xí)的思維空間.此外，崔雪芳老師還組織過另一個教學(xué)探究[9]，探究結(jié)果表明新體系定義更有利于學(xué)生自主構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型,養(yǎng)成獨(dú)立思考，自主探究的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.王文俊老師在用面積定義正弦的教學(xué)初探中得出:與已經(jīng)學(xué)習(xí)了傳統(tǒng)定義正弦的學(xué)生相比,未學(xué)過高中三角函數(shù)定義的學(xué)生對用面積定義正弦表現(xiàn)出更大的興趣.新定義體系能讓學(xué)生更容易地掌握三角部分內(nèi)容[10].王雅瓊在利用菱形的面積公式學(xué)習(xí)三角函數(shù)的教學(xué)中總結(jié)了利用菱形的面積定義正弦的好處:“賦予角的正弦新的幾何意義,具有較強(qiáng)的直觀性,學(xué)生易于接受,特別讓剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)的學(xué)生較快地建立直觀理解.”這種方式,讓學(xué)生深感巧妙、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,開拓了學(xué)生思維[11].楊姍老師在進(jìn)行三角新體系的教學(xué)實踐中得出:用等腰三角形的模型定義正弦效果更好,提出將原有的定義和正弦新定義結(jié)合起來教學(xué)的建議,充分發(fā)揮兩種定義的優(yōu)勢.拓展學(xué)生的思維的同時還有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維方式[12].張東方老師在廣州市海珠實驗中學(xué)進(jìn)行的跟蹤調(diào)查實驗表明三角新體系相較于傳統(tǒng)的定義方式來說是更容易理解和記憶[13].除了上面的案例,黃國春、李蘋芳、楊彩霞、廖紅麗等也做了相關(guān)的研究,研究結(jié)果表明選取的定義方式在一定程度上影響著學(xué)生的成績，新定義對于提高學(xué)生的成績是有一定幫助的.但數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，僅僅依據(jù)這些少量的教學(xué)實驗并不能真正的代表三角新體系比傳統(tǒng)定義更好，因此關(guān)于三角新體系,還需要更多的教學(xué)案例去驗證.2張景中院士的三角新體系“重建三角”新體系用面積法建構(gòu)三角，把底和高為1的等腰三角形的面積記為12sinA2.1正弦的定義定義有一個角為A的單位菱形面積和單位正方形面積的比(它等于有一個角為A的單位菱形面積的2倍)，叫做角A的正弦，記做sin(A)或sin2.2平行四邊形和三角形的面積將長方形面積打折就可以得到平行四邊形的面積.邊長分別為a和b的長方形面積為ab,用長方形面積乘以a和b的夾角A，就可以得到平行四邊的面積，即S連接BD，將平行四邊形分為兩個全等的三角形，就可以得到三角形面積公式，即S3重建三角視域下三角形理論的實踐探索3.1面積法定義正弦教學(xué)設(shè)計3.1.1教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：了解正弦定理，理解用三角形面積定義正弦的過程，能夠應(yīng)用正弦定理解決實際問題.過程與方法目標(biāo):在自主探究，小組討論交流正弦的定義方法的過程中，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.情感態(tài)度價值觀目標(biāo):通過對定義正弦新方法的探索，提高學(xué)習(xí)興趣，能夠進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)來源于生活并服務(wù)于生活，能夠真正的品味數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的美.3.1.2教學(xué)重難點教學(xué)重點:了解正弦定理，理解用菱形面積定義正弦的過程.教學(xué)難點：能夠應(yīng)用正弦定理解決實際問題.3.1.3教學(xué)方法根據(jù)中學(xué)生的年齡和心理特征教師首先設(shè)計問題情景，學(xué)生一開始就進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，回顧舊知并初步感知正弦的定義方法并不是只有一個，其次讓學(xué)生合作交流討論并進(jìn)一步新的定義正弦的方法，最后讓學(xué)生靈活運(yùn)用面積法將正弦定理推導(dǎo)出來.整個教學(xué)過程運(yùn)用了講授法、問答法等.3.1.4教學(xué)手段：多媒體3.1.5教學(xué)流程(一)問題導(dǎo)入教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了在在已知三角形的底和高的情況下怎樣求解三角形的面積，那如果我們只知道三角形的邊長并不知道三角形的高時我們該怎樣來計算面積呢？生：不會.師：那這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)怎樣對已知兩邊一夾角的情況下怎樣對三角形面積求解,在解決這個問題之前我們要先來引入一個新的知識——正弦.(二)新課講授環(huán)節(jié)一師：如圖1，圖2在多媒體上展示一個邊長全為1的正方形和一個邊長為1有一個角為30°的菱形.圖SEQFigure\*ARABIC1正方形ABCD圖SEQFigure\*ARABIC2菱形ABCD師：同學(xué)們，正方形的角度是多少，面積怎樣計算，所得結(jié)果又是多少?生:正方形的角全為90°，面積等于邊長的平方為1.師：那同學(xué)們觀察菱形，它的面積是不是和正方形的面積一樣，你們會計算嗎？生：不一樣，但是我不會計算。師：為什么會不一樣，是什么導(dǎo)致他們的面積不同呢？生：角度，正方形的角全為90°，而菱形的不是，不可以直接利用邊長來求解。師：對！我們計算面積是不能只根據(jù)邊長來計算的，我們還有把角度考慮進(jìn)去.現(xiàn)在我們來具體看看這個菱形的面積是多少呢？師：要解決這個問題我們首先要引進(jìn)一個新的數(shù)學(xué)概念，那就是正弦，它表示邊長為1,一個內(nèi)角A為α度的菱形ABCD的面積，記作sinα環(huán)節(jié)二師：大家沒有接觸過，可能不太能理解這個定義的意思，要理解這個概念的關(guān)鍵在于菱形的面積，但這個菱形的面積我們現(xiàn)在還不知道.師:(教師將正弦表展示在多媒體上)大家看看這個REF_Ref72092733\h表1正弦表，當(dāng)角度為30°時表中所對應(yīng)的值是多少？表SEQ表\*ARABIC1正弦表0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°0°0.00000.17360.34200.50000.64280.76600.86600.93970.98481.00001°0.01750.17360.35840.51500.65610.77710.87460.94550.98770.99982°0.03490.19080.37460.53990.66910.78800.88290.95110.99030.99943°0.05230.25500.39070.54460.68200.79860.89100.95630099250.99864°0.06980.24190.40670.55920.69470.80900.89880.96130.99450.99765°0.08720.25880.42260.57360.70710.81920.90630.96590.99620.99626°0.10450.27560.43840.58780.71930.82900.91350.97030.99760.99457°0.12190.29240.45400.60180.73140.83870.92050.97440.99860.99258°0.13920.30900.46950.61570.74310.84800.92720.97810.99940.99039°0.15640.32560.48480.62930.75470.85720.93360.98160.99980.9877生：0.5.師：對！為了便于理解，我們把他表示為分?jǐn)?shù)12，這里的12表示的是，邊長為1，一個角度為30°的菱形的面積.現(xiàn)在我們就可以吧我們剛剛討論的菱形生：S菱形師：那我們再來看一個正方形，如圖3，它由9個邊長為一的小正方形組成，它的面積是多少？圖SEQFigure\*ARABIC3正方形ABCD生：9.師：如圖4，改變∠A的大小，將∠A改為α，變成一個由9個邊長為一的9個小菱形組成的菱形，將大菱形的面積記為S，那么S可以表示為？圖SEQFigure\*ARABIC4菱形ABCD生：S=9sin師：很好！同學(xué)們觀察一下，如果我們要通過正方形與菱形來將sinα表示出來的話，要怎樣表示生：S菱形師：我們對這個結(jié)論加以總結(jié)就可以得到，設(shè)邊長為a的正方形面積為S,邊長為a一個內(nèi)角為α為的菱形面積為s,s師：這個結(jié)論是不是只適用于正方形呢？我們一起來看看.師:如圖5，是一個由6個單位正方形組成的邊長為2和3的長方形.圖SEQFigure\*ARABIC5長方形ABCD師：同學(xué)們，這個長方形的面積是多少？生：6.圖SEQFigure\*ARABIC6平行四邊形ABCD師：那我們改變長方形ABCD中∠A的大小使∠A=α生：6sin師：很好,同樣我們也將平行四邊形和矩形的面積進(jìn)行作比，即設(shè)邊長為a寬為b的長方形面積為S,邊長為a寬為b一個內(nèi)角為α的平行四邊形面積為s,s師：接著我們再回來看圖1這個邊長為1的正方形，它的面積可不可以看成是邊長為1的有一個角為30°的菱形的兩倍，也就是說把菱形的面積看成是對正方形進(jìn)行打折后計算出來的.生：(帶著疑問思索著，沒有回答).師：我們用另一種方式來理解，假如我去服裝店買衣服，看中一件售價為100元的衣服，此時商家在搞活動，全部商品八折，那我看中的這件衣服實際上需要多少錢？生：80元.師：與這個道理相同，正方形的面積為1，對該面積打五折，就等于菱形面積12生：原來是這樣呀，明白了.師：那現(xiàn)在我們設(shè)邊長為1有一個角為60°的菱形的面積是多少？同學(xué)們對照著正弦表計算一下.生:S菱形師：對！我們可不可以理解為這是對正方形的面積打了0.866折？生：可以這樣說.師：把角A為α的菱形面積看作是打了幾折的正方形的面積？生：sinα折環(huán)節(jié)三師：現(xiàn)在我們再回過頭來看我們剛剛學(xué)習(xí)的正方形和長方形，他們的面積通過打折后就得到了菱形和平行四邊形的面積，那么我們是不是能進(jìn)一步的認(rèn)為，無論是正方形、長方形只要是它的一個角度發(fā)生了變化，那它的面積也會打折扣，可以將他表示成下面這個式子S生：對！師：那學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積公式之后，我們一起來檢驗同學(xué)們到底掌握了多少內(nèi)容.例如圖，一個邊長分別為a和b的長方形ABCD，改變角A的大小使∠A=α，使其成為一個平行四邊形ABCD，平行四邊形ABCD的面積是多少？圖SEQFigure\*ARABIC7平行四邊形ABCD師：同學(xué)可以舉手回答.生1：對長方形ABCD打sinα折，于是平行四邊形ABCD的面積就是S師：好！兩邊長為a和b夾角為A的三角形的面積呢？生：（沉默）.師：那我們大家一起來討論一下.師：如圖，我們連接圖BD，三角形是平行四邊形的？圖SEQFigure\*ARABIC8平行四邊形ABCD生：一半.師：那這個三角形面積是多少？生：SΔ師：好！我們接下來看這個三角形.圖SEQFigure\*ARABIC9三角形ABC師：同學(xué)們可以將它的面積表示出來嗎？生1：SΔ生2：SΔ生3：還可以表示成SΔ師：好！我們一起將它們整理起來就可以得到一個通用的公式，你們說老師來寫.生：S師：接下來我們來實際應(yīng)用一下.例如圖11，在三角形?ABC中，已知c=12,b=5，∠A=60°,求?ABC的面積.圖SEQFigure\*ARABIC10三角形ABC師：同學(xué)們可以舉手回答.生：S?ABC師：對！我們直接利用三角形面積公式將題中已知的信息代入其中，就可以直接計算出結(jié)果了，下面我們一起寫一下解題過程.解根據(jù)三角形面積公式S有S(三)鞏固應(yīng)用師：那現(xiàn)在我們一起來做幾個練習(xí)，同學(xué)們先嘗試著自己計算，3分鐘后請學(xué)生上來展示.例?XYZ的兩邊XY=12m，YZ=8m，∠XYZ=120°,求其面積.圖SEQFigure\*ARABIC11圖5(三角形?XYZ)生：解法如下，根據(jù)三角形面積公式就可以直接將三角形面積直接求出來.解由三角形面積公式S于是S師：同學(xué)們都是這樣做的嗎？有沒有其他不同的答案？生：是這樣做的，答案也一樣.師：我們根據(jù)三角形面積公式，將已知的條件代入到公式中就可以直接將面積求出，那我們再來看下一個題，與剛才一樣給同學(xué)們3分鐘時間，然后請同學(xué)到臺上展示.例已知一塊三角形的農(nóng)田面積為90m2，B=60°,c=15m生：這個題跟上個題是一樣的求法，直接將已知信息代入三角形面積公式就可以將a求出來了，解題過程如下解根據(jù)三角形面積公式S于是90=a=8(四)回顧總結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？你有什么收獲？1.正弦：有一個角為A的單位菱形面積和單位正方形面積的比(它等于有一個角為A的單位菱形面積的2倍)，叫做角A的正弦，記做sin(A)或sin2.平行四邊形面積公式：

S3.三角形面積公式：

S(五)作業(yè)布置3.2教學(xué)效果調(diào)查結(jié)果選取兩個班級的學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表SEQ表\*ARABIC2問卷調(diào)查選項占比A百分比B百分比C百分比D百分比題目1100100%00%00%00%題目233%66%9090%11%題目377%22%8989%22%題目49393%66%11%\\題目533%55%77%8585%題目633%9090%33%44%表SEQ表\*ARABIC3問卷調(diào)查總分占比分?jǐn)?shù)占比(%)62.25%83.7%109.12%1284.93%調(diào)查結(jié)果顯示，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了新體系定義之后，能夠理解正弦的定義.識記三角形和平行四邊形面積公式，并且能夠靈活運(yùn)用三角形和平行四邊形面積公式解決實際問題，認(rèn)為這種定義方式直觀易懂，能夠幫助他們理解正弦.間接的用面積來的推出三角形面積公式和四邊形面積公式他們接受起來更為容易，對后續(xù)的學(xué)習(xí)也產(chǎn)生了更大的期待，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)其實并不是都是枯燥的，數(shù)學(xué)也是很有意思的.4對三角新體系的一點認(rèn)識4.1傳統(tǒng)定義與新定義除了用菱形面積定義正弦外，我們還可以使用三角形來定義正弦，傳統(tǒng)定義與三角新體系方式不同本質(zhì)是相同的.傳統(tǒng)定義：在直角?ABC中，∠C=90°，銳角A的對邊與斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，如圖4-1，sin圖SEQFigure\*ARABIC12直角三角形?ABC新定義：頂角為A的單位等腰直角三角形的面積和頂角為直角的等腰三角形的面積的比（它等于頂角為A的單位等腰三角形的面積的2倍），叫做角A的正弦，記做sin(A)，或省略括弧記做sin在等腰三角形?ABC,AB=AC=1,圖SEQFigure\*ARABIC13等腰三角形?ABCS過點B作BH垂直AC，垂足為H，如下圖：圖SEQFigure\*ARABIC14等腰三角形?ABC用傳統(tǒng)定義方式得sinA用面積法進(jìn)行定義的話需作一個單位等腰三角形，作AK垂直AC，垂足為A，且AC=AK=1,如下圖：圖SEQFigure\*ARABIC15等腰三角形?ABC直角三角形?AKC由面積法新定義有sinA=觀察兩個表達(dá)式，sinA=也就是說，通過證明，兩個定義的本質(zhì)是一樣的，只是它們的表示方式不同，傳統(tǒng)定義采用邊對正弦進(jìn)行定義而新的定義則采用面積的比值來表示.因此可以在教學(xué)中可以將兩種方式結(jié)合起來.在大多數(shù)的教師看來，用直角三角形來定義正弦是預(yù)約定俗成的，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和已有知識結(jié)構(gòu)，可以先用傳統(tǒng)的定義方式引進(jìn)正弦、余弦、正切，再用新體系定義進(jìn)行拓展，將適用范圍拓寬，說明實質(zhì).即sinA是單位正方形到單位菱形面積的折扣，也是直角三角形中斜邊和角A對邊的長度的折扣，這樣，將兩者合理的整合在一起.讓學(xué)生更加系統(tǒng)、直觀的4.2正弦定理判相似我們把三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形稱為一對相似三角形.其中相似三角形對應(yīng)邊的比稱為相似比.在判定三角形相似時，我們一般要對三角形的角及邊進(jìn)行分析，過程本來是不復(fù)雜的，但有一種方法能夠更簡單的判別相似三角形，那就是應(yīng)用正弦定理.正弦定理在任意?ABC2在?ABC和?DEF中，若∠A=由已知條件和三角形內(nèi)角和定理知∠C=sinsin兩式作比，將sinA=sinD,a由此便可以判斷?ABC和?這種方法相對于要對三角形的角和邊逐個分析的這種方法來說，更加簡便，也更為清晰明了.4.3正弦判全等全