不等式中級水平(一)

不等式中級水平必備

一、鬲平均不等至

1、鬲平均函數(shù):設(shè)打，叼，°，則鬲平均函數(shù)定義為:

M(0)^x1x2...xn；(1)

M(r)n⑵

(1)⑵這兩個式子稱為事平均函數(shù).

2、鬲平均不等式:鬲平均函數(shù)在實數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增的.

利用其增減性得到的不等式稱為哥平均不等式.

3、在r。點的證明:設(shè)函數(shù)/(r)In三_f_二J'

n

r

Inx7x/Inx2...xnInxn

則:廣⑺

xrxr...xr

12n

xInx,x701nx,...x°Ynxln(xrx5..x)

于是：尸(0)X。，?！?:即

12n

即：e八°)內(nèi)林…用2.』

1

YrYrYr~r

而：M(r)

n

…丁r

則：InM(r)Ln￥Vf()

rnr

故：InM(O)limlnM(r)hi/&)1n/⑺/(。)f\0)

r0r0rrr0

0

則：M(0)e八。)②

將①代入②得:M(0)x2...Xn?(1)式證畢.

二、毒平均不等式的推論

1、在r1點：由⑵式得：

x1x1...11

xn

M(1)/'Hn(3)

n111

Xjx2...xn

故rI的鬲平均值是調(diào)和平均值.

2、在r。點：由已證明過的(1)式：M(0)^X1x2...xnGn⑷

故r0的鬲平均值是幾何平均值.

3、在r1點由(2)式得：

M⑴n“4(5)

故r1的量平均值是算術(shù)平均值.

4、在r2點：由⑵式得：

M(2)VOn⑹

nn

故r2的鬲平均值是平方平均值.

5、推論:根據(jù)衽均函數(shù)在實數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增，r由1012可得：

HnGnAnS(7)

當(dāng)且僅當(dāng)x1x2...X"時取等號.

以上是由以平均不等式推導(dǎo)的均值定理,在處理更高次方時，即r2時，(2)式仍適

用.

三、加權(quán)不等式

1、加權(quán)不等式:若I，2，“”“且12…n1，則，?就是權(quán)重，

當(dāng)程0(k1,2,時，恒有：

lal2a2a2n(8)

成立.

⑻式就是加權(quán)不等式.

2、對〃2時:此時(8)式為：1與2a2aI1a2

取1,上式變?yōu)椋?02

這是二元的均值不等式.

3、對〃3時:此時(8)式為：2a23a3aI1a2a3

取1,上式變?yōu)椋汗搓蛏?----

123JMa2a3

這是三元的均值不等式.

4、評價:此加權(quán)不等式為均值加權(quán),由于權(quán)重的靈活配置，加權(quán)不等式比均值不等式

更加靈活，也更加高效.

四、加權(quán)琴生不等式

1、琴生不等式:對于向下凸函數(shù),函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為:

/(町)/(*2)…/D/(勺“2…J

(9)

nn

左邊是函數(shù)的平均值，右邊是平均值的函數(shù)值.

對于向上凸函數(shù),只需在函數(shù)前面加一個負(fù)號就可以直接采用(9)式.

2、加權(quán)琴生不等式:若函數(shù)f(x1,x2,)在[a,切區(qū)間連續(xù)，且在(a,力)區(qū)間為向下凸函

I2???

數(shù)，若!，n[0,1],且”1,對于一切盯(a,b),

Xx

則：]/(町)???nf(Xn)f(11???nn)(10)

當(dāng)…_1時，(10試就化為(9)式.

12n-

因此，(I。)式是更普遍的琴生不等式.

3、推論:設(shè)函數(shù)/,在區(qū)間[a,切R時，/是一個連續(xù)函數(shù)，則：

⑴對一切[a,切，恒有：,/(*)J/(j)__(11)

222

⑵對一切x,y[a,b],(0,1),恒有：

fix)(1)f(y)/(x(I)j)(12)

4、向下凸函數(shù)判據(jù):設(shè)函數(shù)),在區(qū)間[a,切R時，/是一個連續(xù)函數(shù).

(D如果/(*)f(xy)成立，則汴向下凸函數(shù).

22

⑵如果/''(X)0,則然向下凸函數(shù).

五、柯西不等式

1、柯西不等式:設(shè)即,a2,an,b1,b2,與為實數(shù)，則：

(a/...a,/)(/>/...bj)(即辦...(13)

叫A

這就是著名的柯西不等式.

2、推論1:設(shè)即，與，…，％°，bj,b2,bn0,則：

」[7(?7—02—Z—%)―1—E—Z—Ja曲da2b2…八也(14)

3、推論2:設(shè)勾,與，…，%3b1,b2,...,bn0,則:

22即

a/a2a?(a2...aj

-----…~T~(15)

b]t>2----------------b]t>2???

(15)式被稱為權(quán)方和不等式.

4、推論3:設(shè)句,做，…，a”°，bj,b2,bn0,則：

a?1,ajaa”

ari1rla2...(__...」2(16)

22

bfb2bn即a2...anbjb2bn

5、推論4:設(shè)與，…，冊°，^j,b2,bn0,則：

0±_竺…?(ai做…aj(77)

%b2bnga2b2...a?bn

六、伯努利不等裝

1、伯努利不等式:設(shè)盯，必，…，X"1,則：2當(dāng)X?x2

時：

(IXj)(lX2)...(lXM)1Xjx2...”

xn

(18)

(1x)n1IK(19)

可見，(19)式是(18)式的特例，(18)式更普遍.

七、切線法不等司即：設(shè)限法

1、切線法:設(shè)/(x)為實值向下凸函數(shù),m,nR,x(?/,"),直線y?與理切

于(叫〃)，假設(shè):在x(叫〃)區(qū)間，始終有：

/(x)axb(20)

則：(20)式就稱為切線不等式.

當(dāng)/(x)ax方時，前面加負(fù)號就可以采用(20)式

2、指數(shù)不等式：e*x7(x1)

函數(shù)為：/(x)e。為向下凸函數(shù).

則：f\0)e°1,f(0)e°1,

在x。處的切線方程為：y/'(0)(x0)f(0)x1

故:在xI區(qū)間，由(20)式得:/(x)x1,即：e*x(21)

1

(21)式就是指數(shù)不等式.

3、對數(shù)不等式：Inxx1(x0)

函數(shù)為：/(x)Inx,為向上凸函數(shù).

設(shè)g(x)/(x)Inx,則g(x)為向下凸函數(shù).

1

則：g'(D1，g(DInI;0,

“Xlx

在XI處的切線方程為：yg'C0(x1)g(l)(x1)

故:在x。區(qū)間，由(20)式得：g(x)(x1),

即：Inx(x1),即：Inxx(22)

(22)式就是對數(shù)不等式.

八、定義符號

對于3個對稱變量的不等式，為了簡化書寫，便于計算，我們定義兩個簡化求和符號.

⑴定義：為單輪換求和:展開項數(shù)為3.

eye

P(x,y,z)P(x,y,z)P(y,z,x)P(z,x,(23)

y

eye

(23)式為單輪換求和定義式.

根據(jù)定義：

單個求和:xxyz；

eye

eye

eye

雙積求和:xyxyyzzx;

eye

x2yx2yy2zz2x;

x3yx3yy3zz3x;

x3y2x3y2y3z2z3X2.

eye

三積求和:xyzxyzyzxzxy

eye

22

x2yzxyzyzx^xyXjz(xyz)xyzx;

eye

2222222

Xyzxyzyzxzxyxjz(xyyzzx)xyzxy;

eye

332x

X3yzxyzyzxz3xyxyz(x2y2z)xyzx2.

eye

⑵定義：為雙輪換求和:展開項數(shù)為6.

P(x,y,z)P(x,y,z)P(y,z,x)P(z,x,j)P(x,z,y)P(z,y,x)P(y,x,z)

sym

P(x,y,z)P(x,z,(24)

y

eyeeye

(24)式為雙輪換求和定義式.

根據(jù)定義：

單個求和:xxy2(xyz)2x;

symeyeeyeeye

222c/222、c2

Xy2(xyz)2x;

symeyeeyeeye

X3X3y32(x3y3一)2x3.

symc;yeeyeeye

雙積求和:孫孫xz2(xyyzzx)2xy\

symcy(ceyeeye

x2yx2yx2zy2zy2xz2xz2yx2(yz)孫(X

symeyeeye

333333

xyxyxzy'zyXzXzy

sym

x3(yz)孫(x2y2)x(y3

eyeeyeeye

三積求和:xyz6xyz.

sym

222222

xyzxyzxzyyzxyxzzxyzyx2xyzX；

symeye

222222222222

xyzx,yzXzyy'ZXyxzzxyz2xyzxy\

symeye

⑶和的平方:

yz)2X2y2z22(xyyzzx)

2

簡寫為:XX22xy

eyeeye

(4)和的立方:

,3yz33(x2yy2zz2xxy2yz2zx2)6xyz

3

簡寫為:X33X2J6xyzx33

symeyesym

九、舒爾不等式

1、舒爾不等式:設(shè)x,y,z0,對任何r0,恒有:

z)z)(yx)(zx)(zy)o

簡寫為：xr(xj)(xz)(25)

0

eye

(25)式這就是舒爾不等式.

2、對r1的特例:

(1)X3y3Z33xyz

sym

簡寫為：x33xyzx2y,或xfxyz(26)

eyesymeyesym

由于：x(xy)(xz)x3x2yx2zxyz

所以：x(xJ)(xz)X3X2(yz)xyz

eye

X3x2(yz)3xyz

eyesym

代入(25)式得(26)式.

⑵(yzx)(zXj)(xyz)(27))

由于：(yzx)(zxy)(xyz)

[z(XJ)][z(Xj)](xyz)\z(xj)2](xyz)

y)(Xy)z(xy)2

3

ZXzy(XJ)(X2/)zz(x22xyy2)

3

ZXzy(V六y3)zz(x22xyy2)

x3x2y2xyz

eyesym

所以(27)式為：x3x2y2xyzxyz

eyesym

即：x33xyzx2y,這正是(26)式.

eyesym

⑶4(xyz)(xyyzzx)(Xyz)39xyz

簡寫為：4(x)(xy)(x)39(28)

eyeeye

不等式左邊:

4(xyz)(xjyzzx)4(x2yxyzzx2xy2y2zxyzxyzyz2z2

4x2y3xyz

sym

不等式右邊：

(Xyz)39xyzx33x2y15xyz

eyesym

2

代入(28)式得：4xy3xyzx33x2y15xyz

symeyesym

2332

即：xyx3xyz,即：x3xyzxyt這正是(26)式.

symeyeeyesym

(4)2(xyyzzx)(x2y22)—(29)

zxyz

--9尤丁丁

簡寫為:2xyx

eyeeyeX

eye

由(xyz)[2(xyyzzx)(x2y2z2)]9xyz得左渤1

2(xyz)(xjyzzx)(Xyz)(x2j2z2)

2x2y3xyz犬x2y

symeyesym

移項合并得：x33xyzx2y,這正是(26)式.

eyesym

2232

⑸*2yz^x^yz2(xyyzzx)

2

簡寫為：x*x2y2z2y(30)

eyesym

由xyz于萬z代入(29)式得:

、/222、9xyz9xyz222

2(xyyzzx)(xyz)---------xyz

xv34xyz

即：*2y2Z2J3*y2d-2(xyyzzx).

對于rIB寸，與此類似推導(dǎo).

十、繆爾海德不等式

1、繆爾海德不等式設(shè)田。2Mq仍7,3仇為實數(shù)且〃I

:,,a2a30,比b2b30,

a[b],a]a?b]方2，即a2a3bjb2b3\

設(shè)x,y,z0t則有:

％"?z"z02x03z"，x"2y"，z"，y"2

J^biyb2z力328/z岳yll3yb,xblzb3yblz力2z瓦％岳yb3y岳％岳

簡寫為：xaiya2ztt3xblyb2^(31)

symsym

這就是繆爾海德定理.

.a”(32)

2、推廣為一般式：X產(chǎn)“2%n

symsym

十一、赫爾德不等式

1、赫爾德不等式：設(shè)?,a,,a*%，方2，%,s，C2，C3為正實數(shù)，則有:

33333

簡寫為：^ci3哂3)

3g

i1i1iIi1

,nmimn

2、推廣為一般式：aya■(34)

(/

i1j1j1i1

3、推論：(1即)(1a2)...(lan)(10(35)

a1a2...a,l^

十二、排序不等或

1、正序和:前面繆爾海德不等式的前提就是一個數(shù)列的有序化,即數(shù)是按從大到小、或

者從小到大排列，這種按一定增減性排列的數(shù)就是有序數(shù).當(dāng)有序數(shù)列和

的增減性相同時：

Snalbl。2b2…anbn

稱為正序和.

2、反序和：當(dāng)有序數(shù)列a是從小到大排列，b是從大到小排列時：

Snma2b2...anbn

稱為反序和.當(dāng)然，若小時從大到小排列，b是從小到大排列時，S”也是反序

和.

3、亂序和：當(dāng)數(shù)列無序排列，或者》無序排列，或者兩者都無序排列時：

sab

niia力2…anb?

稱為亂序和.

4、排序不等式:正序和亂序和反序和(36)

(36)式稱為排序不等式.

十三、切比雪夫不等式

1、切比雪夫不等式：設(shè)x/,X2..,和力.V2,V"為任意兩組實數(shù)，若Xn與yn的升

降同序.即：

若吃x2...xn,貝！1為y2...拓

若Xix2...xn,貝！1為y2...切

jn］n1n

則：勺為4X(37)

nnn

i1i1i1

(37)式稱為切比雪夫不等式.

練習(xí)

［練習(xí)1］設(shè)a,5,c是一個三角形的三邊長，求證：「_____bL2.

bccaab

［練習(xí)2］設(shè)a也c0,求證：/bLJ-

bccaab2

［練習(xí)3］設(shè)［，且L——2,求證“一ji：Vx―1y［y—14z—1

xyz

［練習(xí)4］設(shè)x;,x2,??.,工〃為任意實數(shù)，證明不等式：

1Xj1Xjx21Xj...xn

［練習(xí)5］設(shè)0,且xy2,求證：—,2(%2y2)2.

［練習(xí)6］設(shè)a/0,且abI,求證；上J