新人教版高中數(shù)學五本書教材例題課后習題變式含答案7

7.3復數(shù)的三角表示

7.3.1復數(shù)的三角表示式

例1：畫出下列復數(shù)對應(yīng)向量，并把這些復數(shù)表示成三角形式:

(1)

(2)

分析：只要確定復數(shù)的模和一個輻角，就能將復數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.

解：(1)復數(shù)4+走i對應(yīng)的向量如圖7.3-2所示，則

22

a

=i,cose=L

22

立i對應(yīng)的點在第一象限，所以arg(1+

因為與4+171

222T

于是_L+?=cos萬..乃

——Fisin—.

2233

(2)復數(shù)1—i對應(yīng)的向量如圖7.3-3所示，則

r=712+(-l)2=V2,cos01_也

忑=為

IH7.33

77T

因為與1—i對應(yīng)的點在第四象限，所以arg（i-i）=z-

于是l-i=+isin——

4

當然，把一個復數(shù)表示成三角形式時，輻角。不一定取主值.例如

7171

V2cos+isin也是1-i的三角形式.

例2：分別指出下列復數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應(yīng)的向量，并把這些復數(shù)表示成代

數(shù)形式:

(1)cos-r+isin^；

⑵6cos@+isin止

I66

解：（1）復數(shù)cos"+isin〃的模r=1,一個輻角對應(yīng)的向量如圖7.3-4所示.所以

cos^+isin^=-l+Oi=-1.

IU7.3

（2）復數(shù)6（cos^^+isin^^］的模r=6,一個輻角。工，對應(yīng)的向量如圖7.3-5

<66J6

所示.所以

=6x立+6xj」］i

2I2j

=3百一3i.

1IN

6

6

一......■***>*

圖7.35

練習

1.把下列復數(shù)表示成三角形式，并且畫出與它們對應(yīng)的向量：

(1)4；

(2)-/；

(3)273+2?；

(4)_J?—烏.

22

【答案】(I)4=4(cosO+/sinO)；作圖見解析(2)-i=cos3=7r+isin37?r；作圖見

解析⑶2g+2z=4fcos9+/sin；作圖見解析⑷」一走j=cos—+/sin—；

166J2233

作圖見解析

【解析】

【分析】

只要確定復數(shù)的模和一個輻角，就能將復數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式.

【詳解】解：(1)4=4(cos0+isin0)；

⑵T=cos主+isin三

22

萬..乃］

(3)2G+2i=4cos—+zsin—I：

66/

/八1V3.47..47

(4)-------1=cos----l-zsin——?

2233

4,T,2百+2j,—；—gj分別對應(yīng)向量OZ',OZ^,西,OZ：,如圖所示.

【點睛】本題考查復數(shù)的三角形式，關(guān)鍵是求出復數(shù)的模和輻角，復數(shù)三角形式中

輻角不一定是主值即不一定在[0,2幻內(nèi).

2.下列復數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它們表示成三角形式.

1(71..萬)

(1)—cos——zsin—；

2(44)

7萬..7乃

(4)cos--+zsin——；

55

(5)2cos—+zsin—.

36

](7

【答案】⑷是三角形式；⑴⑵⑶⑸不是三角形式.⑴aEf+isin7兀、

14乃..4乃)71..71(5)>/2^cos^+zsin-^

⑵5cos——+zsin——(3)cos一+，sin一

33)21212

【解析】

【分析】

復數(shù)的三角形式是z=r(cose+isin8),其中r是復數(shù)的模，不小于0,6是一個輻

角.

1(兀萬、1(7萬7萬、

【詳解】(1)中間是"-”號，不是三角形式.-cos--zsin-=-cos—+/sin—；

2(44)2144J

1(7171\

(2)括號前面是負數(shù)，不是三角形式，-i[cos§+isin§J=

If4〃..

—cos——+/sin

2(3

(3)括號內(nèi)前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，|fsin^+zcos^=

2n..re\

cos—+zsin—；

21212；

(4)是三角形式.

⑸括號內(nèi)前后兩個角不相等，不是三角形式，21cosm+isi哈卜

—71+z.s.in乃—

44

【點睛】本題考查復數(shù)的三角形式，關(guān)鍵是掌握三角形式：z=r(cos9+isine),

r>0,e是一個輻角.

3.把下列復數(shù)表示成代數(shù)形式:

/37..3乃)

(1)6cos---FIsin—；

I22)'

(2)21cos即+isin.

【答案】(1)-6z(2)1-V3z

【解析】

【分析】

求出三角函數(shù)值，化為a+初(a,beR)形式.

(3)34A6c吟+回科…;

【詳解】解：(1)6lCOSy+ZSiny

(2)2^cos1y-+Zsin1^j=2cos1y-+^2sin1^j/=1-Gi.

【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式，由三角形式化為代數(shù)形式，只要計算出三角函

數(shù)值，化為。+4(a”eR)形式.

7.3.2復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

3(7171)(JiJi)

例3：已知％cos；+isin：z=2cos—+isin—,求z—,請把結(jié)果化為代

2\66)2\33)

數(shù)形式，并作出幾何解釋解.

1..乃、

解：ZjZ=~\cos—4-isin—Ix2lcos——Fisin—

233)

(n7r\..71萬、

=-x2cos一+—+1sin—4--

2(63)63)

兀.、冗

=3ocos—+isin—

I22

=3i.

??_?TT

首先作與Z-Z2對應(yīng)的向量。Z1,QZ2,然后把向量繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

TT

再將其長度伸長為原來的2倍，這樣得到一個長度為3,輻角為彳的向量02(圖7.3-7).

0Z即為積Z|Z2=3i所對應(yīng)的向量.

例4：如圖7.3-8,向量反對應(yīng)的復數(shù)為1+i，把02繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。，得

到反7求向量5彳對應(yīng)的復數(shù)（用代數(shù)形式表示）.

圖7.3-8

分析：根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，向量方對應(yīng)的復數(shù)是復數(shù)1+i與z°的積，其中復數(shù)

z0的模是I,輻角的主值是120°.

解：向量制對應(yīng)的復數(shù)為

(l+i)(cosl20°+isinl200)

H+芻]

=(l+i

227

-1-V3V3-1.

--------1----------i?

22

47rJ5萬..57

cos------Fisin—+21cos------Fisin—,并把結(jié)果化為代數(shù)形式.

66

47r5)4%5〃

解：原式=2cos+isin

3636

=2cos—+isin—=2(0+i)=2i.

22

練習

4.計算:

、。/兀??兀)"7兀1..兀Tl)

(1)8cos—+isin—x2cos—+isin—.

I66I441

A4K..4n].(557兀i...55T無I)

(2)2cos-----l-isin——x4cos-----l-isin——?

I33JI66Y

/o

(3)0(cos2400+isin2400)x^-(cos60°+isin600)；

(4)3(cosl8°+isinl8°)x2(cos540+isin540)x5(cos108°+isinl08°).

【答案】(1)4>/6-4>/2+(4>/6+4V2)i

(2)46+4i

V63立

(3)------------------1

44

(4)-30

【解析】

【分析】直接利用復數(shù)的三角表示的運算法則結(jié)合三角恒等變換計算得到答案.

【小問1詳解】

/\/\r/

+兀、+，.S.inr7i+兀丫|

8cos--Fisin-x2cos-4-isin-=16cos-■4jl67jJ

I66；L44；L16

上上&\丘.(166也、

=16——x------x----bi—x---1-----x=4#-4近+(4#+4&)上

乙乙乙乙乙乙乙乙

L\

【小問2詳解】

14兀..4兀、/5兀..5兀、OF(4TI5兀)..(4兀5兀)~|

2cosFisin—x4cos—+isin—=8COS---F——H-lSin---F—

133J166JLI36JI36JJ

=8a+匕]=4石+4i.

、22,

【小問3詳解】

V2(cos2400+isin240°)x彖cos60°+isin

60°)

=*[cos(240°+60°)+isin(240°+60°)]=y/6372.

---------1?

44

【小問4詳解】

3(cos18°+isin18°)x2(cos540+isin54°)x5(cos108°+isin1080)

=6[cos(18°+54°)+isin(18°+54°)]x5(cos108°+isin1080)

=30[cos(18。+54。+108。)+isin(18。+54°+108°)]=-30.

5.計算：

(1)cos—+?sin—14-6fcos—+?sin—；

I44JLI33JJ

(2)V3(cos150+isin150)4-[0(cos225"+isin225°)]；

(71..4、

(3)2+cos—Fzsin—?

I44廣

(4)T+[2(cosl20"+，sinl20°)].

【答案】⑴—立十嶼一這一立i(2)V2-V2Z(4)~—+~i

224444

【解析】

【分析】

把復數(shù)改為三角形式，然后根據(jù)復數(shù)三角形式的除法法則計算.即模的商作為商的

模，輻角的差作為商的輻角.然后再化為代數(shù)形式.

【詳解】解：(1)12fcos-^-+zsin-^-14-6fcos—^-+zsin-

cos史+isin史1

=2

1212

JV2+V6瓜-6、V2+V6V6-V2.

4422

\7

(2)V3(cos150+isin150[后(cos2250+isin225)]

=培[cos(150°-225°)+zsin(150°-225°)]

V3/?-o..c\V35/6—V25/6+V2.3—y/33+5/3

=-7=cos75-zsm75=—^------------------------1=-------------------

◎7y/2[44J44

-4,?)

(3)24-cos—FIsin—

I44

-2(cos()+1sin0)+cos—+zsin—

I44

二2cos工一isin工]=2=yfl->/2z；

I44)[22)

(4)-i-5-1^2(cos120°+isin120°)1

=fcos^+zsin^V2嬴軍+isin組

I22JI33)

342%3冗2%54..5萬

cos+zsincos---Fzsin——

2(23)1232I66

V31.]G1.

22J=-----1—I.

244

另解

第（3）題還可以這樣解、:

原式=2+烏

~Tl

夜.\

----1

2

7

0)

-----z

22

7

V2-V2/.

第（4）題還可以這樣解:

+2x3

原式=一，+2x

-z-(-l-V3z)

(-1+5/30(-1-A/30

V31.

=---1—I?

44

【點睛】本題考查復數(shù)三角形式的除法運算，掌握三角形式的除法法則是解題基

礎(chǔ).除法法則：兩個復數(shù)三角形式相除，把模的商作為商的模，輻角的差作為商的

輻角.最終結(jié)果一般要化為代數(shù)形式.

6.在復平面內(nèi)，把與復數(shù)3-6對應(yīng)的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，求

與所得的向量對應(yīng)的復數(shù)(用代數(shù)形式表示).

【答案】—2后

【解析】

【分析】z,=3-73i=2V3(cos3300+isin330°),根據(jù)向量旋轉(zhuǎn)結(jié)合復數(shù)的三角運

算得到答案.

【詳解】4=3-V3i=2^(cos3300+isin330°),

對應(yīng)向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，

所對應(yīng)的復數(shù)為4=26[cos(3300-60°)+isin(3300-60°)]=-2亞.

習題7.3

復習鞏固

7.畫出下列復數(shù)對應(yīng)的向量，并把這些復數(shù)表示成三角形式：

(1)6：(2)1+z；(3)I一亞;(4)--+-!-z；

22

【答案】(1)6(cos0+isin0),畫向量見解析(2)近(cos?+isin?),畫向量見解

析(3)2(cos若+isin若],畫向量見解析(4)cos^+isin￥，畫向量見解

析

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義，求出模長和輻角，即可求解.

【詳解】解：(1)6對應(yīng)的向量如答圖中

r=6,cos=1,sin0=0,又6e[0,2%),

/.0=0,:.6=6(cos0+zsin0).

y

6

o

（2）1+i對應(yīng)的向量如答圖中ON2,

;?r=>/2,cos9=,sin6=，

22

n冗..乃

又?！闧0,2萬),.?.6=—..l+i=cos—+zsin—I

444

（3）l-Gi對應(yīng)的向量如答圖中

.?r=Vl+3=2,cos^=—,sin^=--,

22

5%..57

又。6[0,2%),.,.8=2，-亞=2cos——+zsin——

333

r=1,cos9=-—,sin。=,，又6e[0,2萬)，0=—

226

【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義及三角形式，屬于基礎(chǔ)題.

8.把下列復數(shù)表示成代數(shù)形式:

30(cos￡+isin?J；

(1)

8(cosgsin@

(2)

66

(3)9(cos4+isin兀)

4萬..4乃

(4)6cos——+zsin——

I33

【答案】(1)3+3i；(2)4百一4i；(3)-9；(4)一3—3?.

【解析】

【分析】

求出各復數(shù)的實部和虛部三角函數(shù)值，即可求解.

【詳解】解.(1)原式=3后x[等+=3+3/；

(2)原式=8x]^^—=4-$^—4z；

(3)原式=9x(—l+0i)=-9；

(4)原式=6x————z=-3—3y[3i.

、22,

【點睛】本題考查復數(shù)三角形式與代數(shù)形式互化，屬于基礎(chǔ)題.

9.計算：

Jn..Jn..

(1)3cos—+zsin—x3cos—+zsin—；

I33)I66),

/、

_7T..TC

(3)lOlcos—+zsin—+5cos—+zsin—

3333)

[c/37c..3zr,1TC..T7Ct

(4)12cos——+zsin—+6cos—?Hsin一

22；667

【答案】(1)9i；(2)-Vio+sficii；(3)1+V3z;(4)-1-V3Z.

【解析】

【分析】

復數(shù)化為三角形式,按三角形式的運算法則，即可求解.

/、

7171..

【詳解】解：(1)原式COS——I+zsm=9cos—?Fzsin—=9/

=3X3XU6)I22

(2)原式=河'垃乂

、

3%..3兀2對令亭

cos——+zsin——

44

7

=-Vio+Vioz；

(3)原式=/xcos2萬冗'’2兀汽、4..冗

+isin-2cos—+zsin—

33I33

1+瘋;

(2烏2)］

1237r萬、3萬71

(4)原式=”乂cos+zsin

6~2~~6

iG.、

J4〃..4乃-1-5^/.

2cos----hisin—2x------------1

3322

7

【點睛】本.題考查復數(shù)三角形式的乘除法運算，屬于基礎(chǔ)題

10.計算下列各式，并作出幾何解釋:

24..2萬7T..71

(1)cos----1-1sin-——I-zsin—

333

(2)2(cos75+zsin75xi4z-

34..3萬、

(3)4(cos300+zsin300)+——+zsin——

44J

一1+且iLMcosO71isin^71

(4)

22)33

【答案】（1）-4,幾何解釋見解析（2）&+旦,幾何解釋見解析（3）

22

-（6+1）+（6-1?，幾何解釋見解析（4）二+鳥,幾何解釋見解析

44

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)乘除法運算法則，即可求值，應(yīng)用三角形式的幾何意義，即可解釋運算結(jié)

果.

【詳解】(1)原式=V^x20x(cos%+sin%)=4x(-l+Oi)=-4.

2TT2))冗..燈)

幾何解釋：設(shè)ZV2Icos-^-+zsin^-l,z2=2v21cosy+zsinyI,

作與Z1,Z2對應(yīng)的向量的，區(qū)，然后把向量0Z

TT

繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)再將其長度伸長

為原來的2近倍，得到一個長度為4,輻角為兀的

向量反，則。2即為積z/Z2=-4所對應(yīng)的向量.

(2)原式=2卜。$75°+isin75")x^^

cos315°+sin315)

=y/2(cos390+zsin390")=41x-------1----1=--------1-------1

、22J22

兒何解釋：設(shè)％=2(cos75°+isin75)Z2=；-gi=#(cos315°+sin315°),

作與4/2對應(yīng)的向量鬲，返，然后把向量應(yīng)?

繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)315。，再將其長度縮短

為原來的辛，得到一個長度為逝、輻角為《的

向量場S則。2即為積Z1?Z2=^^+立^所對應(yīng)的向量.

'-22

/八HaA\5萬..5萬1rr(3兀..

(3)原式=4cos---Fisin—+A/2cos---Fisin—

I33JLI44)

=2V2x^+V1+^-2/2Z;=_(百+l)+(G-l)i.

44

7

幾何解釋：設(shè)Z[=4（cos300°+zsin300）=4^cos—+zsin—J,

[—（37i..3兀）..

z?=V21cos-屋+isin-^J作與馬小對應(yīng)的向量。^,。%2,

然后把向量。4繞原點o按順時針方向旋轉(zhuǎn)3邛兀，再將其長度

縮短為原來的白，得到一個長度為20，輻角為*的向量02,

則即為告=-（&+1）+（百-1）'所對應(yīng)的向量.

Z?

n..n

（4）原式=cos—+zsin—

33

\_(7..

cos-+zsin—

2I33)44

L把』。s至+isin空z=2(cos￥+isin』

幾何解釋:設(shè)4

2233<33j

作與4，Z2對應(yīng)的向量砥，無，然后把向量歷?

7T1

繞原點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)再將其長度縮短為原來的

得到一個長度為51，輻角為3TT的向量無，

則無即為五=[+￡?所對應(yīng)的向量.

z244

【點睛】本題考查復數(shù)乘除運算，以及復數(shù)乘除運算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

綜合運用

11.(1)求證-----------=cos6-isin6；

cosO+isin。

(2)寫出下列復數(shù)z的倒數(shù)工的模與輻角；

Z

A|兀..兀|冗、.兀y2八.、

z=4cos—+zsin一,z=cos---zsin—,z=——(1-z).

I1212J662

【答案】（I）證明見解析（2）答案不唯一，見解析

【解析】

【分析】

（1）按照復數(shù)三角形式的除法運算法則計算，或等價轉(zhuǎn)化為證明兩個復數(shù)相乘;

（2）將復數(shù)化成三角形式，用（1）的結(jié)論求出,，再化為三角形式.

Z

■、平，八葉、+1cos0+sin0

【詳解】(l)證法l：左邊=---------^=cos(0-ne)+sm(0-en)=cose-sm8n=

cosJ+isin。

右邊

證法2：(cos0+sin^)(cos0-sin0)=cos26-(sin6)?

=cos2e+sin2。=1,

1

=cos6-isin。

cosG+isin。

，原等式成立.

I7T,.7L?,

(2)解：z=4[cos在+,sm同時,

1127i..n23萬..23?

cos-——isin——cos-----+zsin-----

z\71.71412121212

4Acos——+sin——

I1212

二?一的模為:，輻角為+2左肛左GZ.

z412

z=cos工-isin工時,

66

1_11無+L=cos三+isin工

zn..71

cos——zsin—2266?

6622

]九7

y的模為】‘輻角為％+2丘丘Z.

z=^^(I-i)時、

lV2y/2s/2.n..7i

—=--=--1--1=cos——Hsin—，

z\-i2244

1JT

，一的模為l,輻角為丁+2〃肛ZeZ.

z4

【點睛】本題考查復數(shù)三角形式的除法運算，以及常用結(jié)論的應(yīng)用，考查計算能

力，屬于中檔題.

12.求證：

(1)(cos75°+isin750)(cos15°+isinl50)=i

(2)(cos30-isin36)(cos2。一isin2。)=cos50-isin50

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】將各因式化為三角形式，按照復數(shù)三角形的乘法法則，即可得證.

【小問1詳解】

左邊=cos”+15)+isin(750+15。)

=cos90+isin90°=i,

/.(cos75°+isin750)(cos15°+isinl5°)=i.

【小問2詳解】

左邊=[cos(-3。)+isin(-38)][cos(-2。)+isin(-2。)]

=cosK-36)+(-20)1+isin[(—36)+(-26)]=8s(-56)+isin(-56)

=cos56-isin58,

(cos30-isin3。)(cos20-isin26)=cos50-isin50.

13.化簡：

(cos7。+isin76)(cos23+isin2。)

?)(cos56+isin59)(cos33+isin30)

(2)cos(p-isin(p

cose+isin夕

【答案】(I)cos6>+zsin(2)cos2<p-zsin2(p

【解析】

【分析】

將復數(shù)化為三角形式，按照復數(shù)三角形式的除法法則，即可求解.

■、-*cos96+isin90八..八

【詳解】解：(1)原式=---——..—=cos<9+fsin6>.

cos86+2sin86

,，一,cos(—0)+isin(—0)「、../3、一..八

(2)原式=----------------=cos(—2。)+1sin(-2夕)=cos2(p-1sin2(p

cos/+isin/

【點睛】本題考查復數(shù)三角形式的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)Z=KT?對應(yīng)的向量為應(yīng)，將成繞點。按逆時針方向和順時針方向分別

旋轉(zhuǎn)45。和60。，求所得向量對應(yīng)的復數(shù)(用代數(shù)形式表示)

【答案】逆時針方向旋轉(zhuǎn)。所得向量對應(yīng)的復數(shù)為：,按順

45V6+V2+V6-V2；

22

時針方向旋轉(zhuǎn)60。所得向量對應(yīng)的復數(shù)為-2，

【解析】

【分析】

將復數(shù)對應(yīng)的向量變換為復數(shù)三角形式的乘積，即可求解.

【詳解】解：將反繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。所得向量對應(yīng)的復數(shù)為：

(6-i)(cos450+sin45")=2(cos330+zsin330°)(cos45°+zsin45")

=2(cos375°+isin375")=2x(cosl5。+zsinl5)

c(V6+V2屈-0'V6+V2V6-V2.

I44J22

將無繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。所得向量對應(yīng)的復數(shù)為

(V3-z)[cos(-60,)+zsin(-60”)]

=2(cos330。+isi”330°)[cos(-60°)+isin(-60°)]=2(cos270°+zsin2700)

=2x(Q-i)=-2i

【點睛】本題考查復數(shù)乘法幾何意義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題

拓廣探索

15.如圖，復平面內(nèi)的是AABC等邊三角形，它的兩個頂點A,B的坐標分別為

(1,0),(2,1),求點C的坐標.

【解

【分析】

將坐標原點平移至A,在新坐標系求出而對應(yīng)復數(shù)的三角形式，應(yīng)用乘法的幾何

意義，求出/對應(yīng)復數(shù)的坐標，即可求出C點在新坐標系中的坐標，再根據(jù)坐標

平移關(guān)系，可求出結(jié)論

【詳解】解：將原點0平移至A點，建立平面直角坐標系My',則|A8|=也,

AB=1+z=V2+=6cos—+zsin—,

I22JI44；

TT

將麗繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)!■得

AC=V2^cos-^+4sin-^-cos^-y^+zsin^-y

rr^6+>/2V6—\/2,s/3+11—.

=yJ2x-----------------1=------1------1,

I44J22

二在原平面直角坐標系xOy中，

,_,fV3+1,