備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義微專題11　數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題

微專題11數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和(或積)的問(wèn)題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))例1已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＋an＝4n.(1)求數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和S100；【解答】因?yàn)閍1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解答】由題意，an＋1＋an＝4n①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)②，由②－①得，an＋2－an＝4.因?yàn)閍1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為4的等差數(shù)列．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)－1))×4＝2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)－1))×4＝2n－1.綜上所述，an＝2n－1.變式已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an·an＋1＝4n，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；【解答】由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝4.因?yàn)閍n·an＋1＝4n①，則an＋1·an＋2＝4n＋1②，由eq\f(②,①)可得eq\f(an＋2,an)＝4，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公比為4的等比數(shù)列．因?yàn)閍1＝1，a2＝4，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝a1×4eq\s\up10(\f(n＋1,2)－1)＝2n－1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝a2×4eq\s\up10(\f(n,2)－1)＝2n.綜上，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù).))(2)若bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2an，n為奇數(shù)，,an＋1，n為偶數(shù)，))求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.【解答】由(1)得bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n為奇數(shù)，,2n＋1，n為偶數(shù)，))所以S2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n2n－2,2)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(41－4n,1－4)＋n))＝n2＋eq\f(4n＋1,3)－eq\f(4,3).分段函數(shù)型例2在數(shù)列{an}中，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù).))(1)求a1，a2，a3的值；【解答】因?yàn)閍n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù)，))所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5.(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解答】因?yàn)閍n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1，n為奇數(shù)，,2n，n為偶數(shù)，))所以a1，a3，a5，…是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中有eq\f(n＋1,2)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有eq\f(n－1,2)個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)＝eq\f(n＋1,2)×1＋eq\f(\f(n＋1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)－1)),2)×4＋eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－4eq\s\up10(\f(n－1,2)))),1－4)＝eq\f(n2＋n,2)＋eq\f(2n＋1－4,3)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中有eq\f(n,2)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有eq\f(n,2)個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)＝eq\f(n,2)×1＋eq\f(\f(n,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)－1)),2)×4＋eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－4eq\s\up10(\f(n,2)))),1－4)＝eq\f(n2－n,2)＋eq\f(2n＋2－4,3).所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n2＋n,2)＋\f(2n＋1－4,3)，n為奇數(shù)，,\f(n2－n,2)＋\f(2n＋2－4,3)，n為偶數(shù).))變式(2022·荊門二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－2an＋1，且a2＝eq\f(1,4).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；【解答】在數(shù)列{an}中，由Sn＝1－2an＋1可知Sn＋1＝1－2an＋2，兩式作差可得Sn＋1－Sn＝(1－2an＋2)－(1－2an＋1)，即an＋2＝eq\f(1,2)an＋1.當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1－2a2，即a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,4)，所以數(shù)列{an}是以eq\f(1,2)為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，即an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.(2)設(shè)bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log0.5an，n為奇數(shù)，,an，n為偶數(shù)))(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.【解答】由(1)知bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n為奇數(shù)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，n為偶數(shù)))(n∈N*)，所以T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,16)＋…＋\f(1,22n)))＝eq\f(n1＋2n－1,2)＋eq\f(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝n2＋eq\f(1,3)－eq\f(1,3×4n).通項(xiàng)含有(－1)n的類型例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,2Sn＝3an－9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；【解答】當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝3a1－9，因?yàn)镾1＝a1，所以2a1＝3a1－9，所以a1＝9.因?yàn)?Sn＝3an－9，所以2Sn＋1＝3an＋1－9，兩式相減，得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.又因?yàn)閍1＝9，所以an>0，所以數(shù)列{an}是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝9×3n－1＝3n＋1.(2)若bn＝(－1)nlog3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解答】由(1)可知bn＝(－1)nlog3an＝(－1)n(n＋1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－n＋(n＋1)]＝eq\f(n,2).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋[－(n－1)＋n]－(n＋1)＝eq\f(n－1,2)－(n＋1)＝－eq\f(n＋3,2).所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，n為偶數(shù)，,－\f(n＋3,2)，n為奇數(shù).))1.數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新的數(shù)列進(jìn)行考查，易搞錯(cuò)的是新數(shù)列與原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)、公差、公比的判定．2.常用知識(shí)點(diǎn)：