人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專題17.6 勾股定理（直通中考）（提升練）

專題17.6勾股定理（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于，兩點(diǎn)，則的長是（

）

A． B． C．2 D．2．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知直角三角形的三邊滿足，分別以為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無重疊部分的面積為，均重疊部分的面積為，則（

）A． B． C． D．大小無法確定3．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，則的長為（）

A． B． C． D．4．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線與交于點(diǎn)D，，垂足為E．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．B． C． D．5．（2022·廣西·中考真題）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（

）A． B． C．或 D．或6．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則ABC的面積是（

）A． B．1+ C．2 D．2+7．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若的面積是24，，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．38．（2021·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上，當(dāng)AM＝AB時(shí)，PB＋PM的最小值為（

）A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋39．（2021·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，、、、是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．若，，則線段的長度為（

）A．6cm B．7cm C． D．8cm10．（2021下·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕現(xiàn)交于點(diǎn)F，已知EF=，則BC的長是（）A． B．3 C．3 D．3填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的角平分線，，分別是和的高，，，則點(diǎn)E到直線的距離為．

12．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．13．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線，交于點(diǎn)E，若，，則．

14．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為．

15．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)D，則線段的長為．

16．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為km．17．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計(jì)）

18．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，若，，則的長為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．

（1）畫出線段關(guān)于直線對稱的線段；（2）將線段向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到線段，畫出線段；（3）描出線段上的點(diǎn)及直線上的點(diǎn)，使得直線垂直平分．20．（8分）（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

（1）求證：；（2）若時(shí)，求的長；（3）點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請說明理由．21．（10分）（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，．

（1）求證：；（2）若，時(shí)，求的面積．22．（10分）（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，．

（1）寫出與的數(shù)量關(guān)系（2）延長到，使，延長到，使，連接．求證：．（3）在（2）的條件下，作的平分線，交于點(diǎn)，求證：．23．（10分）（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

（1）尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)（不寫做法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作圖形中，求的面積．24．（12分）（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）八年級課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．參考答案：1．B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長，即可得到結(jié)論．解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)題意，由勾股定理可得，易得，然后用分別表示和，即可獲得答案．解：如下圖，∵為直角三角形的三邊，且?！?，∴，∵，，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理以及整式運(yùn)算，結(jié)合題意正確表示出和是解題關(guān)鍵．3．D【分析】過點(diǎn)D作于M，由勾股定理可求得，由題意可證明，則可得，從而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得結(jié)果．解：過點(diǎn)D作于M，如圖，由勾股定理可求得，由題中作圖知，平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴；設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長為為；故選：D．

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用全等的性質(zhì)、利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】由作圖方法可知，是的角平分線，則由角平分線的定義和性質(zhì)即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面積法求出，由此求出即可判斷C、D．解：由作圖方法可知，是的角平分線，∴，故A結(jié)論正確，不符合題意；∵，∴，故B結(jié)論正確，不符合題意；在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，∴，故C結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；∴，故D結(jié)論正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)和定義，角平分線的尺規(guī)作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】分情況討論，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．解：如圖，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，即，，；如圖，當(dāng)△AB1C是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為或，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計(jì)算AE和BC的長，根據(jù)三角形的面積公式可解答．解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴∴△ABC的面積．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．A【分析】連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長．解：如圖，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，∵AB=AC，AD平分與BC相交于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△AED==6，∵G是AD的中點(diǎn)，∴S△EGD==3，∵E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】作B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，則PB＋PM的最小值為B'M的長，過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值為2．解：作B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接B'M交AC于點(diǎn)P，∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值為B'M的長，過點(diǎn)B'作B'H⊥AB交H點(diǎn)，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，∴PB＋PM的最小值為2，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱—最短路線問題，涉及到解直角三角形，解題的關(guān)鍵是做輔助線，找出PB＋PM的最小值為B'M的長．9．D【分析】分別過B、D作AE的垂線，垂足分別為F、G，證明，即可證明，進(jìn)一步計(jì)算即可得出答案．解：分別過B、D作AE的垂線，垂足分別為F、G，∵，，∴，∴，在和中；，∴，∴BF=CG，∵，∴均為等腰三角形，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．10．B【分析】折疊的性質(zhì)主要有：1.重疊部分全等；2.折痕是對稱軸,對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.由折疊的性質(zhì)可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性質(zhì)可知,所以,的長可求，再利用勾股定理即可求出BC的長．解：AB＝AC，,故選B.【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，求出∠AFB=90°是解題的關(guān)鍵．11．/【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得點(diǎn)D到的距離等于點(diǎn)D到的距離的長度，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法求解即可．解：∵是的角平分線，，分別是和的高，，∴，又，∴，設(shè)點(diǎn)E到直線的距離為x，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識(shí)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關(guān)鍵．13．4【分析】利用圓的性質(zhì)得出垂直平分和，運(yùn)用勾股定理便可解決問題.解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，其中，∴，在中，，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查圓和三角形的相關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.14．【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解．解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴當(dāng)、、B三點(diǎn)在同一條直線時(shí)，取最小值，最小值即為；故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．解：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，由題意得：平分，，，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點(diǎn)掌握勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．16．50【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．解：如圖，根據(jù)題意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即A，C兩港之間的距離為50km．故答案為：50【點(diǎn)撥】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．10【分析】如圖（見分析），將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．18．//1.5【分析】先根據(jù)證明，推出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求的長．解：，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，又，，，中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，證明是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）見分析；（3）見分析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，連接，則線段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點(diǎn)即為所求．（1）解：如圖所示，線段即為所求；

（2）解：如圖所示，線段即為所求；

（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．（1）解：由題意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．當(dāng)最小時(shí)，有的值最小，此時(shí)．為等腰直角三角形，．．即的最小值為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對等角得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)求出和，然后利用勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．解：（1）證明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：過點(diǎn)E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正