拓展四圓錐曲線的向量問題-2

拓展四圓錐曲線的向量問題解析幾何中，將代數(shù)和幾何聯(lián)系到一起，形成了圖形分析和坐標等的計算，在一定程度上可以進行向量的計算，達到解決解析幾何的目的。這類試題的常規(guī)形式是用向量形式給出某些條件或結論,其難點往往不在向量上,對向量部分只需運用向量基礎知識即可實現(xiàn)相應轉化.平移向量作為工具處理圓錐曲線中的長度、角度、共線、垂直、射影等許多問題,使得這類問題成為高考命題的一個熱點,且時常出現(xiàn)在解答題中.向量的運算向量的數(shù)量積若，則向量的數(shù)乘若，則時，向量的線性運算若，則時，.向量的翻譯向量垂直當直線時，利用向量進行數(shù)量積的翻譯，即,（用斜率翻譯時，要注意斜率不存在的情況）向量模長當時，通過平方推導，轉化為，即翻譯成垂直.定角求解角度的大小時，通過向量的夾角公式進行翻譯，向量的數(shù)量積，即.直角當為直角時，則銳角當為銳角時，則；鈍角當為鈍角時，則；點在圓上直徑所對圓周角為直角，向量的數(shù)量積等于零，即當為直角時，則；點在圓內(nèi)直徑所對圓周角為鈍角，即向量的數(shù)量積小于零；當為鈍角時，則；點在圓外直徑所對圓周角為銳角，即向量的數(shù)量積大于零；當為銳角時，則；平行四邊形若點滿足,則四邊形ABCD是平行四邊形,涉及圓錐曲線中的平行四邊形要注意對邊長度相等、斜率相等,兩對角線中點為同一個點等條件的應用.向量其他常見條件1.設為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則C為線段AB的中點:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標或縱坐標相等進行轉化,涉及向量共線問題,通項利用非零向量共線轉化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標運算進行轉化.類型一向量數(shù)量積1．（2022·江蘇·寶應中學高二期中）設橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于A，B兩點，已知點，求的值.2．（2022·西藏拉薩·一模（文））已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于，兩點，為橢圓的左焦點，若，求直線的方程．3．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.類型二向量數(shù)乘（一）向量共線4．（2022·江蘇·高二）設A，B是橢圓C：的左右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點.(1)D是橢圓C的上頂點，且直線PA與直線BD垂直，求點P到x軸的距離；(2)過點的直線（不過坐標原點）與橢圓C交于M，N兩點，且點M在x軸上方，點N在x軸下方，若，求直線的斜率.5．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：（）的離心率，點、之間的距離為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.6．（2022·福建·廈門海滄實驗中學高二階段練習）已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點(1)求雙曲線方程；(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程．7．（2022·甘肅酒泉·模擬預測（理））已知P為曲線C上一點，M，N為圓與x軸的兩個交點，直線，的斜率之積為．(1)求C的軌跡方程；(2)過點的直線與C交于A，B兩點，若，求λ的取值范圍.8．（2022·全國·高二單元測試）已知橢圓的長軸長為，右焦點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點，橢圓上存在點，使得，求實數(shù)的值.9．（2022·全國·高二專題練習）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結交直線于點，求證：三點共線．利用向量共線求雙變量的關系式10．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓經(jīng)過點，左焦點為F，．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點作直線l交橢圓C于A、B兩點，過點F且垂直于x軸的直線交直線l于點E，記，求證：．11．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模（文））已知橢圓：（）的短軸長為，是橢圓上一點．(1)求橢圓的方程；(2)過點（為常數(shù)，且）的直線與橢圓交于不同的兩點，，與軸相交于點，已知，，證明：．12．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校高二期中）已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設，試判斷是否為定值？請說明理由.13．（2022·全國·高二專題練習）已知、分別是橢圓的左右頂點，為坐標原點，，點在橢圓上．過點，且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于、兩個不同的點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若點落在以線段為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍；(3)當直線的傾斜角為銳角時，設直線、分別交軸于點、，記，，求的取值范圍．類型三利用向量加法的幾何意義構造平行四邊形14．（2022·山東省青島第五十八中學高二期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，且，若M為橢圓C上一點，線段與圓C：相切于該線段的中點N．(1)求橢圓C的方程；(2)過點做直線l與橢圓C交于A，B兩點，且橢圓C上存在點P，使得四邊形若OAPB為平行四邊形，求直線l的方程．15．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓：的離心率是，以的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積是.(1)求的方程；(2)直線與交于，兩點，是上一點，，若四邊形是平行四邊形，求的坐標.16．（2022·全國·高二單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的短軸長為2，橢圓C上的點到右焦點距離的最大值為．過點作斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點，其中，，D是線段AB的中點，直線OD交橢圓C于M，N兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若，，求k的值；(3)若存在直線l，使得四邊形OANB為平行四邊形，求m的取值范圍．類型四向量垂直17．（2022·河南·開封高中模擬預測（文））已知橢圓的離心率為，長軸右端點到左焦點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)點是圓上的一點，過作圓的切線，且切線與橢圓交于、兩點，證明：．18．（2022·全國·高二單元測試）已知橢圓的左焦點，右頂點．(1)求的方程(2)設為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標原點，直線與直線交于點，求證：．19．（2022·湖南·高二階段練習）已知橢圓C：的上頂點與右焦點分別為M，F(xiàn)，O為坐標原點，是底邊長為2的等腰三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓C有兩個不同的交點A，B，，若，求k的值.20．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高二階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，下頂點為，直線與的另一個交點為，連接，若的周長為，且的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，當為何值時，恒成立？類型五向量模長21．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右頂點分別為點，且為橢圓上一點，關于軸的對稱點為，．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，斜率為1的直線與橢圓交于兩點，在軸上存在點，使得，，求直線的方程．類型六定角22．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點.(1)求圓O和橢圓C的方程；(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N.求證：為定值.類型七直角、銳角、鈍角23．（2022·遼寧朝陽·高二期末）在平面直角坐標系中，為坐標原點.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)2，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點的直線交曲線于兩點，若，求直線的方程.24．（2022·江蘇·南京外國語學校高二階段練習）設A，B為雙曲線C：的左、右頂點，直線l過右焦點F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，當直線l垂直于x軸時，為等腰直角三角形．(1)求雙曲線C的離心率；(2)已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點，若為x軸上一動點，當直線l的傾斜角變化時，若為銳角，求t的取值范圍．25．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓C的離心率為，焦點、．(1)求橢圓C的方程；(2)已知、，是橢圓C在第一象限部分上的一動點，且∠APB是鈍角，求的取值范圍．類型八點在圓上、點在圓外、點在圓內(nèi)26．（2022·北京·模擬預測）已知橢圓：（）上一點到兩個焦點的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左右頂點分別為、，當不與、重合時，直線，分別交直線于點、，證明：以為直徑的圓過右焦點.27．（2022·江蘇省灌南高級中學高二期中）已知橢圓C：1（a＞b＞0）長軸長為4，且橢圓C的離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)設斜率為1的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，O為坐標軸原點，以PQ為直徑的圓過坐標軸原點，求直線l的方程．28．（2022·吉林白山·一模（理））已知是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)折線與相交于，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過原點，求的值.29．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的左，右焦點分別為、，上下頂點分別為M、N，點的坐標為，在下列兩個條件中任選一個：①離心率；②四邊形的面積為4，解答下列各題.(1)求橢圓的方程；(2)設直線交橢圓于A、B兩點，判斷點與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.30．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）橢圓的離心率為，設為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，．(1)求橢圓的標準方程；(2)是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直