第07講探索勾股定理（第2課時）（9類題型）

第07講探索勾股定理（第2課時）（9類題型）課程標準學習目標1.勾股定理的應用；1.掌握勾股定理的應用；知識點01：勾股定理的應用勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3．與勾股定理有關的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應用．【即學即練1】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為和，高為，將一支長為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】長方體內(nèi)斜對角線是最長的，當簽字筆在筆筒里對角放置的時候露在外面的長度最小，求出筆筒的對角線長度即可得簽字筆露在外面的最短長度．【詳解】解：由題意知：筆筒底面對角長為，∴筆筒的對角線長：，∵簽字筆長，∴簽字筆露在筆筒外面的最短長度是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【即學即練2】2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的形池，該形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計），點在上，一滑板愛好者從點滑到點，則他滑行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展開后，、、三點構成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫出和的長，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開可得：米，米，在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，型池的側面展開圖是一個矩形，此矩形的寬是半圓的弧長，矩形的長等于本題就是把型池的側面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．題型01求梯子滑落高度1．（2023春·山西呂梁·八年級校聯(lián)考期中）如圖，一架長的梯子靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端到墻根的距離為，如果梯子的頂端下滑至處，那么梯子底端將滑動（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可求出的長，由此可求出的長，在中，根據(jù)勾股定理可求出的長，由此可求出的長．【詳解】解：∵，∴，在中，，，∴（米），∵梯子的頂端下滑至處，∴，則，，∴在中，，∴（米），故選：．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理求線段長度是解題的關鍵．2．（2023春·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習）如圖，一個梯子長米，頂端A靠在墻上的上，這時梯子下端B與墻角C距離為6米，梯子滑動后停在的位置上，測得長為1米，則梯子頂端A下落了米？（精確到）【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是提取題意中的長度．3．（2023秋·福建漳州·八年級?？茧A段練習）一架云梯長，如圖所示斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．(1)這個梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的長度，此題得解；（2）在中，利用勾股定理可求出的長度，用其減去的長度即可得出結論．【詳解】（1）解：在中，，，，∴=24()．答：這個梯子的頂端距地面．（2）在中，，，∴，∴．答：如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動了．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵：題型02求旗桿高度1．（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設棋桿的高度為x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【詳解】解：設旗桿高度為x米，則，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗桿的高度為17米．故選：D．

【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，構造直角三角形的一般方法就是作垂線．2．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約6米，則滑輪到地面的高度為米．【答案】9【分析】設旗桿的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設旗桿的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得，解得：；故答案為：9．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，從題意中勾畫出勾股定理這一數(shù)學模型是解決問題的關鍵．3．（2023春·河南安陽·八年級校考期中）在第十四屆全國人大一次會議召開之際，某中學舉行了莊嚴的升旗儀式．看著著冉升起的五星紅旗（如圖1），小樂想用剛學過的知識計算旗桿的高度．如圖2，為旗桿上用來固定國旗的繩子，點距地面的高度．將繩子拉至的位置，測得點到的距離，到地面的垂直高度，求旗桿的高度．【答案】【分析】設，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設，則，，由題意可得：，在中，，即，解得：，即，∴旗桿的高度為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理的相關知識并在直角三角形中正確運用是解題的關鍵．題型03求小鳥飛行距離1．（2023春·重慶云陽·八年級?？茧A段練習）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設大樹高為，小樹高為，過點作于，則是矩形，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故選C．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米.【答案】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝米，故樹高為CD＝5＋x＝（米），答：樹高為米．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關鍵．3．（2023春·湖南衡陽·八年級?？奸_學考試）如圖，在一棵樹CD的10m高處的B點有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處．如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這棵樹多高？【答案】15m【分析】先由實際問題構造出數(shù)學模型，構造出直角三角形，然后列方程求解．【詳解】解：設BD高為x，則從B點爬到D點再直線沿DA到A點，走的總路程為x+AD，其中AD=而從B點到A點經(jīng)過路程（20+10）m=30m，根據(jù)路程相同列出方程x+=30，可得=30﹣x，兩邊平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以這棵樹的高度為10+5=15m．故答案為15m．題型04求大樹折斷的高度1．（2023春·新疆巴音郭楞·八年級?？计谥校┤鐖D，一棵大樹，在一次強風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分樹頭A著地與樹底部B的距離為米，這棵大樹的高度為（

）米．A．6 B．9 C．12 D．27【答案】B【分析】依題意，，，勾股定理求得，進而即可求解．【詳解】解：依題意，，，在中，∴這棵大樹的高度為故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．2．（2023春·山東臨沂·八年級校考階段練習）如右圖，小旭放風箏時線斷了，風箏掛在了樹上．他想知道風箏距地面的高度．于是他先拉住風箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風箏線多出1米，然后把風箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風箏線末端剛好接觸地面．則風箏距離地面的高度為米．【答案】12【分析】設，則，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進而得出風箏距離地面的高度．【詳解】解：設，則，由圖可得，，，中，，即，解得，所以風箏距離地面的高度為12米．故答案為：12【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．3．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風雨后，一棵大樹從離地面處被折斷，經(jīng)測量樹的頂端與地面的接觸點A離樹根部C的距離，若在該樹正上方離地面處有高壓電線，請判斷該樹在折斷前是否接觸到電線？并說明你的理由．【答案】不會【分析】先利用勾股定理求出，比較折斷前大樹高度與高壓電線高度判斷即可解題．【詳解】解：不會，理由為：根據(jù)勾股定理可得：，∴折斷前大樹高度為：，∴該樹在折斷前不會接觸到電線．【點睛】本題考查勾股定理的應用，利用勾股定理計算是解題的關鍵．題型05解決水杯中筷子問題1．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設水深為x尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，觀察題目的信息是解題的關鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一根長的筷子置于底面直徑為，高為圓柱形水杯中，露在水杯外面的長度，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度的取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：設筷子在杯子中的長度為，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短時x等于杯子的高，最長時x等于杯子軸截面中對角線的長度，當杯子中筷子最短等于杯子的高時，，最長時：，的取值范圍是：，即．故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題．有一個水池，水面是一個邊長為10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦(點P是的中點)，它高出水面1尺(尺)．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面()．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？【答案】水的深度PN為12尺，蘆葦MN的長度為13尺【分析】在中，根據(jù)勾股定理列出方程，求出的長，即可求解．【詳解】解：∵，點P是的中點，∴．∵，∴．在中，根據(jù)勾股定理，．∴．解得，∴．答：水的深度為12尺，蘆葦?shù)拈L度為13尺．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．題型06解決航海問題1．（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）一艘輪船以16海里/時的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船同時以12海里/時的速度離開港口向西南方向航行，經(jīng)過小時后它們相距（）A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．32海里【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，且東北和東南的夾角為，根據(jù)題目中給出的小時和速度可以計算，的長度，在直角中，已知，可以求得的長．【詳解】解：如圖，作出圖形，因為東南和西南的夾角為，所以為直角三角形．在中，，，則故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中確定為直角三角形，并且根據(jù)勾股定理計算是解題的關鍵．2．（2023秋·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）甲船和乙船分別從港口和港口同時出發(fā)，各沿圖中箭頭所指的方向航行如圖所示，現(xiàn)已知甲、乙兩船的速度分別為海里時和海里時，且，兩港口之間的距離為海里，則經(jīng)過小時甲船和乙船之間的距離最近．【答案】/【分析】設經(jīng)過小時甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是海里，由勾股定理得，當，即時，的值最小，即可得出結論．【詳解】解：設經(jīng)過小時甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是海里，如圖，由勾股定理得：，當，即時，的值最小，則的值最小，此時取得最小值為，即經(jīng)過小時甲船和乙船之間的距離最近，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．（2023春·福建廈門·八年級校考期中）如圖，貨船和輪船從碼頭A同時出發(fā)，其中，貨船沿著北偏西方向以15海里/小時的速度勻速航行，輪船沿著北偏東方向以20海里/小時的速度航行，1小時后，兩船分別到達B、C點，求B、C兩點之間的距離．【答案】25海里【分析】由題意可求出，再根據(jù)貨船的速度和輪船的速度求出海里，海里，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵貨船沿著北偏西方向航行，輪船沿著北偏東方向航行，∴．∵貨船的速度為15海里/小時，輪船的速度為20海里/小時，∴海里，海里，∴海里，即B、C兩點之間的距離為25海里．【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應用．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．題型07求臺階上地毯長度1．（2023秋·山東棗莊·八年級?？奸_學考試）如圖在一個高為3米，長為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（

）．A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時的長度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可求得地毯的長度．【詳解】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度（米），地毯鋪滿樓梯的長度應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是（米）．故選：D．【點睛】此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎題，利用勾股定理求出水平邊的長度是解答本題的關鍵．2．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習）某小區(qū)樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價為20元，樓梯寬為2m，則購買這種地毯至少需要元．【答案】280【分析】地毯的面積即樓梯的表面積，且地毯展開后是一個長方形；再結合圖形可知，展開后長方形的長是樓梯水平長與豎直高的和，最后再結合樓梯的寬與地毯價格即可求解．【詳解】解：樓梯的豎直高是3m，斜邊是5m，水平直角邊是m，購買這種地毯的長是3m+4m=7m，樓梯寬2m，地毯價格為每平方米20元價格是7×2×20=280元．故答案為280．【點睛】本題主要考查勾股定理的簡單運用，屬于基礎的實際應用題，難度不大．解題的關鍵是結合圖例分析出地毯的長是樓梯豎直高與水平長的和．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級臺階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【分析】（1）設每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結論；（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【詳解】（1）解：設每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級臺階的高為2分米；（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺階面從點A爬行到C點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：AC＝（分米），答：螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為30分米．【點睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．題型08判斷是否受臺風影響1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，鐵路和公路在點處交會，公路上點距離點是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點處受噪音影響的時間是（

）A．15秒 B．秒 C．秒 D．10秒【答案】A【分析】過點A作，設在點B處開始受噪音影響，在點D處開始不受噪音影響，則，，根據(jù)勾股定理求出求出的長，進而得到的長，即可得出居民樓受噪音影響的時間．【詳解】解：如圖：過點A作，設在點B處開始受噪音影響，在點D處開始不受噪音影響，則，，∵公路上點距離點是，與這條鐵路的距離是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A處受噪音影響的時間為：．故選：A【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，根據(jù)題意構建直角三角形是解題的關鍵．2．（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習）若有一列長為的火車，沿鐵路AB以的速度從點A行駛到點B，點C為一所學校，，，，已知距離火車以內(nèi)會受到噪音的影響．（1）學校C到鐵路AB的距離是．（2）火車在AB路段行駛時，學校C受到火車噪音影響的時間是．（3）如果火車在下課時間穿過該路段，并確保學校受到火車噪音影響的時間控制在10分鐘以內(nèi)（），那么其行駛速度至少應增加到．【答案】2401260【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，再通過直角三角形面積的兩種表示方法求解即可；（2）利用勾股定理求出長度，繼而得出長，再利用時間等于路程除以速度求解即可；（3）用長加上火車長，除以10分鐘即可求解．【詳解】（1）過點C作，垂足為D，如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，即，解得，故答案為：240；（2）如圖，當時，正好影響學校，∴，∴，∵有一列長為的火車，沿鐵路AB以的速度從點A行駛到點B，∴，故答案為：12；（3）如果火車在下課時間穿過該路段，并確保學校受到火車噪音影響的時間控制在10分鐘以內(nèi)（），∴，∴其行駛速度至少應增加到．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，有理數(shù)混合運算的應用，準確理解題意是解題的關鍵．3．（2022春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，公路和公路在點處交匯，且，點A處有一所中學，．假設汽車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么汽車在公路上沿方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由．如果受影響，已知汽車的速度為，那么學校受影響的時間為多少秒？【答案】學校會受到噪聲影響；理由見解析；學校受影響的時間為8秒【分析】過點A作于點B，則可得，從而可判斷學校會受到影響；設從點E開始學校學到影響，點F結束，則易得，從而，由勾股定理可求得的長，從而得的長，由路程、速度與時間的關系即可求得學校受影響的時間．【詳解】解：如圖，過點A作于點B，∵，，∴，∵，∴學校會受到噪音的影響；設從點E開始學校學到影響，點F結束，則，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵汽車的速度為，∴受影響的時間為：【點睛】本題是直角三角形性質的應用，考查了含30度角直角三角形的性質，直角三角形全等的判定與性質，勾股定理的應用等知識，把實際問題轉化為數(shù)學問題是本題的關鍵與難點．題型09求最短路徑問題1．（2022秋·山西太原·八年級?？茧A段練習）如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中，，，點M在棱上，且，N是的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖1，∵，，N是的中點，∴，∴，，∴；如圖2，∵，，N是的中點，∴，∴，，∴．∵，∴螞蟻沿長方體表面從點M爬行到點N處的最短路程為．故選：A．【點睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關鍵．2．（2021秋·陜西西安·八年級西北大學附中校考階段練習）圓柱形杯子的高為，底面周長為，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為．【答案】【分析】將杯子側面展開，建立關于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求．【詳解】解：如圖所示，將杯子側面展開，作關于的對稱點，連接，則即為最短距離，由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、最短路徑等知識．將圓柱側面展開，化曲面為平面并作出關于的對稱點是解題的關鍵．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，一個無蓋長方體的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只螞蟻從點出發(fā)，沿小杯子外表面爬到點，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進杯子里，請問，筷子的最大長度是多少？【答案】(1)如方法一的路線最短，最短路線為(2)筷子的最大長度是【分析】（1）分別討論將面和面展開，將面和上底面展開兩種情況，再利用勾股定理計算，進而比較即可求解；（2）當筷子沿傾斜放的時候，能夠放的最長，利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）方法一：將面和面展開，如圖，∵，，∴，由勾股定理得；方法二：將面和上底面展開，如圖，∵，，∴，由勾股定理得；所以，如方法一的路線最短，最短路線為；（2）如圖，當筷子沿傾斜放的時候，能夠放的最長，∵，，∴由勾股定理得，∴，所以，筷子的最大長度是．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，準確理解題意，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．A夯實基礎1．（2023春·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）把5米長的梯子斜靠在墻上，若梯子底端離墻4米，則梯子頂端到離地面（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：梯子的長度為5米，梯子底端離地面4米，將梯子長度看作直角三角形的斜邊，梯子底端離地面距離看作一條直角邊，梯子頂端到地面的距離為：（米），故選B．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用，理解題意將實際問題轉化為數(shù)字問題是解題的關鍵．2．（2023秋·河北廊坊·九年級校考開學考試）如圖，一場暴雨這后，垂直于地面的一棵樹在距地面處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量，則樹高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，即可得到樹高．【詳解】解：如圖，連接，在中，,，∴，∴樹高為．故選：C【點睛】此題考查了勾股定理的應用，讀懂題意和準確計算是解題的關鍵．3．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，是臺階的模型圖．已知每個臺階的寬度都是2cm，每個臺階的高度都是1cm，連接，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可得出結論．【詳解】如圖，由題意得，，故．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為，梯子頂端到地面的距離為．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為，則小巷的寬為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，是直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，則，∴，∴小巷的寬為，故選：．【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的運算方法是解題的關鍵．5．（2023春·新疆阿克蘇·八年級校聯(lián)考階段練習）受臺風影響，馬路邊一顆大樹在離地面處折斷，大樹頂端落在離大樹底部處，則大樹折斷之前高．【答案】【分析】運用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，，，，∴，∴數(shù)的高度為，故答案為：．【點睛】本題主要考查勾股定理與實際問題的綜合，掌握勾股定理的運用是解題的關鍵．6．（2022秋·山東淄博·七年級校聯(lián)考期中）從電線桿離地面8米處拉一根長為10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有米．【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直接進行解答．【詳解】∵從電線桿離地面8米處向地面拉一條10米長的纜繩，纜繩，線桿，與地面正好構成直角三角形，纜繩為斜邊，∴這條纜繩在地面的固定點到電線桿底部距離為：．故答案為：6．【點睛】本題考查勾股定理，掌握勾股定理的運用是解題的關鍵．7（2023春·新疆烏魯木齊·八年級?？计谥校┮阎?，一輪船以4海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以3海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距海里．【答案】10【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構成了直角，然后根據(jù)路程=速度×時間，得兩條船分別走了8海里和6海里，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴，兩小時后，兩艘船分別行駛了，海里，根據(jù)勾股定理得：（海里）．故答案為：10．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練運用勾股定理進行計算，基礎知識，比較簡單．8．（2022秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，船位于船正東方向5km處．現(xiàn)在船以2km/h的速度朝正北方向行駛，同時船以1km/h的速度朝正西方向行駛，當兩船相距最近時，行駛了h．【答案】1【分析】利用勾股定理表示出兩船的距離，然后利用配方法求出兩船的距離的最小值即可．【詳解】設時兩船相距為，則，，由題意可知：，故當時，即時兩船相距最近，故答案為：1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用、勾股定理的知識，解答本題的關鍵是表示出兩船之間的距離表達式，注意掌握配方法求二次函數(shù)最值的應用．9．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學?？奸_學考試）如圖，一根長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底端．如果梯子的頂端下滑，那么梯子的底端將向右滑動多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的長，再根據(jù)線段的和差可得的長，然后在中，利用勾股定理求出的長，最后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端將向右滑動米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．10．（2023秋·全國·八年級專題練習）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．(1)求的長；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)(2)沒有超速．【分析】（1）中，有斜邊的長，有直角邊的長，那么根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】（1）解：在中，，；據(jù)勾股定理可得：=（2）解：小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車行駛沒有超速．答：這輛小汽車沒有超速．【點睛】此題考查了將實際問題轉化為直角三角形中的數(shù)學問題，解題的關鍵是把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．B能力提升1．（2023春·河南漯河·八年級校考階段練習）一個圓桶底面直徑為10cm，高24cm，則桶內(nèi)所能容下的最長木棒為（

）A．20cm B．124cm C．26cm D．30cm【答案】C【分析】當桶內(nèi)所能容下的木棒最長時，即為木棒為斜邊，桶的底面直徑及桶高構成一個直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】根據(jù)勾股定理得，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，準確理解題意，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．2．（2023秋·陜西榆林·八年級?？茧A段練習）如圖，湖的兩岸有A，C兩點，在與成直角的方向上的點C處測得米，米，則A，C兩點間的距離為（

）A．3米 B．6米 C．9米 D．10米【答案】C【分析】由勾股定理求出的長即可．【詳解】由題意得：，即A，C兩點間的距離為米，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出的長是解題的關鍵．3．（2022秋·山西臨汾·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，圓柱形杯子底面直徑為，高為．將一根長的木棒斜放在杯中，設木棒露在杯子外面的長度為，則h的最小值是（

）A．9 B．11 C．12 D．14【答案】B【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，當杯子中筷子最短是等于杯子的高時，，最長時等于杯子斜邊長度是：，此時，的取值范圍是：，即h的最小值是．故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關鍵．4．（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中?？茧A段練習）如圖，正方體盒子的棱長為，為的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于點處，它想沿正方體的表面爬行到點處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把圖中展開，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，連接，則線段的長就是螞蟻需爬行的最短路程，∵正方體的棱長為，為的中點，∴，，，由勾股定理得，故選：A．【點睛】此題考查了平面展開最短路徑問題，解決立體幾何兩點間的最短距離時，通常把立體圖形展開成平面圖形，轉化成平面圖形兩點間的距離問題來求解．5．（2023秋·四川成都·八年級校考開學考試）如圖，強大的臺風使一根旗桿斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部4米處，斷裂前旗桿總長為8米，則旗桿在離地面米處折斷倒下.【答案】3【分析】根據(jù)勾股定理兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長度，解直角三角形即可．【詳解】解：設旗桿在離地面米處折斷倒下．由勾股定理得，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的正確應用，找出可以運用勾股定理的直角三角形是關鍵．6．（2022春·福建龍巖·八年級校考階段練習）一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口小時后，則兩船相距．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，判斷出三角形的形狀解答即可．【詳解】如圖所示：由題意可得：（海里），（海里），∴，即是直角三角形，∴（海里）．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)點．7．（2022秋·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．應該是前面和上面展開，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面上面，由勾股定理得；（2）展開前面右面，由勾股定理得；（3）展開前面和左面，由勾股定理得．所以最短路徑的長為故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理應用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．8．（2022秋·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點，且，．一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程是．【答案】10【分析】首先畫出圓柱的側面展開圖，根據(jù)底面周長為，求出的值；再在中，根據(jù)勾股定理求出的長，即為所求．【詳解】解：圓柱側面展開圖如圖所示，∵圓柱的底面周長為，∴．∵，．∴，在中，，∴，即螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點D的最短距離是10cm．故答案為10．【點睛】此題主要考查了平面展開圖，以及勾股定理的應用，做題的關鍵是畫出圓柱的側面展開圖．9．（2022秋·山西太原·八年級?？茧A段練習）如圖，一艘貨輪和一艘漁船同時從港口出發(fā)，貨輪沿北偏西方向航行海里到達點處，此時，漁船到達港口南偏西的點處，與港口相距海里，求此時貨輪和漁船之間的距離．【答案】海里【分析】直接根據(jù)題意得出，以及，進而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：由題意可得：，，，∴（海里）．答：此時貨輪和漁船之間的距離為海里．【點睛】本題考查勾股定理的應用，方向角．正確得出的度數(shù)是解題的關鍵．10．（2022春·福建福州·八年級?？计谥校┠呈幸?guī)定：小汽車在該市城市街道上行駛時，速度不得超過60千米/時．如圖，一輛小汽車在該市街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A正前方30米處的C處，過了2秒后到達B處，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50米，請問這輛小汽車超速了嗎？為什么？若超速，則超速多少？【答案】超速了，理由見解析，每小時超速了12千米【分析】首先根據(jù)題意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，進而求解即可．【詳解】解：小汽車超速了，理由如下：根據(jù)題意，得米，米，．在中，根據(jù)勾股定理，得，∴米∴小汽車行駛速度為(米/秒)(千米/時)(千米/時)答，這輛小汽車超速了，每小時超速了12千米．【點睛】此題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，是一長為，寬為，高的長方體紙箱，E點處有幾滴蜂蜜，一只螞蟻欲從點A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點E處吃蜂蜜，則螞蟻爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分三種情況討論：①通過上面和前面抵達②通過上面和右側面抵達③通過左側面和前面抵達；分別展開長方體，運用勾股定理計算【詳解】解：①通過上面和前面抵達，②通過上面和右側面抵達③通過左側面和前面抵達；，∵∴最短距離是故選：B【點睛】本題考查勾股定理，長方體的展開圖；具備一定的空間相象能力，將幾何體展開是解題的關鍵．2．（2021春·安徽蕪湖·八年級?？计谀┤鐖D，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂蜜點的最短距離為（

）A．8 B．10 C．8 D．12【答案】B【分析】利用展開圖，軸對稱，勾股定理計算即可．【詳解】如圖，根據(jù)題意，，作點Ａ關于直線的對稱點Ｇ，連接，則為所求最小值，則，過點作，交的延長線于點Ｅ，則四邊形是矩形，故，故，故，故選Ｂ．【點睛】本題考查了圓柱的展開圖，軸對稱，勾股定理，熟練掌握軸對稱，勾股定理是解題的關鍵．3．（2023春·河南商丘·八年級校聯(lián)考期末）將一根長的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度為，則不可以是（

）A．7 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖1所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長，，如圖2所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，，此時，的取值范圍是．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．4．（2023春·山西陽泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：由題意可知，，根據(jù)兩點之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時間至少是（），故選：C．【點睛】本題考查勾股定理解實際問題，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結合求出最短路徑長度是解決問題的關鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，一根旗桿在離地面處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前的高為．【答案】24米【分析】根據(jù)勾股定理，計算旗桿的折斷部分是15米，則折斷前旗桿的高度是米．【詳解】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為12米，旗桿離地面9米折斷，且旗桿與地面是垂直的，∴折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷部分的旗桿為：米，∴旗桿折斷之前高度為米．故答案為：24米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握