北京市房山區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析）

高中數(shù)學(xué)精編資源房山區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)本試卷共150分，時(shí)長(zhǎng)120分鐘．第一部分（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.在等差數(shù)列40，37，34，……中，第6項(xiàng)是（）A.28 B.25 C.24 D.22【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念寫(xiě)出通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知為等差數(shù)列，且，則，所以，故選：B.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前n項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以.故選：A3.函數(shù)在上的平均變化率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均變化率概念直接計(jì)算即可.【詳解】由題意得平均變化率為，故選：C4.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將時(shí)左邊的等式除以時(shí)左邊的等式即可得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為故選：B.5.定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極大值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A、B；根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C、D的結(jié)論．【詳解】在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在區(qū)間上，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，故D錯(cuò)誤，故選：A.6.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞增，得到大小關(guān)系.【詳解】，因?yàn)?，故，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故選：D.7.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，分別對(duì)各選項(xiàng)求二階導(dǎo)，然后判斷是否小于，從而得到正確選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，，，，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，故A為凸函數(shù)；對(duì)于B，對(duì)于，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故B為凸函數(shù)；對(duì)于C，由，得，所以，因?yàn)?，所以恒成立，故C為凸函數(shù)；對(duì)于D，對(duì)于，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故D不是凸函數(shù).故選：D.8.設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對(duì)于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯(cuò)誤，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，因?yàn)椋谏系膶?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.9.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)充分、必要性定義判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題設(shè)且，則，若為遞減數(shù)列，故，則，充分性成立；若，則，易知為遞減數(shù)列，必要性也成立；所以“為遞減數(shù)列”是“”的充分必要條件.故選：C10.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板（）A.1125塊 B.1134塊 C.1143塊 D.1152塊【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，是等差數(shù)列，且公差為，，設(shè)每層有環(huán)，則，，是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以，所以，，故選：B．第二部分（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】分析數(shù)列前4項(xiàng)的特征，求出前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式作答.【詳解】依題意，，所以前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故答案為：12.已知函數(shù)，則________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，故答案為：2.13.函數(shù)，若，則________．【答案】##【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由給定導(dǎo)數(shù)值求出a值作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，而，即，解得，所以.故答案為：14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則________．【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由可得：，則，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則.故答案：15.如圖，將一張的長(zhǎng)方形紙片剪下四個(gè)全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過(guò)折疊能糊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，則小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí)，這個(gè)紙盒的容積最大，且最大容積是________．【答案】①.2②.144【解析】【分析】設(shè)剪下的四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，利用長(zhǎng)方體的體積公式得到體積V關(guān)于x的函數(shù)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求出最值作答.【詳解】設(shè)剪下的四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則經(jīng)過(guò)折疊以后，糊成的長(zhǎng)方體紙盒的底面矩形長(zhǎng)為cm，寬為cm，則長(zhǎng)方體紙盒的底面積為，而長(zhǎng)方體紙盒的高為xcm，于是長(zhǎng)方體紙盒的體積（），，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，所以當(dāng)時(shí)，()．故答案為：2；14416.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的曲線．圖中的長(zhǎng)方形由以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成，在每個(gè)正方形中作圓心角為的扇形，連接起來(lái)的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長(zhǎng)的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．給出下列結(jié)論：①；②是奇數(shù)；③；④．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出即可判斷①；觀察數(shù)列的奇偶特點(diǎn)即可判斷②；根據(jù)遞推公式，結(jié)合累加法即可判斷③；根據(jù)遞推公式可得，結(jié)合累加法計(jì)算即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由，且，可得斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，故故①正確；對(duì)于②：由斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，，，，，可得每三個(gè)數(shù)中前兩個(gè)為奇數(shù)，后一個(gè)偶數(shù)，且，所以是奇數(shù)，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，相加可得：，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，直接計(jì)算可判斷①②，利用累加法即可判斷③④.三、解答題：本大題共5小題，每題14分，共70分．17.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為．從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①：，；條件②：，．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）選條件①，利用等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式列出方程組求解即可；選條件②，求出數(shù)列首項(xiàng)求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和作答.【小問(wèn)1詳解】選條件①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為4，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.已知函數(shù).(1)設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)y＝x＋1；(2)【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，再根據(jù)函數(shù)由三個(gè)不同的零點(diǎn)，列出相應(yīng)的關(guān)系式，即可求解.【詳解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝x＋1.(2)當(dāng)a＝b＝4時(shí)，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f′(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的情況如下：x(－∞，－2)－2f′(x)＋0－0＋f(x)c∴當(dāng)c>0且<0時(shí)，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個(gè)不同零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某點(diǎn)處的切線方程的方法，以及合理利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性和求解函數(shù)的極值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.設(shè)函數(shù)在時(shí)取得極值．（1）求a的值；（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求b的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用給定的極值點(diǎn)求出a并驗(yàn)證作答.（2）利用（1）的信息，求出函數(shù)在上的最大值，再列出不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)在時(shí)取得極值，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，依題意，，即，解得或，所以b的取值范圍是或.20.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）計(jì)算，，，的值；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并進(jìn)行證明．【答案】（1），，，（2），證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1），從而可得出，（2）猜想，然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，，?【小問(wèn)2詳解】猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，，猜想正確，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也正確，則有，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，猜想也正確，綜上所述，.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）方法一：構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;（2）方法一：研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】指數(shù)找朋友當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．［方法二］：【通性通法】直接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值當(dāng)時(shí)，．令，令，得．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有．［方法三］：【最優(yōu)解】指對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化當(dāng)時(shí)，．令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，有，故當(dāng)時(shí)，．（2）［方法一］：指數(shù)找朋友設(shè)函數(shù)，在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．［方法二］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)令，得．令．則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．［方法三］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次曲線與指數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由與的圖象可知它們?cè)趨^(qū)間內(nèi)必相切于y軸右側(cè)同一點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，解方程組得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．［方法四］：等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)時(shí)，，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與曲線在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)．由得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)與的切點(diǎn)為，則，于是函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程為．由切線過(guò)原點(diǎn)可得，故．［方法五］：【通性通法】含參討論因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，故無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，有在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞