新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊學(xué)案：第8章函數(shù)應(yīng)用

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第8章函數(shù)應(yīng)用

8.1二分法與求方程近似解

8.1.1函數(shù)的零點(diǎn)

課程1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系

標(biāo)準(zhǔn)2.結(jié)公具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn).「解函數(shù)零點(diǎn)存在定理

份基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

1,函數(shù)的零點(diǎn)

⑴概念：使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x.

零點(diǎn)、圖象與x軸的交點(diǎn)、方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系:

函數(shù)的零點(diǎn)

方程/a尸o的實(shí)數(shù)解

⑵本質(zhì)：方程f(x)=0的根、函數(shù)y=f(x)的圖象與X軸的公共點(diǎn)的

橫坐標(biāo).

(3)應(yīng)用：利用零點(diǎn)、圖象與x軸的交點(diǎn)、方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)

三種問題的相互轉(zhuǎn)化.

2.函數(shù)零點(diǎn)范圍的判定

⑴條件：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條不間斷的曲線,

且有f(a)_f(b)_<0；

⑵結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn).

⑶本質(zhì)：利用函數(shù)的性質(zhì)判斷零點(diǎn)的存在性.

⑷應(yīng)用：判斷零點(diǎn)的存在性、求參數(shù)的范圍等.

自我小測

1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，且其中的四組對應(yīng)

值如表，那么在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)不一定存在零點(diǎn)的是()

X1235

f(x)3-120

A.(l,2)B.［1,3］C.［2,5)D.(3,5)

選D.由題表可知，f(l)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.

由f(l)?f(2)<0,可知函數(shù)f(x)在(1,2)上一定有零點(diǎn)；則函數(shù)f(x)在［1,

3］上一定有零點(diǎn)；

由f(2)-f(3)<0，可知函數(shù)f(x)在(2,3)上一定有零點(diǎn)，則函數(shù)f(x)在［2,

5)上一定有零點(diǎn)；

由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零點(diǎn).

所以函數(shù)f(x)不一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是(3,5).

2.函數(shù)f(x)=log2(2x+1)的零點(diǎn)是()

A.1B.0C.(0,0)D.(1,1)

選B.令log2(2x+1)=0,解得x=0.

3.已知m是函數(shù)f(x)=爪-2*+2的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m￡()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

選B.由f(x)=點(diǎn)-2x+2=0可得+2=2X.

作出函數(shù)y=\[x+2與y=2x的圖象如圖所示，

當(dāng)0<x<1時,f(x)>0恒成立，沒有零點(diǎn)，因?yàn)閒(l)=1>0,f(2)=也

-2<0,故在(I,2)上有零點(diǎn)，

結(jié)合圖象可知，

當(dāng)x>2時，爪+2Q,即y=五+2恒在y=2X的下方.

故m￡(l,2).

4.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex=x+2的一個根所在的區(qū)間

是()

X-10123

ex0.3712.727.3920.09

x+212345

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

選C.令f(x)=ex-x-2,由圖表知，f(l)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=

7.39-4=3.39>0,

即f(l)f(2)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在(1,2)上存在零點(diǎn)，即

方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(1,2).

5.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b有兩個零點(diǎn)1和4,則函數(shù)g(x)=bx2-ax

+1的零點(diǎn)為.

fa=1+4=5,

由根與系數(shù)的關(guān)系得

[b=1x4=4,

所以g(x)=4x2-5x+1=(4x-l)(x-1),

令g(x)=0,則x=[或1,

即g(x)的零點(diǎn)為1或1.

答案：;或1

6.已知函數(shù)f(x)=|x2-5|-2,則函數(shù)F(x)=xf(x)-1的零點(diǎn)的個數(shù)

為.

顯然x=0不是函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，

令F(x)=xf(x)-1=0,則f(x)=1.

A.

故函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=|的圖象的

交點(diǎn)個數(shù)，

在同一坐標(biāo)系中作兩函數(shù)圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象有5個交點(diǎn)，即函數(shù)F(x)有5

個零點(diǎn).

冬室,5

7.求下列函數(shù)的零點(diǎn).

(l)y=-x2-x+20；(2)y=x3+8；

(3)y=(x2-2)(x2-3x+2)；

x2+4x-12

(4)y=-.

x-2

(1)令y=0,有-x2-x+20=0,解得xi=-5,x2=4.故所求函數(shù)的

零點(diǎn)為-5,4.

(2)y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4).

令(x+2)(x2-2x+4)=0,解得X=-2,故所求函數(shù)的零點(diǎn)為-2.

(3)令(x2-2)(x2-3x+2)=0,

解得Xl=-y[2,X2二碑,X3=1,X4=2.

故所求函數(shù)的零點(diǎn)為-啦，啦,1,2.

_x2+4x-12(x+6)(x-2)

(4)由題意知y=--------------=-------------------------

(x+6)(x-2)

令=0,解得x=-6.

x-2

故所求函數(shù)的零點(diǎn)為-6.

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1,下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()

選A.BCD的圖象均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖象與x

軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn).

_2

函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

2.f(x)=In(x+1)-X-

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

選B.因?yàn)閒(l)=ln2-2<0,

f(2)=ln3-1>lne-1=0,gpf(l)-f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)

2

的零點(diǎn)所在區(qū)間是

-7A.(1,2).

3.方程Inx+x-4=0的實(shí)根所在的區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

選B.令f(x)=Inx+x-4,在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，f(3)=ln3+3

-4=In3-1>0,

f(2)=In2+2-4=In2-2<0,

故f(2)f(3)<0,故實(shí)根所在區(qū)間是(2,3).

4.已知函數(shù)f(x)=3X+x,g(x)=logsx+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為

a,b,c』Ua,b,c的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

選B.令f(x)=+x=0,貝Ux=-3X,

令g(x)=10g3X+x=0'貝Ux=-10g3X,

令h(x)=x3+x=0,貝Ux=-x3,

設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)的零點(diǎn)分別為a,b,c,

X3

作出函數(shù)y=-3,y=-log3x,y=-x,y=x的圖象如圖，由圖可

知：b>c>a.

5.已知函數(shù)f(x)=mx+l的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍

選B根據(jù)題目，函數(shù)f(x)=mx+1,

當(dāng)m=0時，f(x)=1,沒有零點(diǎn)，當(dāng)m#0時，f(x)為單調(diào)函數(shù)，若其

在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn),必有f(l)f(2)<0,即(m+l)(2m+1)<0,解

得-l<m<-3，即m的取值范圍為［-1,-j.

6.(多選)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a力］上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,

則下列說法正確的是()

A.若f(a)-f(b)>0,則不存在實(shí)數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

B.若f(a).f(b)<0,則存在且只存在一個實(shí)數(shù)c仁(a,b),使得f(c)=0

C.若f(a).f(b)>0,則有可能存在實(shí)數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0

D.若f(a).f(b)<0,則在(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)不確定

選CD.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可判斷,若f(a)-f(b)<0，則一定存在實(shí)

數(shù)c￡(a,b),使得f(c)=0,

但c的個數(shù)不確定，故B錯誤，D正確；

若f(a)-f(b)>0,則有可能存在實(shí)數(shù)ce(a,b),

使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)-f(2)>0,

但f(x)=x2-1在(-2,2)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，故A錯誤，

C正確.

7.(多選)若函數(shù)f(x)=x+?但￡即在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則a的值

A.

可能是()

A.-2B.-1C.-4D.-3

選AD.f(x)=x+|(aWR)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，貝仙+a)

12+駕<0,解得-4<a<-1,所以a的值可能是-2,-3.

二、填空題

8.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex-x-2=0的一個實(shí)根所在

的區(qū)間為(k,k+l)(kGN),則k的值為.

X-10123

ex0.3712.727.3920.09

x+212345

記f(x)=ex-x-2，則該函數(shù)的零點(diǎn)就是方程ex-x-2=0的實(shí)根.由

題表可知f(-1)=0.37-KO,f(0)=1-2<0,f(l)=2.72-3<0,f(2)

=7.39-4>0"(3)=20.09-5〉0.由零點(diǎn)存在性定理可得f(l)f(2)<0,

故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2),所以k=1.

答案：1

9.函數(shù)f(x)=(X-1)(x2+3x-10)的零點(diǎn)個數(shù)是_______.

因?yàn)閒(x)=(x-1)(x2+3x-10)=(x-l)(x+5)(x-2),

由f(x)=0,得乂=-5或x=l或x=2.

冬空?3

三、解答題

X2-X,X<1,

{10g2(X-1),X>1.

⑴在如圖所示的坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f(x)的圖象并寫出單調(diào)區(qū)間.

y

4-

3-

2-

1-

IIII___iiii?1一

-4-3-2-1。1234”

-1_

-2-

-3"

-4-

⑵若f(a)=2,求實(shí)數(shù)a的值.

⑶當(dāng)m為何值時，f(x)+m=0有三個不同的零點(diǎn).

⑴函數(shù)圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)的減區(qū)間為8,；］；

增區(qū)間為6,1,(1,+8).

(2)由f(a)=2,得a?-a=2(a01)或log2(a-1)=2(a>l).解得a=-1或a

=5.

(3)由圖可知要使f(x)+m=0有三個不同的零點(diǎn)，貝U--mSO,解

得.

11.已知a>0,函數(shù)f(x)=:*/(XGR).

x2+1

⑴證明：f(x)是奇函數(shù).

⑵如果方程f(x)=1只有一個實(shí)數(shù)解，求a的值.

⑴由函數(shù)f(x)二』-儀￡即，可得定義域?yàn)閰^(qū)，且代-心=

x2+1x2+1

=-f(x),

所以f(x)為奇函數(shù).

⑵方程f(x)=1只有一個實(shí)數(shù)解，

即為x2-ax+1=0,A=a2-4=0,

解得a=2(-2舍去),

所以a的值為2.

綜合突破練

一、單選題

1.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且a,p是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a,b,a,p的大小關(guān)系可能是()

A.a<a<b<PB.a<a<0<b

C.a<a<b<PD.a<a<P<b

選C.因?yàn)閍,0是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)，

所以f(a)=f(P)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,

結(jié)合二次函數(shù)的圖象(如圖所示)可知a,b必在a,0之間.

'|2x-1|,x<2

2.已知函數(shù)f(x)=《3若方程f(x)-a=0有三個不同的實(shí)

,x>2.

x-1

數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

'|2x-1|,x<2

選A.因?yàn)閒(x)=《3

------,x>2

X-1

所以圖象如圖

4、

-3-2-10123456789X

-1

因?yàn)榉匠蘤(x)-a=0有三個不同的實(shí)數(shù)根，

即為函數(shù)y=f(x)的圖象與y=a的圖象有三個不同的交點(diǎn)，由圖象可

知：a的取值范圍為(0,1).

3.函數(shù)f(x)=In|x-2|+X?與g(x)=4x,兩函數(shù)圖象所有交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之和為()

A.0B.2C.3D.4

選D.函數(shù)f(x)=In|x-2|+x?與g(x)=4x兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

和，可以轉(zhuǎn)化為方程In|x-2|=4x-x2的根之和；y=In|x-2和y=

4x-x2均關(guān)于x=2對稱，且兩個圖象有2個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)

之和為4.

二、多選題

4.函數(shù)f(x)=|x2-4x|-m恰好有兩個不同零點(diǎn)，則m的值可以是

A.m>4B.4

C.0<m<4D.0

選AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,

作出y=|x2-4x的函數(shù)圖象如圖所示：

因?yàn)閒(x)恰好有兩個不同的零點(diǎn)，

所以直線y=m與y=*-4x舊勺圖象有兩個不同的交點(diǎn),

所以m=0或m>4.

【光速解題】選取特殊值通過求零點(diǎn)判斷.

三、填空題

5.函數(shù)f(x)=x2-在R上的零點(diǎn)個數(shù)是_______.

由題意可知，函數(shù)f(x)=X2-2X的零點(diǎn)個數(shù)，等于函數(shù)y=2X,y=X2

的圖象交點(diǎn)個數(shù).如圖，畫出函數(shù)y=2x,y=x2的大致圖象.

由圖象可知有3個交點(diǎn)，即f(x)=x2-有3個零點(diǎn).

冬空?3

口?工

ay3。

+j,x>2,

6.已知函數(shù)f(x)=<',若函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個不

log2X,0<x<2.

同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.

畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖.

要使函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個不同零點(diǎn),只需y=f(x)與y=k的圖象

有兩個不同交點(diǎn)，由圖易知日|,1].

答案：1，1)

7.函數(shù)f(x)=(2X-3)-ln(x-2)的零點(diǎn)個數(shù)為.

函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>2},

令(2x-3)-ln(x-2)=0,因?yàn)?X-3>0,

可得In(x-2)=0,解得x=3.

所以函數(shù)的零點(diǎn)只有1個.

答案：1

【誤區(qū)警示】本題容易出現(xiàn)忽視定義域的錯誤，誤認(rèn)為零點(diǎn)個數(shù)為

2.

、、，-1,x<0,

8.設(shè)函數(shù)f(x)=yg(x)=loga(x-l)(a>1).

f(x-2),x>0,

(l)f(2019)的值為；

⑵若函數(shù)h(x);f(x)-g(x)恰有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(l)f(2019)=f(2017)=...=f(-=1-1=1；

(2)當(dāng)0<xS2時，-2<x-2<0,

mx-2

所以f(x)=f(x-2)二電-1；

當(dāng)2<xS4時，0<x-2S2,

_mx-4

所以f(x)=f(x-2)=9-1；

當(dāng)4<x<6時，2<x-2<4,

一mx-6

所以f(x)=f(x-2)二國-1；

當(dāng)6<x<8時，4<x<6,

_mx-8

所以f(x)=f(x-2)=⑸-1；

畫出f(x)和g(x)兩個函數(shù)的圖象如圖所示，

由loga(4-1)=3，得a=豺,

由loga(6-1)=3,得a=赤,

由圖可知，當(dāng)兩個函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)時，即函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)

恰有3個零點(diǎn)時,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(至，赤].

答案:(1)1(2)(/,汨]

四、解答題

9.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=X?-2x

+2.若對任意X1^[-1,0),都存在唯一的X2￡[0,+8),使得f(xi)

+f(x2)=a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

由函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)及x>0時，f(x)=X?-2x+2,得x<0

時，

f(x)=-x2-2x-2,

作出f(0)=0,f(x)的圖象如