云南省中央民族大附屬中學芒市國際學校2025屆高一數學第二學期期末檢測模擬試題含解析

云南省中央民族大附屬中學芒市國際學校2025屆高一數學第二學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，，，則（）A． B． C． D．2．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形3．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移4．已知函數，（），若對任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．5．宋元時期數學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．96．某幾何體的直觀圖如圖所示，是的直徑，垂直所在的平面，且，為上從出發(fā)繞圓心逆時針方向運動的一動點.若設弧的長為，的長度為關于的函數，則的圖像大致為（）A． B．C． D．7．若雙曲線的中心為原點，是雙曲線的焦點，過的直線與雙曲線相交于，兩點，且的中點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．從3位男運動員和4位女運動員中選派3人參加記者招待會，至少有1位男運動員和1位女運動員的選法有（）種A． B． C． D．9．已知數列中，，則=（）A． B． C． D．10．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.則（）A． B． C．4 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，，則的最大值是__________．12．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經建有索道供游客觀賞，經測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現調查后發(fā)現，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）13．經過兩圓和的交點的直線方程為______．14．若圓與圓的公共弦長為，則________.15．設，數列滿足，，將數列的前100項從大到小排列得到數列，若，則k的值為______；16．函數的值域是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為12，過F1的直線l（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結論．18．扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA上，設；(2)點M是圓弧AB的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關于直線OM對稱，頂點C、F分別在半徑OB、OA上，設；試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？19．某超市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售量，對其所在銷售范圍內的1000名消費者在端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：g）進行了問卷調查，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求這1000名消費者的棕子購買量在600g～1400g的人數；（Ⅲ）求這1000名消費者的人均粽子購買量（頻率分布直方圖中同一組的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）．20．已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程.21．解關于不等式：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由正弦定理構造方程即可求得結果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎題.2、C【解析】試題分析：因為，所以，即四邊形的對角線互相垂直，排除選項AD；又因為，所以四邊形對邊平行且相等，即四邊形為平行四邊形，但不能確定鄰邊垂直，所以只能確定為菱形．考點：1．向量相等的定義；2．向量的垂直；3、B【解析】

先利用誘導公式將函數化成正弦函數的形式，再根據平移變換，即可得答案.【詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【點睛】本題考查誘導公式、三角函數的平移變換，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意平移是針對自變量而言的.4、A【解析】當時，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時不符合題意，故選.【點睛】本題主要考查含有絕對值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數，中間可以由對數函數圖象平移得到，由此畫出圖象驗證是否符合題意.5、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，不滿足進行循環(huán)的條件；故選：B【點睛】本題主要考查程序框圖，解題的關鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎題.6、A【解析】如圖所示，設，則弧長，線段，作于當在半圓弧上運動時，，，即，由余弦函數的性質知當時，即運動到點時有最小值，只有選項適合，又由對稱性知選，故選A.7、B【解析】由題可知，直線：，設，，得，又，解得，所以雙曲線方程為，故選B。8、C【解析】

利用分類原理，選出的3人中，有1男2女，有2男1女，兩種情況相加得到選法總數.【詳解】（1）3人中有1男2女，即；（2）3人中有2男1女，即；所以選法總數為，故選C.【點睛】分類加法原理和分步乘法原理進行計算時，要注意分類的標準，不出現重復或遺漏情況，本題若是按先選1個男的，再選1個女的，最后從剩下的5人中選1人，則會出現重復現象.9、B【解析】

，故選B.10、D【解析】

在中，由正弦定理得到的長，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的長.【詳解】在中，由正弦定理，得，因為，，所以，在中，由余弦定理得所以.故選：D.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】函數在上為減函數，故最大值為.12、【解析】

根據題意畫出草圖，根據余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．【詳解】根據題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．13、【解析】

利用圓系方程，求解即可．【詳解】設兩圓和的交點分別為，則線段是兩個圓的公共弦．令，，兩式相減，得，即，故線段所在直線的方程為．【點睛】本題考查圓系方程的應用，考查計算能力．14、【解析】將兩個方程兩邊相減可得，即代入可得，則公共弦長為，所以，解之得，應填．15、【解析】

根據遞推公式利用數學歸納法分析出與的關系，然后考慮將的前項按要求排列，再根據項的序號計算出滿足的值即可.【詳解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函數y＝ax單調遞減；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……當為奇數時，用數學歸納法證明，當時，成立，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以即，所以時成立，所以為奇數時，；當為偶數時，用數學歸納法證明，當時，成立，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以即，所以時成立，所以為偶數時，；用數學歸納法證明：任意偶數項大于相鄰的奇數項即證：當為奇數，，當時，符合，設時，，當時，因為，結合的單調性，所以，所以，所以，所以時成立，所以當為奇數時，，據此可知：，當時，若，則有，此時無解；當時，此時的下標成首項為公差為的等差數列，通項即為，若，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查數列與函數的綜合應用，難度較難.(1)分析數列的單調性時，要注意到數列作為特殊的函數，其定義域為；(2)證明數列的單調性可從與的關系入手分析.16、【解析】

根據反余弦函數的性質，可得函數在單調遞減函數，代入即可求解．【詳解】由題意，函數的性質，可得函數在單調遞減函數，又由，所以函數在的值域為．故答案為：.【點睛】本題主要考查了反余弦函數的單調性的應用，其中解答中熟記反余弦函數的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x2【解析】

(1)根據三角形周長為1，結合橢圓的定義可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當直線斜率斜存在時,聯立y=kx+b【詳解】（1）由題意知，4a=1，則a=2，由橢圓離心率e=ca=∴橢圓C的方程x2（2）由題意，當直線AB的斜率不存在，此時可設A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B兩點在橢圓C上，∴x0∴點O到直線AB的距離d=12當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+b．設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），滿足△＞3．∴點O到直線AB的距離d=b綜上可知：點O到直線AB的距離d=221【點睛】本題主要考查橢圓的定義及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點到直線的距離公式，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.18、方式一最大值【解析】

試題分析：(1)運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運用；（2）重視三角函數的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數等，適當選擇公式進行變形；（3）把形如化為，可進一步研究函數的周期、單調性、最值和對稱性.試題解析：解（1）在中，設，則又當即時，（Ⅱ）令與的交點為，的交點為，則，于是，又當即時，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式下矩形面積的最大值為方式一：考點：把實際問題轉化為三角函數求最值問題.19、（Ⅰ）a＝0.1（Ⅱ）2（Ⅲ）1208g【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子購買量在的頻率，由此能求出這1000名消費者的粽子購買量在的人數；（Ⅲ）由頻率分布直方圖能求出1000名消費者的人均購買粽子購買量【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.1．（Ⅱ）∵粽子購買量在600g～1400g的頻率為：（0.00055+0.1）×400＝0.62，∴這1000名消費者的棕子購買量在600g～1400g的人數為：0.62×1000＝2．（Ⅲ）由頻率分布直方圖得這1000名消費者的人均粽子購買量為：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.1+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【點睛】本題主要考查了頻率、頻數、以及頻率分布直方圖的應用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質是解答此類問題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）