2025屆北京市第十二中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆北京市第十二中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知橢圓的方程為()，如果直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，則的值為（）A．2 B．2 C．4 D．82．關(guān)于的不等式的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．如圖，隨機(jī)地在圖中撒一把豆子，則豆子落到陰影部分的概率是（）A．12 B．34 C．14．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．25．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）6．設(shè)a，b，c為的內(nèi)角所對(duì)的邊，若，且，那么外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．47．過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．8．已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且S8＝92，a5＝13，則a4＝A．16 B．13 C．12 D．109．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在中，，則____________.12．已知，，且，則__________．13．不等式的解集為_(kāi)________.14．在一個(gè)不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是_________個(gè).15．已知算式，在方框中填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的乘積最大，則這兩個(gè)正整數(shù)之和是___.16．已知點(diǎn)，,若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.18．已知直線與.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.19．已知向量.（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間.20．如圖，已知矩形中，，，M是以為直徑的半圓周上的任意一點(diǎn)（與C，D均不重合），且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求與所成的角21．某校從高一（1）班和（2）班的某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了6份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本，如莖葉圖所示（試卷滿分為100分）。（1）班（2）班7688672352859293（1）試計(jì)算這12份成績(jī)的中位數(shù)；（2）用各班的樣本方差比較兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，哪個(gè)班更穩(wěn)定一些？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

首先求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知點(diǎn)的坐標(biāo)是，再代入橢圓方程，解的值.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)，代入直線，可得，由橢圓性質(zhì)可知，，解得或（舍）,.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】

首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，再結(jié)合不等式解集中恰有3個(gè)整數(shù)，列出關(guān)于的條件，求解即可.【詳解】關(guān)于的不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，于的不等式的解集為，要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則；綜上，.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．3、D【解析】

求出陰影部分的面積，然后與圓面積作比值即得．【詳解】圓被8等分，其中陰影部分有3分，因此所求概率為P=3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.【詳解】不等式組確定的可行域如下圖所示：因?yàn)榭苫?jiǎn)為與直線平行，且其在軸的截距與成正比關(guān)系，故當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查常規(guī)線性規(guī)劃問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，注意數(shù)形結(jié)合即可.5、C【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根據(jù)余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故選A【點(diǎn)睛】已知三邊關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為接近余弦定理的形式，直接運(yùn)用余弦定理理解三角形，注意整體代入思想.7、C【解析】

直接根據(jù)所給信息，利用排除法解題?！驹斀狻勘绢}作為選擇題，可采用排除法，根據(jù)圓心在直線上，排除B、D，點(diǎn)在圓上，排除A故選C【點(diǎn)睛】本題考查利用排除法選出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題。8、D【解析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)已知條件，并用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得的值.【詳解】依題意，，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，解答題目過(guò)程中要注意觀察已知條件的下標(biāo).屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)平移變換原則可得；當(dāng)時(shí)，；利用正弦函數(shù)的圖象可知若的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)可得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：由圖象平移可知：當(dāng)時(shí)，，，，，又的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解角的范圍的問(wèn)題，涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象平移變換原則的應(yīng)用等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠利用正弦函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定角所處的范圍.10、B【解析】

由，可得，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解，得到答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，解得或，此時(shí)數(shù)列不一定是遞增數(shù)列；若數(shù)列為遞增數(shù)列，可得或，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與單調(diào)性，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋郧?，又，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的符號(hào)法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)等價(jià)于兩個(gè)數(shù)同號(hào)；將已知的分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，求出解集．【詳解】同解于解得或故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解分式不等式，利用等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為整式不等式是解題的關(guān)鍵．14、16【解析】

根據(jù)紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計(jì)算紅色球和黑色球的個(gè)數(shù)，從而得到白色球的個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；黑色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；故白色球的個(gè)數(shù)為4個(gè).故答案為：16.【點(diǎn)睛】本題考查概率和頻率之間的關(guān)系：概率是頻率的穩(wěn)定值.15、.【解析】

設(shè)填入的數(shù)從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時(shí)的和.【詳解】設(shè)在方框中填入的兩個(gè)正整數(shù)從左到右依次為，則，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故答案為：15【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)直線方程可確定直線過(guò)定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，從而確定臨界狀態(tài)時(shí)的斜率.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）、.【解析】

（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根據(jù)求出即可.【詳解】（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因?yàn)?，由可得，又因?yàn)?，所以，即，總之?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，直線與聯(lián)立即可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，所以，即解?【點(diǎn)睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎(chǔ)簡(jiǎn)單題目．19、（1）或，（2），增區(qū)間為：【解析】

（1）根據(jù)得到，再根據(jù)的范圍解方程即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的范圍即可得到函數(shù)的最大值和單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?所以或，即或.（2）.因?yàn)?，所?所以，.因?yàn)椋?令，得.因?yàn)?，所以增區(qū)間為：.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查根據(jù)三角函數(shù)值求角，同時(shí)考查了平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，第二問(wèn)考查了三角函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）證明，得到平面，得到答案.（2）過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)E，當(dāng)M為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積最大，作于F，連接，與所成的角即與所成的角，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）為直徑，，已知平面平面，.平面，所以，又，平面，又平面，∴平面平面.（2）過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)E，∵平面平面，平面，即為四棱錐的高，又底面面積為定值.所以當(dāng)M為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的體積最大.作于F，連接，，與所成的角即與所成的角.在直角中，，，所以.，故與所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直，體積的最值，異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21、（1）80；（2）兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平相同，（1）班成績(jī)更穩(wěn)定一些．【解析】

（1）將成績(jī)按照從小到大順序排序，根