高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講17.盤點(diǎn)高中數(shù)學(xué)中的八大距離最值問題

盤點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)中的八大距離最值問題1.圓中與距離最值有關(guān)的常見的結(jié)論2.圓錐曲線中的距離最值常見結(jié)論3.將軍飲馬型最值4.函數(shù)圖象上的鉛錘距離最值5.函數(shù)圖象上的水平距離最值6.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離最值7.兩點(diǎn)間距離最值與代數(shù)轉(zhuǎn)化8.函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的距離最值結(jié)論1.圓外一點(diǎn)到圓上距離最近為，最遠(yuǎn)為；例1．拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值為（

）A．6 B．2 C．5 D．8答案：A.結(jié)論2.過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長為圓的直徑，最短的弦為與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦；例2．在圓中，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．答案：B結(jié)論3.直線與圓相離，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為圓心到直線的距離,最近為；例3．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D2.圓錐曲線中的距離最值常見結(jié)論1.定點(diǎn)與圓錐曲線上動點(diǎn)的距離的最值問題.寫出定點(diǎn)與曲線上動點(diǎn)的距離表示，利用點(diǎn)在曲線上可消去x或y，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于y或x的二次函數(shù)，利用曲線上點(diǎn)的有界性確定最值，或設(shè)曲線的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性去限定.2.橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離最大、最小值的點(diǎn)為長軸兩端點(diǎn)：，3.圓錐曲線的點(diǎn)到直線距離的最值例4.設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是()A.B.C.D.解析：轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加（半徑）,,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，選D.例5．已知動點(diǎn)M，N分別在拋物線：和圓：上，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．6解析：設(shè)，則，即，由題意可得：，∵，令，則在R上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，則.故選：A.例6．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．解析：依據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第一象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最小值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)椋獾?，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：C.3.將軍飲馬型最值1.直線型將軍飲馬模型：如圖，動點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為直線一側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，那么的最小值即為做點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，然后連接后其長度.2.其他形式的將軍飲馬模型：若動點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，為曲線所在平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，那么如何求的最值.3.三角不等式：隨意兩邊之和大于等于第三邊，隨意兩邊之差小于等于第三邊，取等條件當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線.如圖動點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，為直線一側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，那么的最大值當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線.倘如在兩側(cè)，則需先利用對稱將其搬到一側(cè)再找尋最大值！此時(shí)，的最小值為0，即為中垂線與的交點(diǎn).例1.已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別為其左右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求：(1).的最大值與最小值；(2).的最大值與最小值.解析：（1）如圖：，等號成立當(dāng)在一側(cè)，且三點(diǎn)共線以及當(dāng)在一側(cè)，且三點(diǎn)共線.故的最大值與最小值為：.由橢圓定義可知：，由（1）可知：的最大值與最小值為：，故的最大值與最小值為：與.小結(jié)：已知橢圓上隨意一點(diǎn)，橢圓內(nèi)確定點(diǎn)，如何求：的距離最值？距離差干脆用結(jié)論，距離和轉(zhuǎn)化為距離差再利用上述結(jié)論4求解.例2．已知雙曲線的左、有焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長為4，離心率，點(diǎn)Q為雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．解析：由題意可得，又，故，所以，則雙曲線方程為，結(jié)合雙曲線定義可得，如圖示，連接,交雙曲線右支于點(diǎn)M，即當(dāng)三點(diǎn)共線，即Q在M位置時(shí)，取最小值，此時(shí)直線方程為，聯(lián)立，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,(Q為雙曲線右支上的一點(diǎn))，故，故選：B4.函數(shù)圖象上的鉛錘距離最值例1.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線相互垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是_______.解：由題意，，則∴，，，，由，得，∴：，則，：，則，∴，，令（），，∴在上遞增，又，，∴的取值范圍是.故答案為：5.函數(shù)圖象上的水平距離最值例1．已知，，若，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．解析：令，即，所以，，，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，的最小值?故選：D例2．已知函數(shù)，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．解析：令，則，，∴，，即，，，∴，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，即的最小值為.故選：A.6.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離最值1.函數(shù)圖象上一個(gè)動點(diǎn)到一條定直線（與函數(shù)圖象相離）距離的最小值.若兩個(gè)動點(diǎn)分別在函數(shù)圖象上，那么到直線距離的最?。寒?dāng)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，到直線的距離.2.兩個(gè)動點(diǎn)分別在一個(gè)函數(shù)圖象和一條直線上.若兩個(gè)動點(diǎn)分別在函數(shù)和直線上，那么當(dāng)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，到直線的距離.例1．已知P是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)，點(diǎn)在直線上，當(dāng)取最小值時(shí)，垂直于直線.此時(shí)記，最小時(shí)，最小.，當(dāng)時(shí)，最小時(shí)，最小.故選：C例2．已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.解析：（1）∵函數(shù)，∴的定義域?yàn)?，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點(diǎn)為，而切點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；（2）由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.例3.設(shè)點(diǎn)在曲線上，在直線上，則的最小值________.解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點(diǎn)到直線的距離.設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，解得（舍去），故切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離所以的最小值為故答案為：7.兩點(diǎn)間距離最值與代數(shù)轉(zhuǎn)化例1．已知，則y的最小值為（

）A． B． C． D．解析：y的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值.，令，解得：，又，故圖象上與平行的切線在圖像上的切點(diǎn)為.于是圖像上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到的距離，即最短距離，則，y的最小值為.故選：B.例2．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．解析：由，則點(diǎn)在函數(shù)上，，則點(diǎn)在函數(shù)上，則表示、兩點(diǎn)的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)過的點(diǎn)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距離，即，所以的最小值為；故選：C例3．已知且，則的最小值是（

）A． B． C． D．8解析：代數(shù)式可以看成點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，表示單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)表示曲線上的點(diǎn)，如下圖所示：，由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，此時(shí)直線與直線垂直于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可以確定：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)用到點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，故選：B例3．實(shí)數(shù)，，滿意：，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．8解析：由，則，又，的最小值轉(zhuǎn)化為：上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，由，得：，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍，可得切點(diǎn)為，切點(diǎn)到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為：.故選：D.8.函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的距離最值若兩個(gè)動點(diǎn)分別在函數(shù)和函數(shù)上，那么當(dāng)直線與直線平行時(shí)，且與相切，則切點(diǎn)到的距離.例1.（2012全國卷）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（）A.B.C.