高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習專題題組訓練14九章算術-“塹堵”“鱉膈”“陽馬”教師版

專題14《九章算術》-“塹堵”、“鱉膈”、“陽馬”一、單選題1．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，BC⊥CD，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，取的中點，連接，，可得，則所求為，易證是直角三角形，則可得，進而求解.【詳解】如圖，取的中點，連接，，由題，，M為AD的中點，所以，，則為所求，由平面BCD，則，又，，所以平面，則平面，所以是直角三角形，即，又，所以，故選：C2．《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意將三棱錐放入長方體中，長方體的外接球為三棱錐的外接球，求出長方體外接球半徑，即可求出外接球體積；再由“塹堵”的性質(zhì)求剩余四棱錐的體積即可.【詳解】由題知：剩余的幾何體為三棱錐，平面，．將三棱錐放入長方體，長方體的外接球為三棱錐的外接球，如圖所示：外接球半徑，所以外接球體積，陽馬—的體積為．．故選：B．3．據(jù)《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】用補形法還原為正方體問題，然后用公式求解.【詳解】如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑.所以三棱錐外接球表面積.故選：B.4．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖，在鱉臑中，平面BCD，，，點P在棱AC上運動，則面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由點P引幫助線，首先通過作幫助線可得，即轉(zhuǎn)化為求PM的最小值，設，通過比例關系表示PM，并求其最值.【詳解】如圖，作于點Q，作，交BD于點M，連接得到，平面BCD，，又，，QM，面PQM，所以面PQM，所以設，，由，得到，，在中，，得到，，，當且僅當時，等號成立.故選：D.5．我國古代數(shù)學專著《九章算術》中介紹“塹堵”為：底面為直角三角形的直棱柱，如下圖所示，塹堵可以分割成一個陽馬（底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉儒（四個面都為直角三角形的四面體），已知鱉儒體積為6，AB=3，AF=4，則陽馬中AC與DF夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件可求出，然后將該三棱柱補全為長方體，然后可求出答案.【詳解】，，由得，得，將該三棱柱補全為長方體，則AC與DF的夾角即為AC與CG的夾角，即為∠ACG，易得，，，由余弦定理得，故選：C6．《九章算術》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有如圖所示的“塹緒"，其中，，當“陽馬”（即四棱錐）體積為時，則“塹堵”即三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)當“陽馬”（即四棱錐）體積為，求得BC，再將將三棱柱補成長方體求解.【詳解】解：由已知得，∴．將三棱柱置于長方體中，如下圖所示，此時“塹堵”即三棱柱的外接球的直徑為，∴三棱柱的外接球的體積為，故選：B7．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將三棱錐放在正方體內(nèi)部，建立空間直角坐標系即可利用向量求異面直線BM與CD夾角的余弦值．【詳解】如圖，正方體內(nèi)三棱錐A-BCD即為滿意題意的鱉臑，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，，，，，則，，，則異面直線BM與CD夾角的余弦值．故選：A．8．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐是陽馬，PA=5，AB=3，BC=4，則該陽馬的外接球的表面積為（

）A． B．50π C．100π D．【答案】B【解析】【分析】連接AC，BD，交于，取PC中點O，連接，則可證明平面ABCD，即O為該四棱錐的外接球的球心，在中，求得PC的值，進而可求得外接球半徑R，代入公式，即可求得答案.【詳解】連接AC，BD，交于，取PC中點O，連接，如圖所示因為分別為PC，AC的中點，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O到A,B,C,D的距離都相等，又，所以O為該四棱錐的外接球的球心，在中，，，所以，所以該四棱錐的外接球的半徑，所以該陽馬的外接球的表面積.故選：B9．在《九章算術》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已知四棱錐為陽馬，底面ABCD是邊長為2的正方形，有兩條側(cè)棱長為3，則該陽馬的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)四棱錐的性質(zhì)，分別求側(cè)面與底面面積，即可得解.【詳解】如圖，由題意知,,平面,因為，所以,故選：B10．在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，且，，則該陽馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】補全該陽馬所得到的長方體，則該長方體的體對角線即為該陽馬外接球的直徑，求出外接球半徑，即可得出答案.【詳解】解：因為四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，如圖，補全該陽馬所得到的長方體，則該長方體的體對角線即為該陽馬外接球的直徑，設外接球半徑為，則，所以，所以該陽馬的外接球的表面積為.故選：C.11．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中給出了許多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐．若一個“鱉臑”的全部頂點都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出圖形，設在三棱錐中，平面，且，，證明出該三棱錐的四個面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球體表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在三棱錐中，平面，且，，因為平面，、、平面，則，，，，，平面，平面，，所以，三棱錐的四個面都是直角三角形，且，，設線段的中點為，則，所以，點為三棱錐的外接球球心，設球的半徑為，則，因此，球的表面積為.故選：A.12．《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將“陽馬”補成長方體，利用長方體的外接球半徑與長方體棱長之間的關系、球的表面積公式及基本不等式即可求解.【詳解】如圖，將四棱錐補成長方體，則該四棱錐的外接球與長方體的外接球相同.因為長方體外接球的半徑，所以該“陽馬”外接球的表面積為:.故選：C.13．《九章算術》卷第五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一側(cè)棱垂真于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽馬，平面，，，，上有一點E，使截面的周長最短，則與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通過底面綻開轉(zhuǎn)化為平面圖形，簡潔找到最小值點，然后利用平移法作出異面直線所成的角，即可得解；【詳解】解：將平面沿折至，使與共面，連接交于，連接，此時周長最短，作交于，則（或其補角）即為所求角，在中，，由，即，可得，在中，，在中，，故與所成角的余弦值等于．故選：D．14．在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”中，底面，，是棱的中點，點是棱上的動點，則當?shù)闹荛L最小時，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由題可得最小，利用綻開圖可得此時，，利用正弦定理可得的外接圓半徑為，進而可得，即得.【詳解】因為固定，所以要使的周長最小，只需最小．如圖，將四棱雉的側(cè)面沿綻開，使得與矩形在同一個平面內(nèi)，當P，E，F(xiàn)三點共線時，取得最小值．易得，，，．設的外接圓半徑為，則．設三棱錐外接球的半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積．故選：D.15．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在鱉臑中，平面，，且，則鱉臑的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先推斷出點為三棱錐的外接球球心，利用勾股定理求出外接球半徑，即可求出球的表面積.【詳解】如圖所示，取的中點，中點，連結(jié)，.由直角三角形的性質(zhì)可知點為的外心，且平面，故球心在直線上.又，故點為三棱錐的外接球球心.設外接球半徑為，則：，.球的表面積．故選：．16．《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在正方體中，當分別與，，，重合時，所形成的四面體中鱉臑共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】當與，重合時，由為等邊三角形即可推斷四面體不是鱉臑；當與，重合時，證明四個面均為直角三角形即可.【詳解】如圖，當與重合時，易得，故為等邊三角形，此時四面體不是鱉臑；當與重合時，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時四面體是鱉臑；當與重合時，易得，故為等邊三角形，此時四面體不是鱉臑；當與重合時，易得為直角三角形，又面，面，故，故為直角三角形，同理為直角三角形，此時四面體是鱉臑；故共有2個.故選：B.17．《九章算術·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，當△BCD的面積最大時，鱉臑ABCD的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可證明，從而說明三角形BCD是直角三角形，求得，進而求得四個直角三角形的面積，可得答案.【詳解】由題意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥,又AC⊥CD，平面ABC，故平面ABC，平面ABC，故,所以,當且僅當時取得等號，故,由AB⊥平面BCD，可知,故,所以,,所以鱉臑ABCD的表面積為，故選：D二、填空題(共0分)18．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，則鱉臑P-ABC外接球的體積是___________.【答案】【解析】【分析】求出三角形ABC外接圓的半徑，進而求出鱉臑P-ABC外接球的半徑，求出體積.【詳解】由題意可得三角形ABC外接圓的半徑，因為PA⊥平面ABC，所以鱉臑P-ABC外接球的半徑，故鱉臑P-ABC外接球的體積是.故答案為：19．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何也有深化的探討，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當“陽馬”即四棱錐，體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)均值定理去求四棱錐取體積最大值時的長度，再去求三棱柱的表面積即可.【詳解】四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當且僅當時，取等號.所以三棱柱的表面積為.故答案為：20．《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，，則四棱錐和三棱錐的內(nèi)切球半徑比為___________.【答案】【解析】【分析】設，依據(jù)等體積法求得兩個棱錐內(nèi)切球半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】因為面，又四邊形為正方形，故，又四棱錐的四個側(cè)面均為直角三角形，設，，，故四棱錐的表面積；又三棱錐為鱉臑，其全部面均為直角三角形，又，，故三棱錐的表面積設四棱錐的內(nèi)切球半徑為，故，則，同理可得，故.故答案為：.21．在《九章算術?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.若從鱉臑的六條棱中任取兩條棱，則它們相互垂直的概率是；若從鱉臑的六條棱和四個面中取一條棱和一個面（要求棱不在面上），則它們相互垂直的概率是；若從鱉臑的四個面中任取兩個面，則它們相互垂直的概率是.則的大小關系為___________.【答案】【解析】【分析】利用古典概型求概率的方法分別求出，比較出大小.【詳解】如圖所示，連接長方體的四個頂點，可得鱉臑.（1）從鱉臑的六條棱中任取兩條，有種取法，其中相互垂直的取法有5種：，，，，，所以.（2）從鱉臑的六條棱和四個面中取一條棱和一個面（要求棱不在面上）有4×3=12種取法，它們相互垂直的取法有2種：平面，平面，所以.（3）從鱉臑的四個面中任取兩個面，有種取法，它們相互垂直的取法有3種：平面平面，平面平面，平面平面，所以，故.故答案為：22．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，三棱錐為一個鱉臑，其中平面，，，，M為垂足，則三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】取AC的中點O，連接MO、BO，則點O就是三棱錐的外接球的球心，解三角形和運用球的表面積公式可計算得答案．【詳解】解：取AC的中點O，連接MO、BO，則，，所以，則，又，所以，所以點O就是三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的球半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：．23．《九章算術》中的“商功”篇主要講解并描述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，是的中點，，，分別在棱，上，且，，平面與交于點，則______．【答案】【解析】【分析】延長，交于，連接，交于，連接，，由三角形相像可得，，由直棱柱的性質(zhì)可求得答案.【詳解】解：如圖，延長，交于，連接，交于．則，則，則，又，所以，則，所以．連接，，則，．故答案為：.24．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P—ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P—ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為______．【答案】【解析】【分析】先分析出三棱錐P—ABC的外接球就是一個長方體的外接球，干脆求出長方體體對角線長，即可求解.【詳解】將三棱錐P—ABC放入一個長方體中，如圖所示：則三棱錐P—ABC的外接球即為該長方體的外接球，因為PA＝AB＝2，AC＝4，故，設外接球的半徑為，則，故外接球的表面積為.故答案為：.25．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（bienao）．已知在鱉臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，則該鱉臑的外接球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)鱉臑的四個面都為直角三角形，且MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，可得MC的中點O為四面體M－ABC外接球球心，求出MC的長，從而依據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：因為平面ABC，平面ABC，所以，同理，又AB＝BC＝2，且為直角三角形，所以，又，，平面MAB，所以平面MAB，又平面MAB，所以，所以MC的中點O到M，A，B，C四點距離相等，即為四面體M－ABC外接球球心，又由已知得，，所以該鱉臑的外接球的半徑為，所以該鱉臑的外接球體積為．故答案為：.26．在我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在塹堵中，，，鱉臑的體積為，若，則陽馬外接球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】陽馬(四棱錐)所在的三棱柱為直三棱柱，則兩個幾何體的外接球是同一個球，則求直三棱柱外接球半徑即可.由等體積法得出三棱錐的體積為2，并由此求出直三棱柱的高，依據(jù)幾何關系找到外接球球心，求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】陽馬(四棱錐)所在的三棱柱為直三棱柱，則兩個幾何體的外接球是同一個球．由于三棱錐與三棱錐等底同高，∴這兩個三棱錐的體積相等，即三棱錐的體積為2．，，△的面積為，∴，如圖，分別為直三棱柱上下底面外接圓圓心，則中點O為外接球球心，OB即為外接球半徑R，Rt的外接圓半徑為，則，∴陽馬外接球的表面積為．故答案為：．27．在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，若四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面ABCD，且，則該陽馬的表面積為______．【答案】##【解析】【分析】由題意知該幾何體是底面為正方形的四棱錐，結(jié)合圖形求出它的表面積,即得答案．【詳解】由題意知側(cè)棱底面ABCD，且，底面ABCD為正方形，且,平面SAB,故平面SAB,平面SAB，故,同理可證,且,故幾何體的表面積為：，故答案為：28．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.如圖，若三棱錐為“鱉臑”，平面，，，，則此“鱉臑”的表面積為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)“鱉臑”的定義和已知數(shù)據(jù)可求得，，，從而可求出其表面積【詳解】因為平面，平面，所以,因為，，所以平面，