圓錐曲線的方程（六）講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)六知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例1、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A，B在x軸同一側(cè)）.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).隨堂練習(xí)：已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)，在橢圓上，且.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).典例2、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若、為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．

隨堂練習(xí)：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.典例3、如圖，已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點(diǎn)A，B和點(diǎn)N.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.

隨堂練習(xí)：已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．知識(shí)點(diǎn)二求拋物線的切線方程,由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例4、如圖，設(shè)為軸的正半軸上的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，?在軸的同側(cè).（1）若為拋物線的焦點(diǎn)，，直線的斜率為，且直線和的傾斜角互補(bǔ)，求的值；（2）若直線???分別與軸相交于點(diǎn)???，求證：.隨堂練習(xí)：已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，點(diǎn)H，K分別為，的中點(diǎn)，求面積的最小值.典例5、已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為5.（1）求拋物線C的方程；（2）若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求面積的最大值.典例6、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間.（1）若，求直線l的斜率；（2）若，證明：為定值.

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為．（1）如圖所示，線段為過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的弦，動(dòng)點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；（2）過(guò)焦點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作拋物線的切線，已知兩切線交于點(diǎn)，求證：直線?、的斜率成等差數(shù)列．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)六答案典例1、答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.解:（1）由題意得，得，所以橢圓方程為：，將代入橢圓方程得：，解得，故橢圓C的方程為（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，則，且，因?yàn)橹本€，斜率互為相反數(shù)，即，所以，則，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，則，聯(lián)立解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，即，?*當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.代入橢圓方程消去得，，，，根據(jù)，.代入*整理，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，.即，當(dāng)時(shí)，直線方程為.過(guò)點(diǎn)，不符合條件.當(dāng)時(shí)，直線方程為，故直線恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，令點(diǎn)，此時(shí)，又.可得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，與已知條件不符，∴直線的斜率一定存在，故直線恒過(guò)定點(diǎn).典例2、答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為（2）證明見(jiàn)解析解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，由已知，則，所以，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意；②當(dāng)直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，即點(diǎn)，由已知可得，，，由已知，則，所以，，因?yàn)?，解得，此時(shí)直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）存在，解：（1），，橢圓，將代入可得，故，橢圓方程為：；（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，，，為常數(shù)，代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故且，直線l過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).典例3、答案：（1）（2）解：（1）將點(diǎn)代入得，，又，，得，所以，，即.（2）因?yàn)椋O(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，且，則，，則，且，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，∴，∴面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)，所以直線的方程為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）或.解：（1）由題意知，，又，∴，，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）∵軸，∴，設(shè)，則，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，設(shè)，，則，，∴.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)∴不符合條件.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得.得，∴，即，解得.故直線的方程為或.典例4、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）根據(jù)題意，為拋物線的焦點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，故直線的方程為，所以聯(lián)立方程得，設(shè)，則，因?yàn)橹本€和的傾斜角互補(bǔ)，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?所以.（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立得，所以，，同理，直線與拋物線聯(lián)立得，所以，，對(duì)于直線，由于，所以，所以直線方程為，故令得，即同理得，，，所以，，所以隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）16.解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，為等邊三角形，則有，而為在動(dòng)直線上的投影，則，由，解得，設(shè)，則點(diǎn)，于是由得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）顯然直線AB，CD都不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)直線AB方程為：，則直線CD方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得弦AB中點(diǎn)，，同理得，因此，直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積的最小值為16.典例5、答案：（1）（2）2解：（1）拋物線的焦點(diǎn).由得，∴.設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，則，所以．∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，∴．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．（2）由（1）知，，代入得，則，則，P到AB的距離，所以，∵，當(dāng)時(shí)，得，∴，∴，同理，．由得，∴四邊形PRFQ為矩形，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為2．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）32解：（1）由題意知，，設(shè)圓上的點(diǎn)，則.所以.從而有.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.又，解之得，因此.拋物線C的方程為：.（2）切點(diǎn)弦方程韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線C的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即同理可知，直線PB的方程為，由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，所以，點(diǎn)P到直線AB的距離為，所以，，∵，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.典例6、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）設(shè)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，所以直線斜率存在，且不為0，設(shè)直線l為，聯(lián)立與得：，則，，因?yàn)椋?，故，解得：，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得：，直線l的斜率為，滿足點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得：，直線l的斜率為，滿足點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間，綜上：直線l的斜率為；（2）設(shè)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，所以直線斜率不為0，設(shè)直線l為，令得：，故，聯(lián)立與得：