圓錐曲線的方程（七）講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)七知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積典例1、已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點(diǎn)，x軸上方一點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，．（1）求C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第三象限），點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PM交x軸于點(diǎn)N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．隨堂練習(xí)：已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求C的方程．（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率大于零．過(guò)C的左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為A，過(guò)C的右焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為B，試問(wèn)在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．典例2、已知橢圓()的離心率為，其右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，且．（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點(diǎn)E，證明：B、M、E三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，離心率．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于M、N（不與A、B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線交于點(diǎn)Q，證明：B、N、Q三點(diǎn)共線．

典例3、已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，直線y=-x+1與橢圓相交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；（2）求的面積．隨堂練習(xí)：已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，（不與點(diǎn)，重合）．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例4、已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)為，，上、下端點(diǎn)為，.若從，，，中任選三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形均為面積等于2的直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，若線段，的中點(diǎn)分別為，，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隨堂練習(xí)：已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．典例5、已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓，直線l與圓C相切于，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.

隨堂練習(xí)：已知點(diǎn)B是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點(diǎn)M，N，且，求m的值.典例6、已知①如圖，長(zhǎng)為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)兩點(diǎn)②設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)，且與軸不重合，直線交圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，判斷點(diǎn)的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若為橢圓上的點(diǎn)，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng)與面積.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，圓是的內(nèi)切圓．當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線與橢圓交于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求圓周長(zhǎng)的最大值．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)七答案典例1、答案：（1）；（2）解：（1）因?yàn)?，所以，且．又，所以，即，即，所以，又離心率，所以，，所以，所以橢圓方程為．（2）∵，又∵，∴，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．依題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由消去y整理，解得或，所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為，從而M點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線PM的方程為，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榈拿娣e是的面積的2倍，點(diǎn)Q在第三象限，所以，即，解得（舍負(fù)），所以滿足條件的直線l的方程為，即：．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）存在；解：（1）設(shè)C的內(nèi)接正方形的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，則C的內(nèi)接正方形的面積為，即．又，所以，代入，解得，故C的方程為．（2）存在梯形，其面積的最大值為．理由如下：設(shè)直線，．因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到直線l的距離為，點(diǎn)到直線l的距離為，所以梯形的面積（為直線l的傾斜角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，直線，直線，聯(lián)立這兩條直線的方程，解得，因?yàn)?，所以點(diǎn)在C的內(nèi)部.同理可證：也在C的內(nèi)部.故在C內(nèi)存在梯形，其面積的最大值為．典例2、答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析﹒解：（1）設(shè)()，由題意知，∴．∵點(diǎn)，且，解得，∴，，因此C的方程為．（2）由題意可知，直線l的方程為．由得，設(shè)，，則，．∵軸，∴，∴直線，令，得．∵軸，∴．∴，∴B，M，E三點(diǎn)共線．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）由題意知，，，所以，則，所以橢圓C的方程為．（2）由題知：l斜率不為零，設(shè)l為，，，由得，，則，，所以，∴，直線AM的方程為，則，∴，，∴，即，∴N、B、Q三點(diǎn)共線．典例3、答案：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為；離心率為（2）解：（1）橢圓知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，由，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為：（2）由直線y=-x+1與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)則消去得，，所以又到y(tǒng)=-x+1的距離為所以的面積為：隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）解：（1）由題意，得，解得，所以橢圓方程為，，，，則離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因?yàn)?，，所以四邊形的面積,當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去，得，由題意，可知恒成立，則，，四邊形的面積令，則四邊形的面積，，所以，綜上所述，四邊形面積的最大值.典例4、答案：（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為解：（1）解法一：從，，，中任選三點(diǎn)可構(gòu)成四個(gè)三角形，其中，.為此僅需考慮，為面積等于2的直角三角形即可.其中，.因?yàn)闉榈妊切?，故可得，即有：；同時(shí)因?yàn)闉榈妊切危士傻?，即有：；綜上可得：，，即可得橢圓的方程為.解法二：由橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合已知條件可知從，，，中任選三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，均為等腰直角三角形，故四邊形是面積為4的正方形，又正方形的邊長(zhǎng)為，故，即又正方形的對(duì)角線相等，所以，即又因?yàn)椋詮亩鴻E圓的方程為.（2）解法一：依題意，設(shè)直線的方程為：①設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程①與橢圓的方程可得由韋達(dá)定理得，根據(jù)中點(diǎn)公式可得：則，即同理可得：從而直線的斜率為：故直線的方程為：因?yàn)椋瑢⒋肷鲜娇傻茫汗手本€必過(guò)定點(diǎn).解法二：依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：①，設(shè)直線的方程為：②，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程②與橢圓的方程可得由韋達(dá)定理得根據(jù)中點(diǎn)公式可得：同時(shí)點(diǎn)是直線和直線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程①②得即可得，整理得④同理可得⑤根據(jù)④⑤可以理解為，為關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理可得：，即可得：，∴直線的方程為：，故直線必過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析解：（1）由橢圓定義知：，解得：，又離心率，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知：；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，則，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在且恒過(guò)時(shí)，即，由得：，，滿足題意；綜上所述：直線恒過(guò)定點(diǎn).典例5、答案：（1）（2）或解：（1）設(shè)橢圓E方程為，（t，且）將點(diǎn)代入橢圓方程得到,解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)直線l的方程為,因?yàn)樵撝本€與圓相切，所以，所以，將直線方程代入橢圓方程并消去x得：，則,，所以，聯(lián)立，解得，即或，則直線l的方程為或.隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）.解:（1）由條件可得所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為所以，所以所以方程為（2）設(shè)聯(lián)立可得所以由得因?yàn)樗钥山獾玫淅?、答案：（1）；（2），解:（1）選擇條件①：由已知可得點(diǎn)代入橢圓方程得：故橢圓方程為：選擇條件②：由題設(shè)可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，∴，又，即，∴，則，∵，∴橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為定值4，∴的軌跡方程為.（2）設(shè)，則在中，根據(jù)余弦定理可得：即根據(jù)定義：代