專題50 圓錐曲線的最值-2023年高考數(shù)學(xué)優(yōu)拔尖核心壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題50圓錐曲線的最值【方法點撥】綜合運用函數(shù)知識、向量、基本不等式等求解圓錐曲線中的最值問題.【典型題示例】例1已知，P為拋物線上任一點，則的最小值為．【答案】【分析】直接設(shè)點P的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)即可解決.【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)點P的坐標(biāo)時，取得最小值為.例2已知點M（0，4），點P在曲線上運動，點Q在圓上運動，則的最小值是（）. B. C.4 D.6【答案】C【分析】因為，故，再使用定義將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，設(shè)出點坐標(biāo)，使用基本不等式求解.【解析】因為，故設(shè)，則所以設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立所以的最小值是4.例3已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出點到圓心的距離的最小值，然后減去圓的半徑可得答案【解析】設(shè)點，則，得，圓的圓心，半徑為，則，令，對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最小值，所以最小值為，所以的最小值為，故選：D.例4已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為A，點P是拋物線上的動點，則當(dāng)|PF||PA|的值最小時，△PAFA.2?2 B.2 C.1 【答案】A【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為PQ，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.從而當(dāng)∠PAQ最小，即AP與拋物線相切時，|PF||PA|的值最?。蟪鰭佄锞€過A點的切線方程得出P點坐標(biāo)，代入面積公式得出面積．

【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1．

設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為|PQ|，則|PQ|=|PF|．

∴|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ．

∴當(dāng)PA與拋物線y2=4x相切時，∠PAQ最小，即|PF||PA|取得最小值．

設(shè)過A點的直線y=kx+k與拋物線相切(k≠0)，代入拋物線方程得k2x2+(2k2?4)x+k2=0，

∴Δ=(2k2?4)2?4k4=0，解得k=±1．例5已知A、B是圓C1：x2+y2=10上的動點，AB=42，P【答案】[28,52]【分析】本題的關(guān)鍵是將所求PA+3PB轉(zhuǎn)化為一個向量，這里設(shè)PA+3PB=4PE（想一想，這里為什么將系數(shù)確定為4，而非其它數(shù)？其主要目的在于利用三點共線，使點E在線段AB上，這是遇到兩向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁為簡、合二為一），從而由|PA+3PB|化簡得4PE，進一步可求得C1E=2，故E點的軌跡為圓，最終轉(zhuǎn)化成兩圓上的點間的距離問題即可求解．

【解析】設(shè)PA+3PB=4PE，則14PA+34PB=PE，取AB中點為D，再取BD中點為E，

則由AB=42，得C1D=10?8=2，DE=2，

所以C1E=2，即E點的軌跡方程為【鞏固訓(xùn)練】1.面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點，是函數(shù)（）圖象上一動點，若點之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為．2.拋物線y2=8x的焦點為F，點A是拋物線上的動點，設(shè)點B(?2,0)，當(dāng)|AF||AB|取得最小值時，則(????)A.AB的斜率為±23；B.|AF|=4

C.ΔABF外接圓的面積為8π；D.3.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2?y2b2=14.過拋物線y2

=?4x焦點的直線l與拋物線交于

A

，B兩點，與圓(

x??1)2

+?y2

=?r2

交于C，D兩點，若有三條直線滿足【答案或提示】1.【答案】－1或【提示】設(shè)點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解決.2.【答案】BCD【分析】由題意利用拋物線的定義可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC，當(dāng)|AF||AB|取得最小值時，AB與拋物線相切，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由此可得|AB|，|BF|，|AF|的值，即可分析各選項．

【解析】由題意，過點A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，點B即為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，由拋物線的定義可得|AF||AB|=|AC|設(shè)AB的方程為y=k(x+2)，則y消去y可得k2x2+(4k2?8)x+4k2=0，

則Δ=(4k2?8可得△ABF為等腰直角三角形，

|AB|=[2?(?2)]2+(4?0)2=42，|BF|=|AF|=4，

設(shè)△ABF外接圓的半徑為R，由直角三角形的性質(zhì)可知，R=2設(shè)△ABF內(nèi)切圓的半徑為r，則12解得r=1642+8=4?22，∴△ABF的內(nèi)切圓的面積為S=π×(4?22)2=(24?163.【答案】1,3【分析】由雙曲線的定義得PF2?PF1=2a，又PF22PF1的最小值為8，則PF22PF1=(PF1其中PF又設(shè)P(x,y)(x≤?a)，則由第二定義，得PF1=?x?a2ce=?ex?a≥c?a．

要使(?)式中等號成立，則必須2a≥c?a，所以4.【答案】(2,+∞)【分析】求得拋物線的焦點，討論直線l的斜率不存在，可得A，B，C，D，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線l方程y=k(x?1).A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和拋物線的定義，討論當(dāng)四點順序為A、C、D、B時，當(dāng)四點順序為A、C、B、D時，考慮是否存在與直線x=1對稱的直線，即可得到所求范圍．

【解析】拋物線y2=4x焦點為(1,0)，

(1)當(dāng)直線l⊥x軸時，直線l：x=1與拋物線交于A(1,2)、B(1,?2)，

與圓(x?1)2+y2=r2交于C(1,r)，D(1,?r)，滿足|AC|=|BD|．

(2)當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l方程y=k